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1、第5章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲,5.2 轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲,5.2.1 扭转屈曲,图5.1,根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力dA在杆的横截面平面内有分力dFQ，且,作用在截面上得扭矩：,r0截面对弯心的极回转半径,扭转屈曲临界力为：,1,优学课堂,5.2.2 弯扭屈曲,对于截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平衡而绕对称轴y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免的要出现扭转。,杆件的扭转平衡微分方程为：,其中,弯曲平衡的微分方程可以写为：,两端铰接的杆件，杆端边界条件：,当z=0时：,当z=
2、L时：,2,优学课堂,解得：,令,得：,临界荷载,式中：,3,优学课堂,5.2.3计算弯扭屈曲的换算长细比的方法,我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x轴为对称轴，如图所示：,图5.4,根据,得：,令,由于,上式可以写为：,解得弯扭屈曲临界应力：,4,优学课堂,5.3 偏心压杆的弯扭屈曲,偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。,偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：,（5.32）,（5.33）,将式（5.32）对z微分二次，式（5.33）对z微分一次，得到：,得到偏心压杆的临界荷载：,5,优学课堂,在钢结构设计中常常用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳。,由梁整体失稳的临界弯矩为：,利用这个关系
3、式，并将Fe用M代替，得到：,当F=Fy时，F/Fy与M/Mcr之间的关系是直线关系,6,优学课堂,第二节 轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲,临界荷载,中性平衡方程,剪心C沿x和y轴方向平移u和v，截面绕剪力中心扭转角，点B(x,y)沿x和y轴方向位移为：,假定屈曲时杆件处于弹性工作阶段和小变形状态，并假定截面的周边形状保持不变，无初始缺陷。,5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载,7,优学课堂,一 中性平衡方程的建立,(一)通过势能驻值原理来推导,变形后微段长度：,由于u,v是微小量，上式简化为：,B点纵向纤维变形后的总长度为：,B点纵向纤维变形后两端缩短为：,8,优学课堂,式中,应
4、力F/A在小条上的外力功为：,对整根杆，压力F的外力功为：,并考虑了,因此，总势能为,即：,9,优学课堂,二 临界荷载的确定,(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组,如杆段简支时，边界条件为,假设位移函数为：,A、B和C广义坐标或参变数,n1,2,3, 弹性曲线的半波数,将它代入总势能表达式，并令：,10,优学课堂,得到线性齐次代数方程组为：,特征方程为：,或,解此方程式所得F的最小根，即为所求的临界力Fcr。,11,优学课堂,三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例,(一)当杆件截面为双轴对称或点对称时,截面形心与剪力中心重合，x0y00：,方程式的三个根为,12,优学课堂,
5、得到最小临界力，将此三根代入(5.56)式，可得,当FFx和FFy时，杆件为弯曲屈曲，当FF时，杆件为扭转屈曲。,对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。,13,优学课堂,(二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x00，,弯曲屈曲,弯扭屈曲,(三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈曲，临界力为(5.58)式的三个根中最小值，并取n1。,取n1，得到最小临界力。,14,优学课堂,5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载,除了上节所述的基本假定外，需再假设杆件截面具有足够的抗弯刚度，由偏心弯矩产生的弯曲变形很小，可以略去不
6、计。,15,优学课堂,一 中性平衡方程的建立,(一)根据势能驻值原理来导出,中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、应变能U和外力所作的功W的表达式与上一节表达式相同。将(5.66)代入(5.48)式，对整个截面积分，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，可得：,式中 x和y为不对称截面的几何特性。,16,优学课堂,体系总势能Ep的表达式为：,17,优学课堂,二 临界荷载的确定,(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组,如杆段简支时，边界条件为,假设位移函数为：,A、B和C广义坐标或参变数,n1,2,3, 弹性曲线的半波数,根据势能驻值定理，令,18,优学课堂,A、B、C不同时
7、为0的条件是其系数行列式=0，则可以得到稳定方程为：,得：,解这个特征方程可得F的三个根，其最小根就是所求的临界荷载。,19,优学课堂,三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例,(一)当杆件为双轴对称，且压力F作用在一个对称轴(假定是y轴)上时，则x0=y0=ey=x=y=0，此时方程形式为：,或者,式中：,20,优学课堂,临界力为上述三根中最小值，并取n1。当临界力为Px时，为绕x轴的弯曲屈曲，当临界力为其它根时，为弯扭屈曲。,当为弯扭屈曲时：,21,优学课堂,(二)当杆件为单轴对称，且压力F作用在对称轴(假定是y轴)上时，则x0=ey=x=0，此时方程式的形式为：,杆件可能绕x轴弯曲屈曲，也可能是弯扭屈曲。,(三)当杆件截面无对称轴时，则为弯扭屈曲。但当偏压力P作用在剪力中心时，则ex=y0, ey=x0，此时方程可简化为：,其根为：,说明偏心荷载当F通过剪力中心时，不存在弯扭屈曲，只能是弯曲屈曲或扭转屈曲。,22,优学课堂,对于单轴对称截面，扭转屈曲的临界力为：,23,优学课堂,