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1、142 Cholesky 分解在这里我们说明，用LU分解方法分解一个正值并且对称的矩阵 A(At=A)，比如, 对于所有的RN, V不等于0, vTAv 0 (142-1)对于正值矩阵，我们将会在以后的关于矩阵特征值的章节中清楚说明。现在，我们 只是用上面这个定义，注意很多矩阵符合这个性质。比如以下这个经常作为PDE解的矩阵，这个矩阵为正值矩阵，其原因为 Vv2_-Vi _旳-Vi -1V3V2 + 2号-v424_(14.2-3)=vi(2vi-v2) + v2(- i + 2v2 - v3) - vs(-v - 2巧-v4) + v4(-V3 4- 2v4) =2vr - VtV V1V5
2、 彳 - V1V3 + 2V5- V1V3 V3V4 + 2r4_ V3V4=2(vi2 + v? + vj + v)一 2(viv? + vht + V5V4)(1.4.2 4)由于第一项是正值，并且大于第二项，因此VTAv 0.对于满足 At = A, vTAv_ 0条件的A，我们可以进行Cholesky分解，A = LLt (142-5)注意At = (LLt)t = (Lt)tLt = LLt = a (142-6)并且VTAv= vTLLTv= (LTv)T(LTv) = (LTv)(LTv) 0 for 匕不等于零,非奇异性(142-7)在这里，我们用到了决定性的条件(AB)T =
3、 BtAt (142-8)所以A = LLT的条件就决定了 A是一个对称且正值矩阵Cholesky分解的优点是:0-只需L进行简化。1- 即使不进行绕轴旋转也很稳定。2- 使用系数2能比LU分解快。如果将(142-5)写的更清楚，我们得到,l21(1.4.2-9)运用乘法我们得到 L11L11 = an = Ln= 11)(1/2) (142-10) 接下来，用L的第一行乘LT的第二列a12 = L11L21 = L21 = a/Ln (1.4.2-11)接下来，用L的第一行乘LT的第三列a13 = L11L31 = L31 = a13/Ln (1.4.2-12)对于j = 4,.，我们同样可
4、以得到Lj1 = au/Ln (1.4.2-13)这样，我们就得到了 L第一列(LT的第一行)的值 接下来，我们处理L的第二列， 用L的第二行乘LT的第二列L21L21 + L22L22 = a22 = L22 = 2 - L12)(1/2) (1.4.2-14)用L的第二行乘LT的第三列L21L31 + L22L32 = a23 = L32 = (&3 - L1L3J/L22 (1.4.2-15)用L的第二行乘LT的第j列L21Lj1 + L22Lj2 = a = Lj2 = (a2j - L Lj1)/L22 (1.4.2-16)这样，我们就得到了 L第二列(LT的第二行)的值通常，为得到
5、L第i列的值，我们就首先用L的第i行乘LT的第i列Li12 + Li22 + + L, i-12 + Lii2 = ai (1.4.2-17)= Lii = an - (1/2) (1.4.2-18)接下来，对于j = i+1, i+2,!我们用L的第i行乘LT的第j列打Lji - 1 心5十* LuLjjXiLji aij (L4J-19)因此5=|训厂 1 心(L4-2-2O)lc = l这样对于运算Cholesky分解有下面的运算法则：For i = L 2N% each column of LFor j =汁1, i+2,. N % each element below the diagonal in column #i of LiLji =吗工 Ljk儿“k=lendend