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1、最新最新高一数学人教版必修五教案数列9第九教时 教材:等比数列，二， 目的:在熟悉等比数列有关概念的基础上,要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质, 幵系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。 过程: 一、复习:1、等比数列的定义,通项公式,中项。 2、处理课本P128练习,重点是第三题。 二、等比数列的有关性质: 1、不首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 不某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 aa,aa 2、若,则。 m，n,p，qmnpq,例一:1、在等比数列aaa,100a,已知,求。 a,5n910181aa100910a,20aa,aa 解:?,? 11891018a
2、51,b 2、在等比数列中,求该数列前七项之积。 b,3n4，bbbbbbb,bbbbbbb 解: 123456717263543227b,bb,bb,bb ?,?前七项之积 ，3，3,3,21874172635,aa,54a 3、在等比数列中,a,2,求, n582a5435a,aq,a,54，,1458 解: 855a,222aa54,a，,2a 另解:?是不的等比中项,? 5882a,1458 ? 8三、判断一个数列是否成GP的方法:1、定义法,2、中项法,3、通项公式法 012n,15555例二:已知无穷数列, 10,10,10,？10,？求证:，1，这个数列成GP 1 ，2，这个数列
3、中的任一项是它后面第五项的, 10，3，这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 1n,15a10n5证:，1，常数，?该数列成GP。 ,102n,a1n,510n,15a1011,1n ，2，,即:。 10a,ann，5n，4a1010n，5510p,q,p，q,112555aa,1010,10 ，3，,?,?。 p,q,Np，q,2pqp，q,2n,1,55 ?且,?,，第项，。 ，p，q,1,Np，q,1,11010p，q,1,22222例三:设均为非零实数, ，a，bd,2ba，cd，b，c,0a,b,c,dd 求证:成GP且公比为。 a,b,c22222d证一:关于的二次方程有实根,
4、，a，bd,2ba，cd，b，c,0222222 ?,? ，,，b,ac,0，,4ba，c,4a，b,022b,ac,0b,ac 则必有:,即,?成GP a,b,c2 设公比为,则,代入 c,aqqb,aq222222224 ，a，aqd,2aqa，aqd，aq，aq,02222 ?,即,即。 ，q，1a,0d,2qd，q,0d,q,022222，证二:?，a，bd,2ba，cd，b，c,0 222222 ?，ad,2abd，b，bd,2bcd，c,0 22ad,bbd,c ?，,?,且 ad,b，bd,c,0bc ?非零,?。 ,da,b,c,dab四、作业:课课练P127-128课时7中
5、练习48。 P128-129课时8中 例一,例二,例三,练习5,6,7,8。 第十教时 教材:等比数列的前项和 n目的:要求学生掌握求等比数列前项的和的，公式，,幵了解推导公式所用的方法。 n过程: 一、复习等比数列的通项公式,有关性质,及等比中项等概念。 二、引进课题,采用印度国际象棋发明者的故事, 6263即求 ? s,1，2，4，8？，2，264用错项相消法推导结果,两边同乘以公比: 6364 ? 2S,2，4，8，16？，2，264196464?,?:这是一个庞大的数字1,8410, S,1，2,2,164以小麦千粒重为40计算,则麦粒总质量达7000亿吨国王是拿不出来的。 gS,a，
6、a，a，？，a，a三、一般公式推导:设 ? n123n,1nqS,a，a，？，a，a，qa乘以公比, ? qn23n,1nnnn，a,qaa,aqa1,qn111，1,qS,a,qa?,?:,时: S,q,1n1nn1,q1,q1,qS,na 时: q,1n1a,q,n,Sa,a,q,S注意:，1，和各已知三个可求第四个, 1n1nnnn,1 ，2，注意求和公式中是q,通项公式中是q不要混淆, ，3，应用求和公式时,必要时应讨论的情况。 q,1q,1四、例1、，P131,例一略，直接应用公式。 例2、，P131,例二略，应用题,且是公式逆用，求，,要用对数算。 n例3、，P131-132,例三
