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1、解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元含参数的一元二次不等式的解法二次不等式常用的分类方法有三种：一、按x2 项的系数a 的符号分类，即例 1 解不等式：ax2a 2 x 1分析： 本题二次项系数含有参数，系数进行分类讨论。解 ：a 2 2 4a a2 42解得方程ax a 2 x 1 0 两根x1当 a 0 时 , 解集为 x | x a 22aa 0,a 0,a 0 ;22a 2 4a a 4 0，故只需对二次项a 2 a2 4 a 2 a2 4, x22a2a4或 x a 22aa2 4a 0 时，不等式为2x 10 , 解集为 x | xx| x
2、 2a或 x 3aa 0时 , 解集为a 2a2 42a二、按判别式a 0 时，解集为x | x 2或 x3 ；当 a 0 时，解集为x | 2 x 30,0,0；a 2a2 4x|x2a例 2 解不等式ax 2 5ax 6a 0 a 0分析 因为 a 0 ，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 a(x2 5x 6) a x 2 x 30例 3 解不等式x 2 ax 4 0分析 本题中由于x 2的系数大于0, 故只需考虑与根的情况。解： a2 16a 4,4 即 0 时，解集为R ；a 4或 a 4即0, 此时两根分别为x1a a2 162x2a a2 162x1x2 ,xx aa2 16
3、或 xa a2 1622例 4 解不等式m2 1 x2 4x 1 0 m R解 因m21 0,222( 4) 2 4 m2 14 3 m2所以当 m 3 ，即10 时，解集为x | x ；23 m 3 ，即23 m223 m20 时，解集为x x或 xm2 1m2 1m3或 m 3 ，即0 时，解集为R。ax2 bxc 0 的根 x1 , x2的大小来分类，即x1x2 , x1x2, x1x2；21例 5 解不等式x2 (a )x 1 0 (a 0)a1分析： 此不等式可以分解为：x a (x )0，故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。解： 原不等式可化为：a 1 或 0 a
4、1 时，当 a 1 或 a 1 时， a当 1 a 0或 a 1时 ,1x a (x ) 0 ，令 aa1，故原不等式的解集为x | aaa1, 可得其解集为aa , 解集为ax|1 xa1，可得：a 1a1 x；aa。例 6 解不等式x2 5ax 6a2 0， a 0分析 此不等式5a 2 24a2 a20 ， 又不等式可分解为x 2a (x 3a) 0， 故只需比较两根解 原不等式可化为：2a 与 3a 的大小 .x 2a (x 3a) 0，对应方程x 2a (x 3a) 0的两根为x12a, x23a ，当 a f 0时，即 2a p 3a ，解集为x |x 3a或 x 2a ；当 a
5、0时，即 2af 3a，解集为2x（ 1）解关于x 的不等式：(a2)x a0.1）解：此时两根为2）解关于3）解关于a22）当a3）当44）当a5） 当 a2）解：若a若 a 0，原不等式若 a 0，原不等式x 的不等式：x 的不等式：(a2x12)x a4a 0(2 a)2 3 时，2 3 时，23 a 44 2 3 时，4 2 3 时，0 ，原不等式1其解的情况应由1 与 12）当a3）当02 ax2 ax(x(x(aax1)x 11 0.()4 2 3或 a2a 2 4a ，20， （ ） 解集为 （0， (2 3 时，0，0.x2） 解集为（0， （） 解集为（2 3，2(2 a)
6、a 2 4a22(2 a) a 8a 4,3) 解集为,321) ( 3 1,R；1) (32(2 a) a 8a 4）；）；1,）；0， (x1 )(x a1 )(x a） 解集为 （(2 a)a2 8a 42)(2a)2a 8a 42).1)1)a1 时，式（ ） 的解集为11 时，式（ ）1aa 1 时，式 ( )综上所述，当a0时，解集为 x11.1 或 x 1. a0.a1或x a1 ；当 a0 时，解集为 xx1；当0 a 1 时，解集为1 ；当 a1 时，解集为1 时，解集为 xx 1 .3）解：（ 1） a（ 2） a2 ax0 时，ax(当当当0 时，则此时两根为x1a 0
7、时，4 a 0时，a4 时，0，0.12aa2a0，R.4a20或 a4a4，a 2 4ax22a()0，()a2 4ax2a( )x R；x R且 x1 ；2aa2 4a2a当 a 4时，a a 2 4a0，( ) x或 x2a综上，可知当0 时，解集为( a2aa2 4aaa22aa a 2 4a2a4a)；0 时，解集为4 时，解集为(R；1, 2)4 时，解集为(a2a1, 22);4a)a a2 4a2a ,)4(2013 吉林长春第一次调研)若两个正实数x，y 满足211，并且x2ym2xy2m 恒成立，则实数m 的取值范围是()C ( 2,4)2)4，) B (，4 2，)D (
8、 4,2)解析： x2y(x2y) 2 1 2 4y x28，当且仅当 4yx，即4y2x2时等xy xyxy号成立，x2ym22m 恒成立，则m22m8，m22m80，解得4m0,1 2x0，由题中结论得f(x) 2x 2x321 2x2 3 22x 1 2x23125，当且仅当22x 1 32x即 x 51时，取得最小值，选C.答案： C6 （2013 广州综合测试（二 ）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增 3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是 （）A 8年 B
