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1、感谢你的观看感谢你的观看常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1 . 一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线.2 .二阶线性齐次微分方程的两个解y/x）, y2（x）为方程的基本解组充分必要条件是3 .方程y“2y + y =0的基本解组是 .4 . 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.5 .方程曳=匚的常数解是.dx二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程d! = x 一3十y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A）上半平面（B） xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7 .方程曳=qy +1 （）奇解.dx（A）有一个（B）有两
2、个（C）无（D）有无数个8 . f （y）连续可微是保证方程 dy = f （y）解存在且唯一的（）条件.dx（A）必要（B）充分 （C）充分必要（D）必要非充分9 .二阶线性非齐次微分方程的所有解（）.（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间、工口 dy o -2 _ .10 .万程=3y3过点（0, 0）有（B ）. dx（A）无数个解（B）只有一个解 （C）只有两个解（D）只有三个解三、计算题（每小题6分，本题共 30分）求下列方程的通解或通积分：11.12.dy=ylny”1.(y)2dx x xdy513 .二 y x
3、ydx22、14 . 2xydx (x - y )dy = 015 . y = xy 2( y )3四、计算题(每小题10分，本题共20分)16 .求方程y 5y =-5x2的通解.17 .求下列方程组的通解.dx-y dt sintdy =-x dt五、证明题(每小题10分，本题共20分)18 .设f(x)在0,十叫上连续，且lim f(x) = 0,求证：方程x 二dy y = f(x) dx的一切解 y(x),均有 lim y(x)=0.x_)二19 .在方程 y+p(x)y+q(x)y = 0 中，p(x), q(x)在(-o,+比)上连续，求证：若 p(x) 恒不为零，则该方程的任一
4、基本解组的朗斯基行列式W(x)是(8，+R)上的严格单调函数.常微分方程模拟试题参考答案一、填空题(每小题3分，本题共15分)1. 22.线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)一 - x 一 x3. e , xe4.开5.y = 1二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)6. D7. C 8. B 9. C 10. A（1分）（3分）（6分）三、计算题(每小题6分，本题共 30分)11.解：y=1为常数解当y 0 0, y。1时，分离变量取不定积分，得-d- = dx Cylny通积分为ln y = Cex注：y=1包含在常数解中，当 c = 0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。1
5、3.解:方程两端同乘以yl得-5y=Z，则dy u y xdx-4y*Mn也，代入上式,得 dx dxdz - -z 二 x（1分）4 dx这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为. 4xz = ce利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为_4x1z = Ce - x4（3分）（4分）（5分）因此原方程通解为-4 c 心1y 二 Ce -x -4.：Mc：N_、/14.解： 因为 =2x = ，所以原方程是全微分方程.二 y二x取(x, y) =(0, 0),原方程的通积分为xy 202xydx - 0 ydy =C（6分）（2分）（4分）计算得213x2yy3 =C315 .解
6、： 原方程是克莱洛方程，通解为 3y = Cx 2C四、计算题（每小题10分，本题共20分）16 .解： 对应齐次方程的特征方程为2九一5九=0 ）特征根为丸 1 = 0 , 齐次方程的通解为_5 xy-C1c2e因为a =0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为，、，- 2_ 一、y1（x） = x（ AxBx C）代入原方程，比较系数确定出1-A = , B3原方程的通解为5”_ 2一 25 5x 1y =C1 C2e317.解：齐次方程的特征方程为1 22x -x525特征根为- - -i求得特征向量为 2 1=0因此齐次方程的通解为令非齐次方程特解为C2 son；costL =C1(t)
7、| b-l-sint -tsintjsintC2 costC1 (t),C2满足cost sin tIHsin t cost1 (t)比2 (t)j Lsin t0解得积分，得C1(t) = Insint , C2(t) =t通解为（6分）（6分）（1分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10 分）（1分）（2分）（3分）（4分）（5分）（6分）（8分）（9分）.y C2sin 11 cost ln sin t|+t sin t Cost - - sint In sint| +1 cost五、证明题(每小题10分，本题共20分)18.证明设y = y(x)是方程任一解，满足 y(xo)= y,
8、该解的表达式为y(x)当 e 0:f(s)e(s，。)dsx0X_x0 e取极限lim y(x) = lim y0 lim -x .x)二 e -x0x)二:f(s)e(sz)dsx00,若f(s)e(s)ds ：二二x0 ，19.证明基行列式在(=0limJ 二f (x)e(x40,若 f (s)e(s4ds.二 - x: 设y(x), y2(x)是方程的基本解组，则对任意xw(-叫十好),，+g)上有定义，且 W(x) #0 .又由刘维尔公式-xW(x) =W(x0)e x0p(s) ds，x0 亡(-00, +=0)W(x) =W(x0)ep(s)ds0 p(x)由于 W(x0)0, p(x)0,于是对一切 xW(*, +8),有W(x) 0 或 W(x) 0故 W(x)是(-8，十七)上的严格单调函数.(10 分)(4分)(10 分) 它们朗斯 (5分)(10 分)