分形理论及其应用.ppt

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1、,分形理论及其应用,分形理论及其应用,分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。 分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。 分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科分形地理学。,分形理论

2、及其应用,14.1 分形理论简介,分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形,分形理论及其应用,分形的有关概念(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。(2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度,分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区，用来表征的特征量是分形维数 。,分形理论及其应用,分形维数的定义和测算 维数是几

3、何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。,分形理论及其应用,几种测定分维数拓扑维数 一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。 对于一个二维几何体边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式,分形理论及其应用,若r=1/4，则,当r=1/k（k=1，2，3，）时，则,一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数

4、目N(r)和所用尺度r的关系为变形得 定义为拓扑维数,分形理论及其应用,（2）Hausdorff维数 几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：,分形理论及其应用,上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。两个实例可以用分形模拟真实的海岸线。首先在单位长度的

5、一条直线的中间1/3处凸起一个边长为1/3的正三角形，下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个边长为(1/3)2的正三角，如此无穷次地变换下去，最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分形。每次变换所得到的图形，相当于用尺度r对海岸线分形进行了一次测量，如果设尺度r测得覆盖海岸线的盒子数为N(r)，海岸线的长度为L(r)，有：,分形理论及其应用,当r=1/3时，当r=(1/3)2时，当r=(1/3)n时，根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是显然，L(r)与N(r)之间的关系是所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在,分形理论及其应用,的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变

6、长，在r0时，L(r)。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合，拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0 , 1)区间上的线段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是,分形理论及其应用,(3) 信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为Pi，那么用尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数

7、就可以得到信息维D1的定义,分形理论及其应用,如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1D0。,分形理论及其应用,(4) 关联维数 空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终

8、要归结到子空间上。这个子空间的维数即所谓的关联维数。,分形理论及其应用,分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变量共同作用而产生的。为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演化序列，然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为x1，x2，x3，xi，就可以用这些数据支起一个m维子相空间。方法是，首先取前m个数据x1，x2，xm，由它们在m维空间中确定出第一个点，把它记作X1。然后去掉x1，再依次取m个数据x2，x3，xm+1，由这组数据在m维空间中构成第二个点，记为X2。这样，依此可以构造一系列相点,分形理论及其应用,把相点X

9、1，X2，Xi，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成个相点X1，X2，XN，给定一个数r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，,分形理论及其应用,为Heaviside阶跃函数,若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称为关联维数，用D2表示，即,分形理论及其应用,标度律与多重分形 (1)标度律 分形的基本属性是自相似性

10、。表现为，当把尺度r变换为r时，其自相似结构不变，只不过是原来的放大和缩小，称为标度因子，这种尺度变换的不变性也称为标度不变性，是分行的一个普适规律。有,分形理论及其应用,海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化， 为标度指数。上式表明，把用尺度r测量的分形长度L(r)再缩小(或放大)倍就和用缩小(或放大)了的尺度r测量的长度相等。最重要的是这种关系具有普适性。究竟普适到什么程度是由标度指数来分类的，这称为普适类。具有相同的分形属于同一普适类，同一普适类的分形也具有相同的分维D0。,分形理论及其应用,一般情况下，可以把标度律写为 f是某一被标度的物理量，标度指数与分维D0之间存在着简单的代数

11、关系 d为拓扑维数。 质量均匀分布的Cantor集合：取一个长度r0=1，质量P0=1的均匀质量棒，分为两段，各段质量P1=P2=1/2，再将每段变为长度r1=1/3，线密度1=P1/r1=3/2的均匀棒。自相似变换，第二步可获4段小棒，长度r2=(1/3)2，质量P2=(1/2)2，线密度2=P2/r2=(3/2)2，到第n步，共有N=2n个小棒，每一个长度为ri=3-n，质量为Pi =2-n，线密度为i=Pi/ri=(3/2)n (i=1,2,N)，,分形理论及其应用,整个过程中，总质量守恒 如果把看作概率，上式就是归一条件。对每一小棒给以标度其中为标度指数。把每一小棒的长度及质量同时代入

