16极限定理.doc

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1、1 第五章 极限定理 切比雪夫不等式（教材P105） /*复习：马尔科夫不等式：若0?且?E存在，则对任何实数0?，有 ?EP?)( */ 定理 ：若)(?D存在，则对任何0?，有 2)()|(| ? ?DEP? （等价的 2)(1)|(|?DEP?） 证：)|(|)|(|22? ?EPEP 22|?EE?2 )(?D? 例如： 取 ?D3?，则 91)(9)(3|? D D DEP； 或98)(9)(13|? ?DDDEP89.0? 一般的，221)()()(|kDkDD kEP? 2 练习：3?E，4?D，则?71?P 。 注：若已知的?分布，例如：),(2?N，则 )3|(|?P9973

2、.0? 可见，用切比雪夫不等式给出的估计比较粗略。 1.大数定律 定义：?,21n?是一个随机变量序列，如果其中任何有限个随机变量都是独立的，则称这个随机变量序列是独立的。 例如：独立重复试验中，令?)(0)(1次试验失败第次试验成功第iii? 则?,21n?是一个独立随机变量序列。 定理1（贝努里大数定律）：?,21n?是一个独立随机变量序列，如果每个),2,1(?ii?都有分布律?pp110，则对任意给定的0?，有 1lim21? ?pnPnn? （等价的0lim21? ?pnPnn?） 3 证 ：)(121nnE? ?pEEEnn?)(121? , )(121nnD? ?)()()(12

3、12nDDDn? npppnpn)1()1(12?， （或),(21pnBn?，期望np方差np(1-p)） 由切比雪夫不等式 ?pnPn?210 ?nEnPnn?2121 )(1212nDn? ?2)1(?npp?0?)(?n 0lim21?pnPnn? 等价的，1lim21? ?pnPnn?（*） 设pAP?)(，令条件独立重复实现，记 ?)(0)(1不出现次事件第出现次事件第AiAii? (?,2,1?i) 则?,21n?独立，都有分布律? ?pp110，有（*）成立。当n充分大时，事件A出现的频率?niin11?能以很大 4 的概率与pAP?)(充分接近。 定理2（切比雪夫大数定律）：

4、?,21n?是一个独立随机变量序列，若存在常数K，使),2,1()(?iKDi?，则对任意给定的0?，有 111lim11? ? ?niiniinEnnP （等价的011lim11? ?niiniinEnnP） /*证：? ? ?niin iiEnnP11110 21 )1(?niinD221 ) (?nDnii?221)(?nDnii? 222?nKnnK?0?)(?n*/ 定理3（辛钦大数定律）：?,21n?是一个独立同分布的随机变量序列，若?1E，则对任意给定的0?，有 11lim1?niinnP（*） 设?E，让条件独立重复实现，i? 表示条件第i次实现时?取的值，则i ?与?同分布，

5、且?,21n?独立，（*）成立。当n充分大时，?独立地取的n个值的平均值能以很大的概率与?E充分接近。 5 依概率收敛 定义：?,21nXXX是一个随机变量序列，a是一个常数。若对任意给定的0?，有 1|lim?aXPnn（或0|lim?aXPnn）， 则称nX依概率收敛于a，记做aXpn?。 由贝努里大数定律，事件A出现的频率)(APnnpA?； 由辛钦大数定律，?取值的平均值?Enpnii?11 （若Nr?，则r? 取值的平均值rpniriEn?11） 依概率收敛的性质： （1）若 a pn?，bpn?，则 bapnn?， abpnn?， 0?b 时，bapnn? （2）apn?，bpn?

6、，二元函数),(yxg在点),(ba连续，则 ),(),(baggpnn?。 6 2.中心极限定理 /*复习N */ 定理（P121定理一）：?,21n?是一个独立同分布（.iid）的随机变量序列，若?1E，2 1)(?D，则对任意给定的实数x ， dtexnnPtxnkkn221221)(lim? 定理表明： 若记 21?nnnkkn?，则由上式有 )()(limxxFnn?， 可见，当n充分大时， )()(xxFn?， 所以， ?21?nnnkk)1,0(Nnn近似充分大? 或 ?nkk1?),(2?nnNn近似充分大。 例如：?,4321?独立、同分布?4/14/14/14/14321

7、则?4/14/14/14/143211?； 7 ?16/116/216/316/416/316/216/1876543221?； 321?64/164/364/664/1064/1264/1264/1064/664/364/11211109876544321?256/1256/4256/10256/20256/31256/40256/44256/40256/31256/20256/10256/4256/116151413121110987654 又例如：?,4321?独立、都服从U0,1分布。则 4321?的分布密度图形如下： 00.5 11.522.533.5 400.10.20.30.40

8、.50.6 0.7 （ 又记 ?nkkn11? ，由)1,0(21Nnnnnkk近似充分大?，有 )1,0(/Nnn近似充分大? ） 8 （P122定理二*（不要求） 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（P123定理三） ?,21n?独立同分布， ),2,1(?ii?有分布律?pp110，则对任意实数x， )1(lim1xpnpnpPnkkn? ?dtetx2221? 定理表明： )1,0()1(1Npnpnpnnkk近似充分大? ? 或 ?nknkpnpnpNpnB1)1(, (),(近似充分大? /* 复习：21,?独立，且),(11pnB? ，),(22pnB?则 ),(2121pnnB? 推论

9、：若),1(pBi?，即i? ?pp110，ni,2,1?独立，则),(21pnBn? */ 对比B(n,p)和N(np,np(1-p) n=16,p=0.36: B(16,0.36)和N(5.76,1.922)： 024681012141600.050.10.150.20.25b(16,0.36)和N(5.76,3.6864) 9 n=25,p=0.36: B(25,0.36)和N(9,2.42)： 0246810121416182000.020.00.00.00.0.10.10.10.1b(25,0.36N(9,5.76) n=300,p=0.25: B(300,0.25)和N(75,7.