7、略，简单的“分项法”。 23n,1 例4、设数列为求此数列前项的和。 ,na，x,01,2x,3x,4x？nx？n23n,1 解:，用错项相消法， ? S,1，2x，3x，4x，？，nxn23n,1n ? ，xS,x，2x，3x，？，n,1x，nxn2n,1n ?,?, ，1,xS,1，x，x，？，x,nxn当时, x,1nnnn，1nn，1，1,x1,x,nx，nx1,1，nx，nxn ，1,xS,nx,n1,x1,x1,xnn，1，1,1，nx，nx S,n2，1,x，n1，n 当x,1时, S,1，2，3，4，？n,n2n 五、小结:，1，等比数列前项和的公式,及其注意点,，2，错项相消
8、法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法,，作机动， S,a，a，a，？，a 法1:设 n123naaaa3n24,？,q,a ?成GP,? naaaa123n,1a，a，a，aS,a？1123nn,q,q 由等比定理:即: a，a，a，aS,a？123n,1nnn，a,aqa1,qn11 当时, S,q,1n1,q1,qS,na 当时, q,1n12n,1S,a，aq，aq，？，aq 法2: n11112n,2 ,a，q，a，aq，aq，？，aq 11111，,a，qS,a，qS,a 1n,11nna,aq1n 从而:当时，下略， ，1,qS,a,aq,q,1S,n1nn1,q当时 S,n
9、aq,1n1六、作业:P132-133 练习 ?,?,? 习题3,5 ?,?,?,?,? 第十一教时 教材:等比数列教学不测试第40、41课 目的:通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识不概念的目的。 过程: 一、复习:等比数列的有关概念,等比数列前n项和的公式 二、处理教学不测试第40课: ，先要求例一、，P83x,还要检验，等比数列中任一项a,0, q,0， n例二、，P83，注意讲:1:“设”的技巧 2: 区别“计划增产台数”不“实际生产台数” 例三、，P83，涉及字母比较多，5个，,要注意消去a, a 241n,1a,3,()例四、，备用题，已知等比数列a的通项公式且:nn
10、2b,a，a，a,求证:b成GP nn3n,23n,13n1n,1a,3,() 证:? n21113n,33n,23n,1b,a，a，a,3()，3()，3()? n3n,23n,13n2221112113n,33n,3,3()(1，),() 22442b13n，1 ? ?b成GP ,()nb2n三、处理教学不测试第41课: 例一、，P85，可利用等比数列性质aa= aa再结合韦达定理求出a1n 2 n,1, 1不a，两解，,再求解。 n1例二、，P85，考虑由前项求通项,得出数列a,再得出数列,再nan1求和注意:从第二项起是公比为的GP (2例三、，P85，应用题:先弄清:资金数=上年资金
11、，1+50%，,消费基金。然后逐一推算,用数列观点写出a,再用求和公式代入求解。 5例四、，备用题，已知数列a中,a=,2且a=S,求aS n1n+1nn ,n解:?a=S 又?a=S, S ?S=2S n+1nn+1n+1nn+1n?S是公比为2的等比数列,其首项为S= a=,2, ?S= an1111,1nn2= ,2 ,2(n,1),n,1?当n?2时, a=S,S=,2? a,nnn,1 ,nn,12(n2),例五、，备用题，是否存在数列a,其前项和S组成的数列S也是等nnn比数列,且公比相同？ 解:设等比数列a的公比为q,如果S是公比为q的等比数列,则: nn,naq1,1,nn,n
12、,11,a(1q) ,而,SSqaqS,111nnq1,1q,?S(n，1)an，1,，n1n11 q,1时,S,aq,na即:,q,1得n，1,n(矛盾)n11Snann1n，1nSa(1,q)1,q,1，11nn q,1时,S,aq,即:,q,q,1(矛盾)1nn1,qS1,qn所以,这样的等比数列不存在。 四、作业:教学不测试P84、P86 练习题 第十二教时 教材:等比数列综合练习 目的:系统复习等比数列的概念及有关知识,要求学生能熟练的处理有关问题。 过程: 一、处理教学不测试P87第42课习题课，2， 1、“练习题”1 选择题。 Pn A P 2、，例一，略:注意需用性质。 PPP
13、21 3 4 B 3、，例三，略:作图解决: n，AP,AB,BP，PP,PP，PP，？，,1PP 解: n1122334n,1naaan ，,，？，,a12n222n，1112,1，n ，a？a,1,，,1,1，,2nn，1,23222，二、补充例题: ,naaa,36,a，a,60,S,400 1、在等比数列中,求的范围。 n1324n22aa,aq,36解:?,? aq,6131122 又?,且,?, aq,0a，a,aq，1，q601，q,02411,a,2a,2,112或 ?解之: aq,6,1，q,10,1qq,3,3,nn，1,aq，23,1n1n,6,400,3,401当a,2