12、，可以算得这种均匀分布的Cantor集合，其标度指数是一个常量，并且 = 0-D0，为单标度，分形称为单分形。,分形理论及其应用,（2）多重分形 对于非均匀分布的分形，可以看作由单分形集合构成的集合，它的标度指数 和分维 D都不再是常量，这样的分形称为多重分形。理想的表达方法是，把看作是连续变化的，在和+d这个间隔是一个以单值为特征和分维为f()的单分形集合，把所有不同的单分形集合相互交织在一起就形成多重分形。,分形理论及其应用,Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其质

13、量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 质量分别为 ， ，右两段的长度分别为 ， ，质量分别为 ， ；如此操作下去就会得到一个不均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个单分形子集合，其标度指数为，分维为f()。,分形理论及其应用,最后每段线条的质量相当于二项式 展开中的一项， 。因此可以用P1的q阶矩 取代单分形中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausd

14、orff维数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数，它可以取从-到+的一切实数值。,分形理论及其应用,14.2 应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究,引言及背景介绍甘肃省城镇体系的现状分析 甘肃省城镇体系的分形研究,分形理论及其应用,引言及背景介绍,20世纪90年代以来，分形理论广泛地应用于人文地理学，取得了显著的成绩。城镇体系是目前城市地理学研究中的一个主要内容，将分形理论应用于城镇体系的研究，代表了分形理论在人文地理学中应用的一个方面。如果说城市化是经济和社会发展的高度集合，是工业化、国际化和现代化的综合标志，那么城镇体系就可以说是区域经济的骨架，是带动区域经济增长的极核。制订合

15、理的城镇体系发展对策，对促进区域经济增长、社会发展具有十分重要的意义。现以甘肃省城镇体系为例，运用分形理论对城镇体系的结构作一些初步地研究,分形理论及其应用,甘肃省城镇体系的现状分析 甘肃省地处我国西北内陆地区，经济发展水平比较落后。甘肃省具有现代意义的城市是在1941年设立的兰州市，也是该省在建国前唯一的一座城市。建国后，随着经济和社会发展，特别是建国初期的重点工程建设和改革开放以来大规模经济建设，城市化水平大幅度提高。到1998年，全省共有城市14个，其中5个地级市(兰州、天水、白银、金昌、嘉峪关)，9个县级市(玉门、平凉、临夏、武威、张掖、酒泉、西峰、敦煌、合作)，8个县辖区，193个建

16、制镇，它们共同构建了甘肃省的城镇体系。城镇体系结构研究一般包括城镇规模等级结构和城镇空间结构的研究。,分形理论及其应用,（1）甘肃省城镇规模等级结构特点 城镇规模等级结构指一定区域内城镇规模的层次分布，揭示一个区域内城镇规模的分布规律（集中或分散）。反映城镇体系从大到小的序列与规模的关系。通过对甘肃省现有14个城市的非农业人口研究（见表14.2.1 ），并根据马克杰斐逊(M. Jefferson)的城市首位律，得出甘肃省城镇体系具有如下特点 ： 首位分布明显,分形理论及其应用,表14.2.1 甘肃省各城市非农业人口数 (万人),甘肃省城市属于典型的首位分布，还处于城镇体系演进过程中的初级阶段。

17、而且兰州市在整个城镇体系中比重过大，即首位城市职能过于集中(图14.2.1)。人口城市规模结构极不平衡。由此可见，首位城市贡献率太大，在全省的城市体系中具有绝对的垄断性。其社会经济发展水平、城市化进程决定着甘肃省的城市体系的发展及演进，必然阻碍了城镇系统功能的正常发挥。,分形理论及其应用, 城镇体系不健全，规模结构失衡 1999年甘肃省特大、大、中、小城市数目比为1: 0: 2: 11，城市规模等级结构不合理，缺少50100万的大城市，使甘肃省城市体系发生了断层，特大城市与其他等级的城市联系困难；,分形理论及其应用,中等城市数目较少；小城市发展也存在规模小、实力弱、质量差的问题。城镇规模等级体

