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1、导数及其应用强化练习题型一导数意义及应用例 1-1在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在曲线 C： y x3 10x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的坐标为 _答案(1)( 2,15)解析(1)因为 y 3x2 10，设 P(x， y)，22则由已知有3x 10 2，即 x 4， x 2，则 y ( 2)3 10 ( 2) 3 15， 点 P 坐标为 (2,15)例 1-2 (2013 福建 )已知函数 f(x) xaln x( a R )(1)当 a 2 时，求曲线y f(x)在点 A(1， f(1) 处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值
2、a解函数 f(x)的定义域为 (0， )， f( x) 1 .2(1)当 a 2 时， f(x) x2ln x，f (x) 1 x(x0)，因而 f(1) 1， f (1) 1，所以曲线 y f(x) 在点 A(1， f(1) 处的切线方程为y 1 (x 1)，即 xy 2 0.(2)由 f (x) 1 a x a， x0 知：xx 当 a 0 时， f (x)0 ，函数 f(x)为 (0， )上的增函数，函数f(x)无极值； 当 a0 时，由 f (x) 0，解得 xa.又当 x(0， a)时， f (x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为f(a) a aln a，无极
3、大值综上，当 a 0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值 a aln a，无极大值变式训练1 (1)(2013 湖北 )直线 y 2xb 是曲线yln x (x0) 的一条切线，则实数b_.答案 ln 2 1解析切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上， 代入即可求出 b 的值y 1，令 1 2，得 x 1，故切点为1， ln1，xx222代入直线方程，得 ln1 21 b，所以 b ln 2 1.22题型二利用导数研究函数的单调性例 2 已知函数 f( x) x2 aln x.(1)当 a 2 时，求
4、函数f( x)的单调递减区间；2(2)若函数 g(x) f(x) x在 1， )上单调，求实数a 的取值范围1 / 8审题破题(1)直接根据f (x)0 时，求函数f(x)的单调区间解(1)函数的定义域为(，2)依题意得 f (x)a1.x 2因此过 (1，f(1) 点的切线的斜率为a 1.又 f(1) a，所以过点 (1， f(1) 的切线方程为 y a (a1)(x 1)，即 (a 1)x y1 0.又已知圆的圆心为 ( 1,0)，半径为1，依题意，有|1a 1| 1，解得 a 1.a 12 1(2)f(x) ln(2 x) ax 的定义域为 ( ， 2)，f (x)a1 .因为 a0，所
5、以 210 ，解得 x2 1a；1令 f (x)0 ，解得 2 ax0，所以 f(x)在区间 1， e上为增函数11 2当 x e 时， f( x)取得最大值 2e 1.(2)证明2312 ln x， x 1， )，设 h( x) g(x) f(x) x x32则 h (x) 2x2 x1 2x3 x2 1x x x 1 2x2 x 1 . x当 x (1， )时， h (x)0 ，h(x)在区间 1， )上为增函数，所以h(x)h(1) 10.6所以对于 x (1， )， g(x) f(x)成立，即 f(x)的图象在 g(x)的图象的下方变式训练 3 (2013 广东 )设函数 f(x) (
6、x 1)ex kx2(k R)(1)当 k 1 时，求函数 f(x)的单调区间；1， 1时，求函数 f(x)在 0，k上的最大值 M.(2)当 k 2解 (1)当 k1 时， f(x)( x1)ex x2， f (x) ex (x 1)ex 2x x(ex2)令 f (x) 0 得 x1 0，x2 ln 2.列表如下：x(，0)0(0， ln 2)ln 2(ln 2 ， )f (x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的递减区间为 (0， ln 2) ，递增区间为 ( ， 0)， (ln 2 ， )xxx(2)f (x) e(x 1)e 2kx x(e 2k)，1 2k 1， 12k
7、 2，由 (1)可知 f(x)在 (0， ln 2k)上单调递减，在(ln 2k， )上单调递增1设 g(x) x ln 2x 2x1 ，则 g (x) 12x2 1 1x，3 / 8111 0， x 1， 1 2， 1g(1) 1 ln 20 ，1 20 即 kln 2 k， f(x)在(0 ， ln 2k)上单调递减，在 (ln 2k， k)上单调递增， f(x)在0 ， k 上的最大值应在端点处取得而 f(0) 1， f(k)( k 1)ek k3，下面比较 f(0) 与 f(k)的大小令 h(k) f( k) f(0) (k 1)ek k3 1，则 h (k) k(ek 3k) ，再令
8、 (k) ek 3k，则 (k) ek 3e 30 ，113 (k)在 2， 1上递减，而 2 (1) e 2 (e3)0 ，当 k (x0,1) 时， (k)0，h(1) 0.1 h(k) 0 在 2， 1 上恒成立，当且仅当k1 时取 “ ”综上，函数f(x)在0 ，k 上的最大值 M (k 1)ek3 k .题型四导数的综合应用例 4已知函数 f( x) axsin x 3(a0) ，且 f(x)在区间0， 上的最大值为 3.222(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在 (0， )内零点个数，并加以证明审题破题(1) 通过求最值可确定 a 的值； (2) 函数 f(x
9、)的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定解 (1)f (x)asin x axcos xa(sin x xcos x) x 0， 2 时， sin x xcos x0.又 a0， f (x)0 ， f(x)在 0，2上是增函数3 3则 f(x) max f22a22 ， a 1，3所以 f(x) xsin x 2.(2)函数 f(x)在区间 (0， )内有且只有两个零点证明如下：由 (1)知， f(x)xsin x3， 24 / 83 3从而 f(0) 20.由 (1)知， f(x)在 0， 2 上是增函数，且f(x)的图象连续不间断， f(x)在区间0，2 上有唯一零点；当 x
