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1、2020北京海淀高三一模数 学2020春本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束 后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在复平面内，复数?(211 / 16A.第一象限C.第三象限2 .己知集合？?= ?0 0）的离心率为A. 1C. 34 .已知实数？?在数轴上对应的点如图所示，A. ? ? ?5.在（?- 2?6的展开式中，常数项为A. -120C. -160圆？加着直线？动，当圆？藤动到圆？时，圆？与直线？切于点B.第
2、二象限D.第四象限则集合B可以是C. 0,1,2D. 1,2,3V5,则？?勺值为B. 2D. 4则下列式子中正确的是B. ? ?_c b 。0D. |? = 1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数？?在? ?-6上的最小值，并直接写出函数？的一个周期注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。18 .(本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：14.2 %二1 汇生 13.9*%16.0%14.0%12.0%11).0
3、% 队0%6.0%4,0%2.0%0.0%一研发投入 研发投入占营收其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元).(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%勺概率；(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设？喉示其中研发投入超过 500亿元的年份的个数，求 ？勺分布列和数学期望；(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由19 .(本小题共15分)已知函数？ = ?+ ?(I )当？?= -1 时，求曲线？?= ?在点(0, ?(0)处的切
4、线方程；求函数？?的最小值；(II)求证：当？e (-2,0)时，曲线？?= ?与？?= 1 - ?智？只有一个交点。20 .(本小题共14分)已知椭圆？:可+ 浮=1(? ? 0)的离心率为 右,？?,。),？么?。),？?!。, ？?,？?？?？勺面积为 2.(I )求椭圆？的方程；(II )设？?是椭圆？让一点，且不与顶点重合，若直线？内直线？?交于点？ I ?1 ? J:?i ?2 ?_)、( ?求证：？?？等腰三角形.21 .(本小题共14分)已知数列?是由正整数组成的无穷数列。若存在常数？?e ?,使彳#?-1 + ?= ?衬任意的？e ?日成立，则称数列?具有性质？?(?.)(I
5、)分别判断下列数列?是否具有性质？?(2);(直接写出结论)？?= 1;？?= 2?(II )若数列?满足？%+1 ?*?= 1,2,3,)，求证： “数列?具有性质？?(2)”是“数列?为常数列”的充 分必要条件；(III )已知数列?中？= 1,且?+1 ?？?= 1,2,3, ).若数列?具有性质？(4),求数列?的通项公式.2020北京海淀高三一模数学参考答案、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .【解析】A考查复数的计算、复平面的基础知识2i(2 i) 2i i 1 2i ，复平面内对应的点坐标为(1,2)选才i A；2 .【
6、解析】B3 .【解析】B4 .【解析】D5 .【解析】Cr .1 . 6 rr r r 2r 6Tr 1 C6 ()( 2x) C6( 2) (x)X常数项2 r 6 0,r 3带入计算，可得答案；6.【解析】C 如图,8.【解析】C9.an 1充分性证明：令r 1得,ap 1 ap& 2ap所以一J 2 ,所以成等比数列；ap必要性证明：?为等比数列，？= 2, ap r apar2qp r 1 4qp r 2 q10.【解析】BQ F5 =225 1, 1g F5 lg(225 1) 321g 2 9.633, F5 109.633 所以是十位数第二部分(非选择题共110份)填空题共5小题
7、，每小题5分，共25分。11.【解析】?= -1;点？?(1,2)在抛物线? = 2?,等价于？(1,2)满足方程? = 2?即有4=2 p p 2 x 卫 1212.【解析】24Q a?a5a616a6 13,d2;根据公式 Sn二an n(n 1)d ,得到 S4=24213.【解析】14.15.v Q|a|v|av b|v2 av2 av2 bvv 2abv2 vvb =2abv(a1v -b)b 2vv ab1 V2 b =02【解析】4v2；2v6第一步画示意图观察图形，可得在ABADABD中，利用正弦定理解决？?度问题:sin ADB sin B4.3 AD32再利用三角形面积公式