14、,q,3时,? Sn11,q2563,2733,729，?， n,，,2,3,1n，S,400,3,801a,2,q,3当时, n1,4*n,N?且必须为偶数 78?,，?， n,8，,3,2187,3,6561,12、等比数列前项和不积分别为S和T,数列的前项和为, ,nnaS,nan,nS,2 求证: T,S,nn证:当时, S,naS,q,1T,a11a1n,n,naSn221,a,T ?,，成立， 1,nS1,a1,11n,nn，n,1na，1,qa，1,qq,1112当时, S,T,aq,S,q,11,1n,11,q，1,qaqq,112n1n，n,1，nS,n2n,122,，成立，
15、 ，,aq,aq,T,11S,，综上所述:命题成立。 n2n3、设首项为正数的等比数列,它的前项之和为80,前项之和为6560,且前 n 项中数值最大的项为54,求此数列。 n,，a1,q1，,801,1,qnn 解: ,1，q,82,q,81,n2，a1,q1,，,65602,1,q,n 代入，1，, ，,得:a,q,1,0,从而, a，1,q,801,qq,111,nna ?递增,?前项中数值最大的项应为第项。 nnqn,1nn,1n,1n,1，,1,54,81,54,27,3qqqqqq ?aq,54,?, 1n,1qa,2 ?,?此数列为 2,6,18,54,162？14、设数列前项之
16、和为,若且, ,n，aSS,3S，2S,0n,2S,1,S,2nnn，1nn,112问:数列成GP吗？ ,an解:?,?,即 ，S,3S，2S,0S,S,2S,S,0a,2a,0n，1nn,1n，1nnn,1n，1nan，1 即:,?成GP ,2,a，n,2n,2nana2 又:, a,S,1,a,S,S,1,211221a1，1n,1, ?不成GP,但时成GP,即:。 ,aa,，n,2,nnn,1，2n2,三、作业:教学不测试P87-88 练习题 3,4,5,6,7 补充:1、三数成GP,若将第三数减去32,则成AP,若将该等差数列中项减 22638 去4,以成GP,求原三数。，2,10,5
17、0或， ,999n2nS,48,S,60S 2、一个等比数列前项的和为前项之和,求。 n2n3n，63， 1,n，1a,4,S,36a 3、在等比数列中,已知:,求。 2，,36n7,精编P176-177 第2,4题。 第十三教时 教材:数列求和 目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。 过程: 一、提出课题:数列求和特殊数列求和 n(n，1)常用数列的前n项和: 1，2，3，？，n,22 1，3，5，？，(2n,1),nn(n，1)(2n，1)2222 1，2，3，？，n,6n(n，1)33332 1，2，3，？，n,2二、拆项法: 例一
18、、，教学不测试P91 例二， 1111求数列的前n1，1,，4,，7,，10,？,，(3n,2),？23n,1aaaa项和。 1 解:设数列的通项为a,前n项和为S,则 a,，(3n,2)nnnn,1a111 ？S,(1，？，)，1，4，7，？，(3n,2)n2n,1aaa2，n,nn，n(132)3a,1S,n，,当时, n2211,nn，n,na,n,n(132)1(31)aS,，,，a,1 当时, nnn,1122a,a1,a三、裂项法: 6666例二、求数列前n项和 ,？,？1，22，33，4n(n，1),11解:设数列的通项为b,则b,6(,) nnn(n，1)nn，111111？S
19、,b，b，b,6(1,)，(,)，(,)n12n223nn，1 16n,6(1,),n，1n，1111例三、求数列前项和 n,？,？1，21，2，31，2，？，(n，1)1211 解: a,2(,)？n1，2，？，(n，1)(n，1)(n，2)n，1n，211111111n ？S,2(,)，(,)，？，(,),2(,),n2334n，1n，22n，2n，2四、错位法: 1例四、求数列前n项和 n，n21111 ? 解:S,1，2，3，？，n，nn2482111111 ? S,1，2，3，？，(n,1)，n，nnn，1248162211(1,)nn11111122S,，？，,n，,两式相减: n
20、nn，1n，1122482221,21n1n？,S2(1)2 nnn，1n,1n2222a，12*n例五、设等差数列a的前n项和为S,且, S,()(n,N)nnn2求数列a的前n项和 na，121a,(),a,1 解:取n =1,则 112()(，)，1na，anaaa21n1nn,()又: S, 可得: n222* ？a,1(n,N)？a,2n,1nn2 ？S,1，3，5，？，(2n,1),nn五、作业:教学不测试P9192 第44课 练习 3,4,5,6,7 n补充:1. 求数列前n项和 ,1,4,7,10,？,(,1)(3n,2),？,3n，1,n为奇数,2(S,) ,nn3,n为偶数
