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1、材料力学笔记一、截面对形心轴的轴惯性矩矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为Ix=Iy=bh 3/12Ix=Iy=兀 R03tB B.3-4 )(B.3-5 )B B.3-6 )3式中值=%, d实心圆直径和空心圆内径, 壁圆壁厚。D）一空心圆外径，R一溥壁圆平均半径。t 溥惯性矩I量纲为长度的四次方（mm4）,恒为正。二、截面抗弯刚度EIz和抗弯截面模量 Wz(a)上式代表距中性层为y处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的p对同一横截面来说是个常 数，所以正应变e与y成正比（上缩下伸），与z无关。式（a）即为横截面保持平面，只 绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。(b
2、)式（b）表示横截面上正应力沿梁高度的变化 规律，即物理方面的关系式。由于式中p对 同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性 模量E也是常数，所以横截面上任一点处的 正应力与y成正比（上压下拉）。显然中性 轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力max发生在距中性轴最 远的上下边缘（图7.2-4 ）。图7.2-4弯曲正应力分布微内力对中性轴z之矩组成弯矩M即 ydA-MJH（e）-Ay3dA = ME代入式（b）,并将常数一从积分号中提出，得P令l心*,称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方，此值很容易通过积分求出。于是得出（7.2-1 ）上
3、式确定了曲率的大小。式中EIz称为截面抗弯刚度(stiffness in bending)。到此为止, 式(a)中的y和p已经确定。联合式(b)及式(7.2-1 ),得出(7.2-2 )上式即为对称弯曲正应力公式。当 y=ymax时，得出最大正应力公式，即(7.2-3 )式中见二士-称为抗弯截面模量(section modulus in bending ),其量纲是长度的三y他以次方。表7.2-I列出了简单截面的Iz和Wz计算公式。表中口二d/D, R0为薄壁圆平均半径。图 B.3-3表 7.2-1截面L 矩形L实心圆空心圆薄壁圆I zWL111三、平行轴间惯性矩的移轴公式如图B.3-3所示，
4、设yo z0为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为4和 ,则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：(= 4o + 4 = /川 + 43f( B.3-7 )上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理 (Parallel axis theorem)。式中A 为截面面积，a和b分别为坐标轴y0和y以及z0和z之间的垂直距离。如为组合截面，则上式表示为4 = Z 4 + /)广工时 + A?)(B.3-8 )读者自行计算下图各截面对z轴的静矩和惯性矩:图 B.3-4四、极惯性矩1.定义任意形状的截面如图所示，设其面积为A,在矢径为P 处取一微面积dA,定义截面对原点O的极惯性矩为图 B.2-1(B.2-1 )极惯性矩的量纲为长度的4次方（mr4）,它包为正2.圆截面的极惯性矩图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即 小二2印历（图B.2-2）,读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图 B.2-3 ）的极惯图 B.2-2性矩分别为:(B.2-2 )(B.2-3 )(B.2-4 )式中以二/b, d空心圆内径， A空心圆外径，R薄壁圆平均半径。