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1、利用均值不等式求最值均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定和最小，和定积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。
2、一、凑正值例1设x0，y0，且，求的最小值。2. 若a0，b0，且，求ab的最小值。3. 求的最大值。答案与提示：1. 。2. 由，得3. ，此时，故当时，。练习1设，求证：练习2设x+y+z=0, ，（1）求证：（2）试求出最佳的常数，使不等式练习3设为锐角，且，求证：对任意实数x,y,z有练习4设，且x+y+z=1，试求：的最小值一类不等式的巧证数学竞赛中经常出现一些含有等号的不等式。如能抓住其等号成立的条件，再根据不等式的形式特征，配凑一定的项，应用均值不等式可对这类问题作出简捷的证明。现举例说明如下：例1：（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题）设a、b、c都是正数，证明：分析：易见，当a=
3、b=c时，等号成立，此时有，为去掉分母凑出因式，为使等号成立，必须凑出。证明：a，b，c都是正数 ；同理：；将上面三式相加，整理得例2：（第36届IMO试题）设a、b、c为正实数，且满足abc=1，试证：分析：因为abc=1，所以a2b2c2=1故原不等式可化为易见，当a=b=c=1时，等号成立。此时，为去分母且使等式成立，凑出因式证明： a、b、c为正实数 同理：将上面三式相加并整理得：abc=1即例3：设a、b、c、d为正数，且a+b+c+d=1，求证：证明：易见当a=b=c=d=时等号成立。此时 同理：；将上面四式相加，代入a+b+c+d=1整理，得：例4：设（1in）为小于c的正数，且
4、求证：分析：由，可知原不等式等价于：即：证明：；注：本例中当c=1时，即为著名的Shapiro不等式；当c=s时，即得1976年英国竞赛题；当s=1，c=2时，即得1984年巴尔干竞赛题。并由此可解第23届IMO试题：设，且。求的最小值。例5 若为实数，且 .求证：分析：着眼点是去分母，易见当时，等号成立。此时，而，为保证等号成立，必须凑出： ，若使用有根号存在，达不到目的，于是进行调整，再凑出一项 证明：，四式相加，得又即：例6设a、b、c、d为非负实数，且有，求证（第31届IMO预选题）分析：由及上例立得本题证明，故从略。练习题例1：若，求函数的最小值变式1：，求的最小值；变式2：，求的最小值变式3：，求的最小值；变式4： 求的范围变式5：设S为半径等于1的圆内接三角形的面积，则函数的最小值例2：求函数 的最大值例3：设，且，求的最大值和最小值例4：若，求证：例5若，且，则的最小值例6：若，且，求的最小值变式：若，且，求的最大值例7：已知，且，则的最小值例8：设，求证： 关于几个平均数 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 (当且仅当时取等号)10 / 10文档可自由编辑打印