10、52)： 5055606570758085909510000.010.020.030.040.05 0.06b(300,0.25)和N(75,56.25) /*使用Excel：插入函数xf类别：统计 选择函数：BINOMDIST Number_s：75；Trials：300； Probability_s：0.25； Cumulative：true输出0.530976234*/ 例1：从次品率为1/6的产品中随机抽取300件，求其中次品数在40至60之间的概率。 解： 取到的次品数 )6/ 1,300(B? /*)6040(?P?6040300300)6/5()6/1(kkkkC*/ )6250

11、,50()6/1,300(NB近似? （np=50，np(1-p)=250/6） 40606040?PPP 8788.0)55.1()55.1()6/2505040()6/2505060(? 例2：一个车间有400台同类型的机器，每台机器工作需要电功率Q瓦。每台机器开动的时间只占工作总时间的 10 3/4。假设各台机器的停、开是相互独立的。 （1）若供电310Q瓦，保证供电的概率有多大？ （2）供应多少瓦电力才能以99%的概率保证供电？ 解：任选定一个时刻，有?台机器正在开动，则 )4/3,400(B? /*)310(?P?3100400400)4/1()4/3(kkkkC */ )75,30

12、0()4/3,400(NBn近似充分大?， （np=300，np(1-p)=75） （1）)310(? P?75300310?)15.1(?875.0? /*使用Excel：插入函数xf类别：统计选择函数：BINOMDIST Number_s：310；Trials：400； Probability_s：3/4； Cumulative：true输出0.888272441 */ （2）假设正在开动的机器不超过N台能以99%的概率保证供电，即 )(NP?=0.99 所以， 99.075300?N 而 99.0)326.2(?， 于是， 326.275300?N， 11 1.32030075326.2

13、?N 需要电功率321Q瓦。 /*Excel： 插入函数xf类别：统计选择函数：NORMSINVProbability：0.99输出2.326347874*/ /*使用Excel：插入函数xf类别：统计选择函数：BINOMDIST Number_s：319；Trials：400； Probability_s：3/4； Cumulative：true输出0.989153104; Number_s：320；Trials：400； Probability_s：3/4； Cumulative：true输出0.992179701*/ 例3：（P124例1）一加法器同时收到20个独立的噪声电压，都在区间（

14、0,10）均匀分布。求噪声电压之和大于105的概率。 解：记iX为第i个噪声电压，20,2,1?i， 则2021,XXX?独立同分布，5?iEX，12/102?iDX。 /*复习：),(baU?，则E?=2/)(ba?，D?=12/)(2ab?*/ 记噪声电压之和 2021XXXX?， 则100?EX，12/2000)(?XD， 由中心极限定理（TH1），)12/2000,100(NX 近似，所以， 1051105?XPXP )12/2000100105(1?3483.06517.01)39.0(1? 例4：某种产品成箱包装，每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，

15、试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 12 解：设最多可装n箱，保障不超载的概率大于0.977。 记i?为第i箱的重量（ni,2,1?），则n?,21?独立同分布，50?iE?，2552?iD?。 记n箱总重 nnT?21，则 nETn50?，nTDn25)(?， 由中心极限定理（TH1），)25,50(nnNTn 近似，所以， 5000?nT P)25505000(nn? ?)101000(nn?0.977， )2(?0.977 （P381附表2） 2101000?nn，02.98?n，取98?n。 因此最多可装98箱，保障不超载的概率大于0.97

16、7。 /*Excel： 插入函数xf类别：统计选择函数：NORMSINVProbability：0.977输出1.99539331*/ 选做题：从市场购买某种废品率为0.01的元件，问为使“购买的元件中至少有100个合格品”的概率不小于0.95，应该买多少个元件？（要求应用中心极限定理） 提示：100+a个元件中废品的个数 )01.0,100(aB?)99.0)01.01(,01.01(?aaN近似 13 第五章主要内容： 1.切比雪夫不等式 )(?D存在，则对任何0? ，有2)()|(| ?DEP? 2. n?依概率收敛于a：对任意给定的0?，有 1|lim?aPnn（或0|lim?aPnn

17、）， 记做aPn? 3.贝努里大数定律：?,21n?独立同分布（.iid），都有分布律? ?pp110，则pnPn?21 （事件A出现的频率依概率收敛于P(A)） 辛钦大数定律：?,21n?独立同分布（. iid）， 若?1E，则 ?Pnn?21 （?大量取值的平均值依概率收敛于E?） 4.中心极限定理： TH1：?,21n?独立同分布（.iid），若?1E，21)(?D，则 ?nkk1?) ,(2?nnNn近似充分大 TH3：（棣莫弗拉普拉斯中心极限定?,21n?独立同分布（.iid），),2,1(?ii?有分布律?pp110，则 ?nknkpnpnpNpnB1) 1(,(),(近似充分大? 14 CH1-5概率论主要内容： 1 基本概念（事件、概率、条件概率、事件独立、三种重要随机现象） 2 随机变量（分布函数、分布律及常见的离散型分布、分布密度及常见的连续型分布、二维随机变量的边缘分布、随机变量独立、随机变量函数的分布） 3 数字特征（数学期望、方差、协方差和相关系数） 4 极限定理（切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理）