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1、(老师专业)八年级勾股定理教案勾股定理 1、等腰直角三角形 观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系, 结论:正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 2、直角边长为整数的一般直角三角形 观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢, 结论:正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 3、任意直角三角形 那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗, B A C 从活动中都得出正方形A、正方形B、正方形C面积有什么关系, 结论:正方形A面积 + 正方形B面积
2、 = 正方形C面积 小结:通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。 4、正方形面积与直角三角形三边关系 若我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗,(将正方形的面积和三角形的边长联系起来) 222正方形A面积为，正方形aB面积为，正方形bC面积为。c 结论:由于正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积， 2 2 2 所以 a+ b= c即两条直角边的平方和等于斜边的平方。 5、认识直角三角形三边关系 我们发现:无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方。 222如
3、果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a + b c= 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。 知识点二:运用拼图的方法证明勾股定理 bac如右图:可以得到: 122(a，b),ab，4，c2222a，2ab，b,2ab，c 222a，b,cc122c,ab，4，(b,a)a2b222c,2ab，a，b,2ab如左图可以得到: 222a，b,c知识点三:掌握直角三角形的判别条件 2
4、22直角三角形判定定理:如果三角形的三边长a，b，c +b满足=ca ，那么这个三角形是直角三角形( 知识点四:勾股数 222满足a +b=c的三个正整数，称为勾股数( 勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数( 知识点五:勾股定理的运用 1、在?ABC中，?C=90?(1)若a=8，b=6，则; c= (2)若c=20，b=12，a= 。 2、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为( ) A 25 B 14 C 7 D 7或25 3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高, 4、下列几组数能否作为直角三角形的三边长,说说你的理由( ?9，12，15
5、; ?15，36，39; ?12，35，36; ?12，18，22( 225、三角形的三边长,;满足2,=(,+,;,),则此三角形是 ( ). A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形 6、已知?ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_三角形, _是最大角. 07、四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且?ABC=90，求这个四边形的面积( 13CD124AB3 8、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出?A=40?B,50?，AB,5公里，BC,4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通, 勾股定理及其逆定理的
6、应用 知识点一:勾股定理的应用 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题(在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解( ?已知直角三角形的任意两边长，求第三边 222222,ABC，,:C90cab,，bca,acb,在中，则
7、， ?知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ?可运用勾股定理解决一些实际问题 题型一:直接考查勾股定理 ,ABC，,:C90例1.在中，( AC,6BC,8 ?已知，(求的长 ABAB,17AC,15BC?已知，求的长 22ABACBC,，,10解:? 22? BCABAC,8题型二:应用勾股定理建立方程 ,ABC，,:ACB90AB,5BC,3CDAB,CD例2.?在中，于，, cmcmD3:415?已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为 3013?已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的cmcm面积为 A分析:在解直角三角形时，要想到勾股定理，及
8、两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积(有时可根据勾股定理列方程求解 DACBC,22解:?ACABBC,4， CD,2.4ABBC2224k？,k3S,543k?设两直角边的长分别为， (3)(4)15kk，,？22bab，,17ab，,289?设两直角边分别为，则，可得a12ab,60cm ？,Sab302,ABC，,:C90CD,1.5BD,2.5AC例3.如图中，求的长 ，,，12CD12ABE 解:作于， DEAB,E，,:C90， ？，,，12DECD,1.5 ？在中 ,BDE22 ？，,:,BEDBEBDDE90,2？RtACDRtAED, ？,ACAE RtABC,，,:C90
9、 在中， 222222？,AC3 ？,，ABACBC， ()4AEEBAC，,，CACBC,3,4RtABC,，,:C90例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 BA 题型三:实际问题中应用勾股定理 88例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一cmcmcm2只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mADEBCAB,8CD,2BC,8分析:根据题意建立数学模型，如图m，m，m，过AE,6DE,8点作，垂足为，则m，m DEAB,ED22RtADE,ADAEDE,，,10在中，由勾股定理得 10m答案: 知识点二:勾股定理的逆定理 222babc，,ac如果三角形
10、三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 c?勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一222定理时，可用两小边的平方和ab，与较长边的平方c作比较，若它们222b相等时，以abc，,，为三边的三角形是直角三角形;若，时，ac222bbabc，,以，为三边的三角形是钝角三角形;若，时，以，aca为三边的三角形是锐角三角形; c222babc，,?定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一ac222bbacb，,的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三acacb边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ?勾股定理的
11、逆定理在用问题描述时，不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 知识点三:勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论( 题型四:应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 b,ABCRt,例6.已知三角形的三边长为ac，判定是否为 52a,1.5b,2c,2.5b,1?， ?， a,c,43222222？ab，,，,1.526.25c,2.56.25解:?， ,ABC，
12、,:C90 是直角三角形且 ？1325222222?，？,ABC不是直角三角形 bca，,a,？bc，,169例7.三边长为bab，,10ab,18c,8，满足，的三角形是什么形状, ac解:此三角形是直角三角形 2222理由:，且c,64 ？ababab，,，,()264222？，,abc 所以此三角形是直角三角形 知识点四:勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体(通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决( 常见图形: CCC30?ABDABADBCADB
13、题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 ,ABCAB,13BC,10BCcmcmcm例8.已知中，边上的中线，求AD,12ABAC,证: 证明: ABCD？,BDDC5为中线， cm？AD222222？ADBD，,169AB,169在中， ？，,ADBDAB,ABD222？，,:ADB90AC,13？,ABAC？,，,ACADDC169， cm四、课堂小结 一起回忆一下这节课学过的知识点。 五、作业布置 21、已知:如图，在?ABC中，CD是AB边上的高，且=AD?BD.CD 求证:?ABC是直角三角形. 2、已知:在?ABC中，?A、?B、?C的对边分别是a、b、c，满足a222+b+3
14、38=10ac+24b+26c.试判断?ABC的形状. A3、如图，已知:在ABC中，C=90:，M是BC的中点，MD,AB于222D，求证:AD=AC+BD. DB C M 4、如图，等腰?ABC中，底边BC,20，D为AB上一点，CD,16，BD,12， 求?ABC的周长。 225、已知:如图，DE=m,BC=n,，EBC与，DCB互余，求+CD. BDE D C B 6、如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知
15、反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海, 7、喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800m,从山上A与山下B处各建一索道口,且 BC=1500m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由. 8、如图，在?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，P是?ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求?BPC的度数( 9. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内
16、形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这交台风的影响,请说明理由. 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少, (2)两锐角的关系：AB=90；(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级, 扇形的面积S扇形=LR2 解析 (1)由点A作AD?BC于D， 则AD就为城市A
17、距台风中心的最短距离 186.257.1期末总复习及考试1 在Rt?ABD中，?B=30，AB,220， ?AD=AB=110. 24、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。由题意知，当A点距台风(12,4)20,160(千米)时，将会受到台风影响( 故该城市会受到这次台风的影响( 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角(2)由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时， 经过同一直线上的三点不能作圆. 将会受到台风的影响，则AE,AF,
18、160(当台风中心从E到F处时， 该城市都会受到这次台风的影响. 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)由勾股定理得 ?EF,2DE,60. 15（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。因为这次台风中心以15千米/时的速度移动， 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。6015 所以这次台风影响该城市的持续时间为小时. ,41515 (3)当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风110力为12,6.5级( 20