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1、2013年高考数学二轮复习专题教案 几何证明选讲.doc2013年高考数学二轮复习专题教案 几何证明选讲 【考纲考情分析】 1(几何证明选讲 (1)了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理 (2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 (3)会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理 (4)了解平行投影的含义。通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影;会证明平面与圆柱的截线是椭圆(特殊情形是圆) (5)了解下面定理: llOl定理: 空间中，去直线为轴，直线与相交于点,其夹角为，围绕旋转得ll,Oll到以为定点，为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴交角为(当与平行时，l
2、,记)，则: ,0?，平面与圆锥的交线为椭圆 ,?，平面与圆锥的交线为抛物线 ,?，平面与圆锥的交线为双曲线 ,高考对本专题的考察难度不大，主要以中档题为主，而且各个省市考查不一样，像广东是作为选做题，固定考查一道选择题，分数是5分，江苏是考查解答题，了解好几本的定理即可;平行线等分线段定理、平分线分线段成比例定理、相似三角形的判定及性质、圆周定理、圆内接四边形的性质与判定定理、弦切角定理等。 【专题知识网络】 (1) 相似三角形的判定及有关性质 几何证明选讲: (2) 直线和圆的相关定理 【剖析高考真题】 ACAC(2012年高考天津卷)如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的ABBC延
3、长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点DBDEAB3AF,3CD,则线段的长为 . FFB,1EF,24【答案】 3【解析】如图连结BC，BE，则?1=?2，?2=?A CBBFCBCF？,CBF,ABC？,？，A,，1，又?B=?B，?，,代ABBCABACACAF4,入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=. CDFB3OPBB(2012年高考广东卷)如图3所示，直线与圆相切于点， ACADm,ACn,D，,，PBADBA是弦上的点，. 若，则 AB, . mn【答案】 ，,，,，PBACDBAACBABD【解析】由弦切角定理得，则?， ABAD2ABmn
4、,ABACADmn,，则，即. ACAB【考点梳理归纳】 相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
5、。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等，两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似; (3)三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等，两三角形相似。 判定定
6、理2:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3:对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例，两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 定理:(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
7、个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 直线和圆的位置关系 圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1:同弧
8、或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90?的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理1:圆的内接四边形的对角互补。 定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经
9、过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【考点强化训练】 一、填空题 1.(20122013学年广东省肇庆市中小学教学质量评估第一学期统一检测) CD,BD,4如图3,?
10、ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则 . 【答案】4 【解析】 ?A、B、C、D共圆,?DAE=?BCD.又?=,?DAC=?DBC. BD,4而?DAE=?DAC,?DBC=?DCB.?CD=. OPBCPAA3.(2013届广东省惠州市高三第三次调研考试)如图，切于点，割线经过OOBPB,1OAOOD60:PD圆心，绕点逆时针旋转到，则的长为 【答案】D O【解析】?PA切于点A，B为PO中点，?AB=OB=OA， ,，,AOB60，,POD120?，?，在?POD中由余弦定理， 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。222PDPODOPODOPOD,，,，2co
11、s得: CAB5.(2013届天津市天津一中高三上学期月考)如右图，是半圆的直径，点在半圆上，CDAB,ADDB,5，,COD,tan,D，垂足为，且,设，则 ( 二次方程的两个实数根5【答案】 2互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)ADDB,562DBR,RADDBR，,2【解析】设圆的半径为，因为，所以，即，所以125522DBR,ODR,ADR,CDADBDR, ,由相交弦定理可得,所以33395R5CD53CDR,，所以. ,tan23OD2R39切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.OABP6.(20
12、13届山东省聊城市东阿一中高三上学期期初考试)如右图，是?的直径，是13.13.4入学教育1 加与减（一）1 P2-3OC，CAP,30:ABPPC,23延长线上的一点，过作?的切线，切点为，若，则OAB,?的直径 ( C (一)情感与态度：A B P O 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，【答案】4 ，CAP,30:【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，根据切线定理可PC,232知, ,可以解得为4. PCPBPAPBPBBA,， ()三、解答题 7(2013届兰州一中高三模拟)已知，如图，AB是?O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是?O的割线，
13、过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作?O的切线，切点为H.求证: 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。(1)C，D，F，E四点共圆; 2(2)GH,GE?GF. 【解析】证明:(1)连接CB，?ACB,90?，AG?FG，又?EAG,?BAC， ?ABC,?AEG.?ADC,180?,?ABC,180?,?AEG,?CEF，?ADC，?FDC,?CEF，?FDC,180?， ?C，D，F，E四点共圆( GC(2)由C，D，F，E四点共圆，知?GCE,?AFE，?GEC,?GDF，?GCE?GFD，故GFGE,，即GC?GD,GE?GF.?GH为圆的切线，GCD为割线， GD（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。22?GH,GC?GD，?GH,GE?GF. 六、教学措施：