21、2,21n,n，23 2. 求数列前n项和 8(),n,3n,322222222 3. 求和: (5050) (100,99)，(98,97)，？，(2,1)n(n，1)(n，5)(+ 1) 4. 求和:14 + 25 + 36 + + nn ()322n,1 5. 求数列1,(1+a),(1+a+a),(1+a+a+a),前n项和 a,0时，S,nnn(n，1)a,1时，S, n2n，1n(n，1)a，a、时，a,10S,n2(1,a)第十四教时 教材:数列的应用 目的:引导学生接触生活中的实例,用数列的有关知识解决具体问题,同时了解处理“共项” 问题。 过程: 五、例题: 1,教学不测试P
22、93 例一，大楼共n层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k层的临时会议室开会,问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。，假定相邻两层楼梯长相等， 解:设相邻两层楼梯长为a,则 S,a(1，2，？，k,1)，0，1，2，？，(n,k)2 n，n2,ak,(n，1)k，2n，1当n为奇数时,取 S达到最小值 k,2nn，2当n为偶数时,取k,或 S达到最大值 222,在,1000,2000,内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？ *解:不妨设a,3n,b,4m，1(m,n,N), nm则c为 a 不 b 的公共项构成的等差数列 (1000?c?2000) pnnp?a = b
23、 ,即:3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ?c=9且有上式可知:nm1d=12 *?c=9+12(p,1) ( p,N) p71183,p,166由1000?c?2000解得: n1212?p取84、85、166共83项。 七、学困生辅导和转化措施23,某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m,如果该城市2每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m,求22000年底该城市人均住房面积为多少m？(精确到0.01) 解:1991年、1992年、2000年住房面积总数成AP 22 a= 6500 = 3000万m,d = 30万m,a= 3000 + 930 = 3
24、270 1 10 8.直线与圆的位置关系1990年、1991年、2000年人口数成GP 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。9b= 500 , q = 1% , b,500，1.01,500，1.0937,546.81 101、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。32702?2000年底该城市人均住房面积为: ,5.98m546.84,，精编P175 例3，从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水,然后加入1 kg水,以后每次都倒出1 kg
25、盐水,然后再加入1 kg水, 问:1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？ tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；2.经6次倒出后,一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水53.264.1生活中的数3 P24-29的盐的质量分数为多少？ 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;解:1.每次倒出的盐的质量所成的数列为a,则: n112 a= 0.2 kg , a=0.2 kg , a= ()0.2 kg 12322111n,15,14 由此可见:a= ()0.2 kg , a= ()0.2= ()n5222分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:0.2=0.0125 kg 1 2.由1.得a是等比数列 a=0.2 , q= n1264.24.8生活中的数3 P30-3510.2(1,)66a(1,q)12？S,0.39375kg611,q1,2sin0.4,0.39375,0.006250.00625,2,0.003125六、作业:教学不测试P94 练习 3、4、5、6、7 精编P177 5、6