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1、定积分的简单应用,1,课堂节课,定积分的几何意义（1）当f(x) 0时， 表示的是y=f(x)与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x) 0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴所围曲边梯形的面积为,（一）复习回顾,2,课堂节课,例1.求如图所示阴影部分图形的面积。,分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；,一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）;另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）.,根据图像的性质： s1 =s2.,所以，所求阴影部分的面积是4.,（二）例题分析,3,课堂节课,思考：求如下图形中阴影部分面积,4,课堂节课,例2.求抛物线y=x 与直线y=2x所围
2、成平面图形的面积。,2,求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。,设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y= ，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。,解 :画出抛物线y= 与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。,5,课堂节课,6,课堂节课,思考： 求曲线y= 与直线x+y=2围成的图形的面积。,小结： 求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出
3、结果。,7,课堂节课,抽象概括：,一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则,图1,图2,图3,想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？,8,课堂节课,例3.求曲线x= 和直线y=x-2所围成的图形的面积。,解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y= ，y= - ，x=1围成：,S2由y= ，y= x-2 ，x=1围成：,9,课堂节课,10,课堂节课,（三）练习,1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图形的面积。3.求曲线y=sinx(x )和
4、y=cosx(x )围成的平面图形的面积。,11,课堂节课,解:,求两曲线的交点:,12,课堂节课,13,课堂节课,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,14,课堂节课,(2)变力沿直线所做的功,例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功（ ）A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J,所以做功就是求定积分,A,说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为:,15,课堂节课,（四）总结,（1）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。,（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要合理分区域积分求面积。,16,课堂节课,