9、10年C 12年 D 15年解析： 设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，则年平均费用y 与 n 的关系为：yn n 10.3n2 0.3 1.5n 150.3n2 n15 3.30.3 15n 2 22 n n 3.3 6.3.当且仅当0.32n15n ，即n 10 时等号成立，故选B.7 （2013 成都第三次诊断）若正实数x， y满足x y 2，且 1 M 恒成立，则Mxy解析： 因为 M 1 恒成立，即求1 的最小值为M 的最大值，2 x y 2 xy?xyxyx y 1，则 1 1 ，故 M 的最大值为1.xy8 (2013 成都第一次诊断)当 x1 时，log2x2 logx2的最小值
10、为解析：log2x2logx22log2xlogx22 logx222，当且仅当(logx2)22 即logx22x 2 2 取等号答案： 2 29 （2013 江西省红色六校第二次联考 ）在 4960 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和 1114a 9b 4a 9b 1 9b 4a 13a b 60 a b解析： 设填入的两个自然数分别为a， b.则4a 9b 60，倒数和为a b 60159b4a60(2 3613)12，当且仅当a b ，即ab 3 2 时等号成立，取得最小值又因为4a 9b 60，所以a 6， b 4.答案： 6 48若二次函数f（x） 4x2
11、 2（p 2）x 2p2 p 1，在区间 1,1内至少存在一点c，使f（c）0，则实数p 的取值范围是解析： 由题意可得f（ 1）0或 f（1）0 即可，解f（ 1）0，得2p2 3p 90，即33p0，得2p2 p 10，即2p1，求并集得3p2.3答案： 3， 2917 .关于 x方程ax2 3x 2 0有两个不等的正实根，实数a的范围为 .0a8.18 （2014 宁夏银川一中月考）已知函数f（x）x2axb（a，bR）的值域为0，），若关于 x的不等式f（x）c的解集为（m， m 6），则实数c的值为 a2解析： 因为f（x）的值域为0， ）， 所以 0，即a24b，所以x2ax4c0
12、， a 为大于 2x的常数）的最大值；x 5 x 2（2）设 x 1，求函数y的最值x 1解：（1） x0， a2x，1 y x（a 2x） 2 2x（a 2x）12xa 2x 2 a2 22 82当且仅当x a时取等号，故函数的最大值为a .48（2） x 1，x 10.设 x 1 z0，则x z 1z 4 z 1 z2 5z 44 yz z z z 5 2z 4z 5 9.当且仅当z 2，即x 1 时上式取等号 x 1 时，函数y 有最小值9，无最大值12 （2013 长沙模拟） ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米 ），底AB 的长为4（百米）现决定在该空地内筑一条
13、笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积 分别为S1 和 S2.（1）若小路一端E 为 AC 的中点，求此时小路的长度；（2）求 SS1的最小值3解：（1） E 为 AC 的中点，AE CE 2.33 2 32 4，F 不在 BC 上则 F 在 AB 上，由AEAF3AE4AF3，AEAF5.AF274.2在ABC 中，cos A.3在AEF 中，EF2 AE2AF22AEAFcos A94923 7 2 15，EF442232302.即小路一端E 为 AC 的中点时小路的长度为230（百米）(2)若小道的端点E、F 点都在两腰上，
14、如图，设CEx，CFy，则xy5，S1S CAB S CEFS CABS2S cefS cef12CA CBsin C1 1 12CE CFsin C9xy911251 x 9y 1 2151（当 x y 225时取等号）；2若小道的端点E、 F 分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设 AE x， AF y，则x y 5，S1S ABCS AEFS ABC112112 123当xy5时取等号.S2S AEFS AEFxyx y 2252所以，最小值是21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6
15、 万元该建筑物每年的能源消耗k费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)3xk5(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和(1)求 k的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值k【解】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x) k ，3x 540再由 C(0) 8，得k 40，因此 C(x).而建造费用为C1(x) 6x.3x 540最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为f(x) 20C(x) C1(x) 20 6x3x 5800 6x(0 x 10)3x 5800800800(2) f(x)6x(6x10)10 2 1 60010(当且仅当6x10，即x53x 53x 53x 5 0,10时取等号) x 5 时，f(x)取得最小值，且最小值f(5) 6 5 70.15 55 cm 厚时，总费用达到最小，且最小值为70 万元