18、系不平衡状况可采用不平衡指数S度量，S反映了各规模等级的城市分布的均衡程度，其计算公式为显然若S=0，则城镇人口均匀分布在n个等级中，S=1说明分配极不平衡，所有城镇人口集中在一个规模等级。取甘肃省1999年资料，按人口划分为10个等级，得到不平衡指数S=0.74，说明不平衡状况较严重。这种规模结构造成城镇体系的整体功能发挥受阻，大中小城镇之间缺乏必要的有机联系，城市辐射功能受到限制。,分形理论及其应用,（2）甘肃省城镇体系空间结构的特点,城镇体系的空间结构即城镇空间分布体系，指一个区域内的城镇由于存在空间相互作用，把空间上彼此分离的城镇结合为具有一定结构和功能的有机整体，揭示的是区域内各城镇

19、之间空间相互作用的状况。通过研究发现甘肃省城镇体系空间结构具有如下特点： 空间布局特点 主要有两种分布类型：一是沿河流呈孤立状分布。二是沿交通线呈串珠状分布。这种布局特征决定了一些城镇的间距较大，导致这些城市间的空间作用力消逝得微乎其微。加上结构相似，城镇间的经济协作不密切，城镇体系只靠纵向行政关系来维持，横向联系松散，不利于城镇专业化分工与协作。,分形理论及其应用, 城镇密度空间差异大 甘肃省城镇密度的空间 分布如图14. 2.2,图14.2.2 甘肃省城镇密度的空间布局,分形理论及其应用, 城镇分布的资源指向性明显甘肃省许多城镇是随资源开发而兴起的，多借助于国家建设项目的推动，先有矿区后有

20、城镇，典型的资源型城市如白银、金昌、嘉峪关、玉门。还有众多的资源型城镇，在甘肃经济中占有突出的地位，1998年，仅白银、金昌、嘉峪关三个市的GDP、工业总产值分别占全省的12.8%、19.0%。这类城镇产业结构单一，经济二元结构明显，导致产业链短，削弱了自身的辐射功能和聚集功能，制约了城市经济发展和对农村的带动。,分形理论及其应用,甘省城镇体系的分形研究城镇体系规模结构的分形特征 城镇体系规模分布具有自相似性，即满足分形的特征。对于一个区域的城镇若给定一个人口尺度r去度量，则人口大于r的城镇数N(r)与r的关系满足： 采用甘肃省1999年14个城市的数据，模拟的结果可见(图14.2.3)，分维

21、值D=0.8714，,分形理论及其应用,由于D1，这说明甘肃省城镇规模分布较为分散，首位城市垄断性强，人口分布差异程度大。分维值也验证了上面首位指数及不平衡指数有效性。,分形理论及其应用,(2) 城镇体系空间结构的分形特征 各城镇在地域空间上的布局，反映了一个区域城镇体系的空间结构。从理论上讲，在一个区域内，各个城镇之间的相互作用与空间联系是客观存在的。因此，可以运用分形理论中的关联维数来模拟城镇之间的相互作用和空间联系。其基本模型如下：,分形理论及其应用,r为给定的距离标度，dij为第i个与第j个城镇之间的距离。关联维数D反映了城镇体系空间布局的均衡性，D一般在02之间变化，当D0时，说明该区域内各城镇间联系紧密，分布高度集中于一地；当D2时，城镇间空间作用力小，城镇布局分散到均匀的程度。借助于GIS测算到甘肃省14个城市间的直线距离距阵，以步长r=5(50公里)来取距离标度r，可以得到一系列点对(r,C(r)，如表14.2.3所示。,分形理论及其应用,表14.2.3 标度r及其对应的关联函数C(r),在双对数坐标中画出(r，C(r)的散点图，然后用线性回归分析方法进行模拟，结果如图14.2.4所示。,