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1、2013年山东省北镇中学高一数学必修3教案：1.3 算法案例2导入新课 思路1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式5432f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值呢,方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 5432(1)求多项式f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值有哪些方法,比较它们的特点. (2)什么是秦九韶算法, (3
2、)怎样评价一个算法的好坏, 讨论结果: 5432(1)怎样求多项式f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值呢, 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 2222 另一种做法是先计算x的值，然后依次计算x?x，(x?x)?x，(x?x)?x)?x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计
3、算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢,我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在他的著作数书九章中提出了下面的算法:nn-1 把一个n次多项式f(x)=ax+ax+ax+a改写成如下形式: nn-110nn-1f(x)=ax+ax+ax+a nn-110n-1n-2=(ax+ax+a)x+ ann-110n-2n-3=(ax+ax+a)x+a)x+a nn-1210= =(ax+a)x+a)x+a)x+a. nn-1n-210求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v=ax+a， 1nn-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v=vx+a， 2
4、1n-2v=vx+a， 32n-3 v=vx+a， nn-10这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. (3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例 5432例1 已知一个5次多项式为f(x)=5x+2x+3.5x-2.6x+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解:根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式: f(x)=(5
5、x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值: v=5; 0v=55+2=27; 1v=275+3.5=138.5; 2v=138.55-2.6=689.9; 3v=689.95+1.7=3 451.2; 4v=3 415.25-0.8=17 255.2; 5所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见v的计算要用到v的值，若令v=a，kk-10n我们可以得到下面的公式: va,0n ,vvxa(k1,2,？,n).,，,kk,1n,k,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤
6、，因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a和x的值. n第二步，将v的值初始化为a，将i的值初始化为n-1. n第三步，输入i次项的系数a. i第四步，v=vx+a,i=i-1. i第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步;否则，输出多项式的值v. 程序框图如下图: 程序: INPUT “n=”;nINPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i,=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+ai=i-1 WEND PRINT v END 点评:本题是古老算法与现代计算机语言的
7、完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例. 变式训练 请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图. 5432解:设f(x)=ax+ax+ax+ax+ax+a 543210首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写: 432f(x)=(ax+ax+ax+ax+a)x+a 54321032=(ax+ax+ ax+a)x+a)x+a 5432102=(ax+ax+ a)x+a)x+a)x+a 543210(ax+a)x+ a)x+a)x+a)x+a. =543210上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最
8、外层的括号，然后加上常数项即可. 程序框图如下图: knn-1x例2 已知n次多项式P(x)=ax+ax+ax+a，如果在一种算法中，计算(k=2，3，n01n-1n04，n)的值需要k,1次乘法，计算P(x)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，30那么计算P(x)的值共需要_次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:100P(x)=a,P(x)=xP(x)+a(k,0，1，2，n,1)(利用该算法，计算P(x)的值共需00k+1kk+130要6次运算，计算P(x)的值共需要_次运算. 100答案:65 20 nn-1点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=ax+ax+ax+a的求值问题
9、.直接法乘法运nn-110(n，1)n算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少2到最多n次，加法最多n次. 5432例3 已知多项式函数f(x)=2x,5x,4x+3x,6x+7，求当x=5时的函数的值. 5432解析:把多项式变形为:f(x)=2x,5x,4x+3x,6x+7 =(2x,5)x,4)x+3)x,6)x+7. 计算的过程可以列表表示为: 最后的系数2 677即为所求的值. 算法过程: v=2; 0v=25,5=5; 1v=55,4=21; 2v=215+3=108; 3v=1085,6=534; 4v=5345+7=2 677. 5点评:如果多项
10、式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练 5432当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x+8x-3x+5x+12x-6的值( 解法一:根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式: f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6. 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值. v=3; 0v=v2+8=32+8=14; 10v=v2-3=142-3=25; 21v=v2+5=252+5=55; 32v=v2+12=552+12=122; 43v=v2-6=1222-6=238. 54?当x=2时，多项式的值为238. 解法二:f (x)=(3x+8)x-3
11、)x+5)x+12)x-6， 则f(2)=(32+8)2,3)2+5)2+12)2,6,238( 拓展提升 765432 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x+6x+5x+4x+3x+2x+x当x=3时的值. 解:f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v=7; 02.正弦：v=73+6=27; 17、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。v=273+5=86; 2v=863+4=262; 3v=2623+3=789; 4v=7893+2=2 369; 57、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步
12、提高要求。v=2 3693+1=7 108; 6v=7 1083+0=21 324. 7?f (3)=21 324. (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)课堂小结 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。1.秦九韶算法的方法和步骤. 5.圆周角和圆心角的关系:2.秦九韶算法的计算机程序框图. 作业 32已知函数f(x)=x,2x,5x+8,求f(9)的值. 322解:f(x)=x,2x,5x+8=(x,2x,5)x+8=(x,2)x,5)x+8 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；
13、?f(9)=(9,2)9,5)9+8=530. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.设计感想 古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法. 通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识, 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点:(1)算法具有通用的特点，可以解决一类问题;(2)解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。同的，应该选择高效的算法;(3)算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.