10、2，时，令 g( x) f (x) sin x xcos x，由 g 2 10 ，g( ) 0，且 g(x)在2， 上的图象是连续不断的， 故存在 m， ，2使得 g(m) 0.由 g (x) 2cos x xsin x，知 x时，有 g (x)g(m) 0，即 f (x)0，从而 f(x)在2， m 内单调递增，故当 x 3， m 时， f(x)f220.2故 f(x) 在， m上无零点；2当 x (m， )时，有 g( x)g(m) 0，即 f( x)0， f( )0，且 f(x)在 m， 上的图象是连续不断的，从而f(x)在 (m， )内有且仅有一个零点综上所述， f(x)在(0 ， )
11、内有且只有两个零点变式训练 4-1 (2013 辽宁 )(1) 证明：当 x0,1 时，22 x sin xx；3(2)若不等式ax x2 x 2(x 2)cos x 4 对 x 0,1 恒成立，求实数a 的取值范围22(1)证明记 F(x) sin x 2 x，2则 F (x) cos x 2 .当 x0，时， F (x) 0， F(x)在0，上是增函数；441当 x，1时， F (x) 0， F(x)在，上是减函数44又 F(0) 0， F(1) 0，2所以当 x 0,1 时， F(x) 0，即 sin x 2 x.记 H(x)sin x x，则当 x (0,1) 时， H (x) cos
12、 x 1 0，所以， H (x)在 0,1 上是减函数，则 H (x) H(0) 0，即 sin x x.2综上， 2 xsin x x，x 0,1 (2)解方法一因为当 x 0,1 时，33ax x2 x 2(x 2)cosx 4 (a 2)x x2 x 4(x 2)sin2x23222x 4(x 2)2x2 (a 2)x x 24 (a 2)x.5 / 8所以，当 a 2 时，3不等式 ax x2 x 2(x 2)cos x 4 对 x 0,1 恒成立232x下面证明，当a 2 时，不等式ax x 2(x 2)cos x 4 对 x 0,1 不恒成立3因为当 x 0,1 时， axx2 x
13、2 2(x2)cos x 43 (a 2)x x2 x2 4(x 2)sin 22x3 (a 2)x x2 x 4(x 2) 2x 223 (a 2)x x2 x2 (a 2)x32x2 32x x 23 a 2.所以存在 x0 (0,1)例如 x0取a 2和 1中的较小值满足323ax0 x20 x20 2(x0 2)cos x0 4 0.3即当 a 2 时，不等式ax x2 x2 2(x 2)cos x 44 对 x 0,1 不恒成立综上，实数a 的取值范围是 ( ， 2 32x方法二记 f(x)ax x 2(x 2)cos x 4，则3x2f (x)a 2x 2 2cos x 2(x 2
14、)sin x.记 G(x)f (x)，则G (x) 2 3x 4sin x 2(x 2)cos x.当 x (0,1)时， cos x 1，因此 22G (x) 2 3x 4 2 x(x 2) (2 2 2)x 0.于是 f (x)在 0,1 上是减函数，因此，当 x (0,1)时， f (x) f (0) a 2.故当 a 2时， f (x) 0，从而 f(x)在0,1 上是减函数，所以f(x) f(0) 0.2x3即当 a 2时，不等式 ax x 2 2(x 2)cos x 4，对 x 0,1 恒成立下面证明：当a 2 时，不等式 ax x2 x322(x 2)cos x 4，对 x 0,
15、1 不恒成立由于 f (x)在 0,1 上是减函数，且 f (0) a 20， f (1) a 72cos 1 6sin 1. 2当 a6sin 1 2cos 1 7时， f(1) 0， 2所以当 x (0,1)时， f (x) 0.因此 f(x)在 0,1 上是增函数，故f(1) f(0) 0；6 / 87当 2 a 6sin 1 2cos 1 时， f (1) 0.又 f (0) 0.故存在 x0 (0,1)，使 f (x0) 0，则当 0 xx0 时， f (x) f (x0) 0，所以 f(x) 在0 ，x0 上是增函数，所以当x (0， x0) 时， f(x) f(0) 0.所以，当
16、 a 2 时，不等式2x3ax x 2(x2)cos x 4 对 x 0,1 不恒成立2综上，实数a 的取值范围是 ( ， 2 变式训练4-2 设函数 f(x)ln x， g(x) f(x) f( x)(1)求函数 g(x)的单调区间和最小值；1的大小关系；(2)讨论 g(x)与 g x(3)求实数 a 的取值范围，使得 g(a) g(x)0 成立a规范解答解 (1)由题意， g(x) ln x 1， x0， xx 1 g (x)x2 ，且 x0，令 g (x) 0，得 x 1， 2 分 当 x (0,1)时， g (x)0.故 (1， )是 g(x) 的单调增区间，因此， x 1 是 g(x
17、)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为g(1) 1.4 分 1(2)由 (1) 知 g x ln x x，设 h(x) g(x) g 1 2ln x x 1，xx则 h (x)x1 2，且 x0.6 分 2x当 x 1 时， h(1) 0，即 g(x) g 1x ；当 x (0,1) (1， )时， h(x)0， h (1) 0，因此， h(x)在 (0， )内单调递减，1当 0xh(1) 0，即 g(x)g x ，1当 x1 时， h(x)h(1) 0，即 g(x)01 g(a) g(x)成立 ? g( a) 1 .aa则 ln a 111，即 ln a1，aa 0ae.7 / 8故实数 a 的取值范围是(0， e) 12 分 评分细则(1) g(x) 的单调区间写成(0,1 ，1， )的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣 1 分； (2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣1 分阅卷老师提醒(1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识(2) 树立分类讨论，转化化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式 (方程 )间的转化1(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为g(a) ag( x)min，分离参数或构造关于参数的不等式，达到求解目的8 / 8