8、即可解决第二问:c1-S=21AD1|DC|sinADC - 4.52【解析】(1) (2)根据正三角形的性质，能判断在区间0,6上的取值范围就是函数值域,9 uuv .当 x 0,6时，f (x) |OP|2 |OP|2 |uuv uuvOA APUUV2 UUV2o UUv2 UUv2uuv uuv|2 OA AP 2OAgAP 126x (x 3)2所以当x 0或者x 6时，f(x)max 12，所以(1)正确;1I15 / 16P点运动轨迹就是正三角形的三边,关于BC边上的中线对称(如上图)，所以 x 9对称，所以(2)正确;当 x (6,12时,f(x) f(x_一 2 一6) (x
9、 9)3当 x (12,18时，f(x) f (x12) (x 15)2 3整体函数图象，如上图，关于？的方程？?(?= ?3转换为y*)与丫 kx 3这个过(0,3)的动直线的交点个数情况，最多可以6个；三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16 .【解析】(1)关键点在于找到与之垂直的两个相交直线?! ? ?在面?!?在平行四边形？?？叩利用平面几何知识证明(1) ？?1 平面? ?平面？?？?L ?又？ ？?为三棱柱? ?= 2? 2.?= 2 = ? ?= 1.?= V3.,在?扎?+ ?9=?孑. .?，？?？ . ？力？? ? ?面？?？面？?？，平
10、面？(2)二面角，首选空间向量，必须建系，建系需要先证明存在空间三垂直的“墙角”2分设平面？?法向量为？?= (?,?) ?(?,V?为平面？?法向量(2) ,.?”面？ ？.？，？又,. ？FF面？ ？L？ ？L ？，以？妁空间直角坐标系原点，？轴，？为？轴，？轴建系如图1？70,0,0),？1。0),？(0, v3,0), ？(- 2,v3,1)1？隼(-,v3,1)，需?= (1,0,0)；设平面？法向量为？= (？).？ ？ ？ ？ ？m 0,？ ？= 0？+ v3？+ ？= 0, ？= 0;令？?= v3则？?= -3？= (0, v3,-3) ； ,？?F面？P ？0, v3,0)
11、为平面？去向量;v LULV1cos n BC11 ,二面角？- ？ ？效锐角，所以为450 .，217 .分析：选条件来解题，很热，很火！【解析】(I ) ？0)=2？0？(2(II )当取？ = 1 , ？? = 2时？ =2？+？2？2？2？1? = V2sin (2？+ ) + 1？c卜 2,6？3？ 7？,2？+ 4 - 7,723？, 一.当 2？+ 4 =-时，即？=？(？飙?方？( 3？) = 1 - V28？= ？当取？, = 1, ？2 = 2时？ = 2？?？ ？2？-2？ ？12令？ ？w - ？,/ , .？ -1, 1则？= ？= -2？2 + ？ 2,？庄-1,
12、所以？(？ ？(？= ？-1 ) = -2并且？?= 2?18 .【解析】(1)由题意可知，从 2010年到2019年共10年，其中研发投入占当年营收的百分比超过10%勺有9年；设从2010年到2019年随机选取一年，研发投入占当年营收的百分比超过10私事件A,所以？=亮(2)由图可知，研发投入超过500亿元的年份的有5个，未超过500亿元的年份有5个。由题意可知？勺可取值为：0,1,2.？?？= 0)=”_ 2？0 = 9？= 1)=59？= 2)=所以？咐分布列为:?012?252999所以？ = 0 X2+ 1 X5+ 2 X2= 1 999(3)由题意可知从2010年到2019年共10
13、年，其中该年研发投入占当年营收的百分比超过10%勺有9年；而且从研发投入上看研发投入基本都在每年增加。可见该公司在发展的过程中比较重视研发。19 .【解析】(I)切线方程为？= 1;？?(？= ？- 1,令？(？ = 0,彳#？= 0;所以，当？变化时，？(？与？?？的变化情况如下表所示:?(-0,0)?式？-?0(0,1)0+所以？(？妙？科?0) = 1;(II )当？C (-2,0)时，曲线？?= ?(?芍？?= 1 - ?只有一个交点等价于?= ?+ ? ?(?0)有且只有一个零点；方法21 / 16? (?)= ?3?+ ?+ )? 0). / ? 0,当？?e(0,1)时，？? i
14、,? 1,-2所以？?？在(0,1)单调递增;当？e1,+oo),?0 ? 1,2 ? 0,所以？在1, +8 )上单调递增;综上可知：?在(0, +8)上单调递增；又因为？3) = ?+ 3?+ ?3 1 0,?1 ) = ?1 + ?+ ? ) 1 ?- 2 + ? 0,?(2) 1,聂 1,所以？?) 0 ?0?0所以？?(?如？?6 (0, +8)单调递增，?*?= ?+ ?- 1 - 1,? 4 2?所以？取 2,又因为？?C (-2,0),?员；)=?+?-2 ? 7,?-2? -6, ? = ?+ ? 1 + 1 0根据零点存在性定理可得一定存在一个？，使得？?)= ? + ?
15、1 + ? 0所以当？C (-2,0)时，曲线？?= ?(?罚？?= 1 - ?只有一个交点20.(1)由题得?_ v3?= -X 2?= 2 , 解得:2?2 + ?= ?=?=，椭圆？?勺方程为：+ ?3 = 14(2)方法?2C设？?(？,？?),(?)W0, 2) .-?-+ ?铲=1?可求得直线？?： ?= -0-(?+ 2),直线？ -+ ?= 1?0+22?= -(?+ 2)联立-：?+2 ()?+ ?= 1?=,解得：?=2?)-4?0+4+2-0+2 . ?(2?-4?0+4-40-4?0，?/0+2?%+2，?)?-2?0-2同理：直线?：?=?t(?- 2) ?-2直线？
16、?一-2?0-4?0+4:T+?=1可求得？C?素厂，-4?0?-2?0-2 )可求得:|?任=?2+ (1 - ?)2= ?2+ ?45?帝4 ，|?f = ?1 + (1 - ?!2 =?/ + 45?孑4 ，2?+ 2?- 2(?- 2?- 2)二4(? - 2? + 2? - 2? + 2?+ 2? - 2-+ -)(? + 2? + 2 ?- 2? - 2)( ? + 2? + 2?+ 2?2- 2?- 2?- 2)而?吊-?! = (fS0+4)2- el1)22?- 2? + 2=4()(?+ 2? + 2)其中?- 2?3+ 2?+ 2?3- 2+?+ 2?2+ 2?- 2?-
17、 2(? - 2? + 2)(?0 - 2? - 2) + (? + 2? - 2)(? + 2? + 2)(? + 2? + 2)(?% - 2? - 2)(?3- 2?)2- 4+ (?3+ 2?)2- 4 (? + 2? + 2)(?d - 2? - 2)2?乎 + 8?2 - 8-=0(? + 2? + 2)(? - 2? - 2).？?，= |?即 |?= |?P.?等腰三角形方法二:2设？?（？,？?）,（？ W0, 2） .9 +?2 = 1可求得直线？?： ?=五?+2（?+ 2）,直线？?万 + ?= 1?=卫联立: 片(?+ 2)?= 2?-4?0+4-+ ?=2，解得：1
18、?=?+2?0+2-4?0?-2?0-2.2?;?因此？?-1+ ? 2?等号成立当且仅当？?？=?-1 =?为 若?非常数列，设?= ?出？”？?w ?,显然? 2.若2?M?= ?= ?；若21？则？?二 2?也=?,矛盾，因此?冽为常数列 2必要性：因为?e?/, ?= ?因此？?-1 + ?= 2? = 2?(3) ?= 1 ,?+?= 4?,可知？ = 3,因此？ + ? = 4? = 12且？ 4若？= 4,则？ =8, ?+ ? 9 + 10 16 = 4?,矛盾；若？ 6,则？ 6,矛盾.因此 ?3 = 5， ?4 = 7.下证?= 2?- 1.假设该命题不成立，设？?= ?|?-i W4? 3 或？?w 4? 1,显然？?A 3考虑数列?, 其中 ?= ?+2?-4 - 4(?- 2) ,则数列?也具有性质?(4),且 ?1? = ?2?-3 - 4( ?- 2) = 4?- 7 - 4(?- 2) = 1,同理有?3 = 5， ?4? = 7，即?3+2?-4 - 4(?- 2) = 5, ?4+2?-4 - 4(?- 2) = 7,有?2?-1 = 4?- 3且?2?= 4?- 1 , 矛盾，证毕。