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1、微分方程数值方法常微分方程初值问题习题一1. 对初值问题u axb,u(0)0,分别写出 Euler 法和改进的 Euler 法的近似解um 的表达式，并求它们与真解 u( x)1 ax 2bx 的差 u( xm ) um .22. 取步长 h 0.1 ，分别用 Euler 法和改进的 Euler 法求下列初值问题的解，并与真解相比较 .（1） u u2x,0x 1,uu(0)1,真解u(x)12x ；u x 2（ 2） ux u 2 , 1 x 2, u(1) 2,1真解 u(x)x(83ln x) 3 ；ux, 1x 1.5,（3） u 2x2u 2u(1) 1,31真解 u(x)(4x
2、23x 2 ) 3 .3.用 Euler 法计算xdt 在 x0.1 ，0.2 的近似值 .et 204.取步长 h0.2，用四阶 Runge-Kutta 法解uux,0x1,u(0)1,并与真解u( x)2exx1 相比较 .1 / 85.设 f (x, u) 关于u 满足 Lipschitz条件，证明 N 级 Runge-Kutta法中的增量函数(x,u,h) 关于 u也满足 Lipschitz 条件 .6.对初值问题u ux1,u(0)1,写出四阶 Taylor 级数法和四阶Runge-Kutta 法的计算公式，它们是否相同 .7. 证明改进的 Euler 法的绝对稳定区间是（ -2，0
3、）.8. 证明：当 h(h) 满足2341 h hhh12624时，四阶Runge-Kutta 法绝对稳定 .9. 用 Tayor 展开确定下面多步法中的系数，使其阶尽可能高，并求局部截断误差的主项 .（1） um 1a1uma2um 1h 0 f m 1 ；（2） um 1umh( 1 f m2 f m 1 ) ；（3） um 1a2 um 1h( 0 fm 1 1 f m 2 fm 1 ) .10. 对初值问题uf ( x,u),u(x0 )u0 ,u( x0 )u10 ,确定求解公式um 12umum 1h 2 (0 f m 11 fm2 f m 1 )中的系数0 ，1 ，2与局部截断误
4、差主项 .2 / 811. 求公式um 1umh f (x m ,um ) 3 f ( xm 2 h, um 2 hf (xm , um )433的阶和局部截断误差 .12. 取步长 h 0.1，用四阶 Adams 方法的的预测 -校正公式（ 72）解初值问题uux,0x1,u(0)1,并与真解u( x)2exx1 相比较 .13. 讨论下列公式的相容性、稳定性、和绝对稳定性.（1） um 14um5um 1h(4 fm 2 f m 1 ) ；（2） um 11 (9umum 2 )3 h( fm 1 2 f m f m 1 ) .8814. 求，使线性多步法um 2 (1)um 1umh (
5、3) f m 1 (1) f m 2是相容的和稳定的 .15. 证明三阶 Adams 内插公式um 1umh (5 fm 1 8 fm f m 1 )12的绝对稳定区间是（ -6,0）.16. 证明中点公式（ 90）是 A- 稳定的 .17. 求下列方程组的刚性比 . 若用四阶 Adams 内插公式求解时，最大步长应小于多少？u 2000u999.75v1000.25,（1）v u v,u(0)0, v(0)2;3 / 8u0.1u49.9v,v50v,（2） 150v 200 ,u(0) 2,v(0) 1, (0) 2.18. 把下列高阶方程化为一届方程组，并写出它们的 Euler 公式和四
6、阶 Runge-Kutta 公式 .（1）u 2xu 4x,（ ） u 2u( 221)u,u( 0)0, u( 0)1;21x1u(1)e, u (1)e.椭圆型方程的差分法习题三1. 用五点差分格式解下列椭圆型方程边值问题 .u2,0 x, y1,（1） u(0, y)0, u(1, y)1y,u(x,0)x2 ,u( x,1)x 2x,取 h1 （真解 ux2xy ）；3u0,0x, y3,（2） u(0, y)y2 , u(3, y)9y 2 ,u( x,0)x 2 ,u( x,3)x 29,取 h1（真解 ux 2y 2 ）；（3）u9sin( 3 x) sin( 3y),0x, y
7、 1,22u0,取 h1 ；3u( x2y 2 ) sin( xy), 0x, y1,（4） u(0, y)u(x,0)0,u(1, y)sin y,u(x,1) sin x,取 h1 （真解 usin( xy) ）；104 / 8u 2( x2y2 ),（5） u(1, y)y 2 , (uu0,x x 0y y 0取 h1（真解100x, y1,uu)3x 2 ,yy 1ux 2 y 2 ）.2. 证明公式（ 34）.3. 证明：对矩形网格，用积分守恒形式（ 32）导出的差分方程与五点差分格式（ 8）相同 .4. 证明三角形网格的差分方程（ 33）满足条件（ 36）.5. 证明：若 dij
8、 0(ih ) ，则差分方程L h uigi ,iui0,ihh的解满足uimaxg j,ih ，j hd jj其中 Lh 由式（ 35）定义 .6. 对椭圆型方程( p u )y( p u ) quf ，xxy设 p( x, y) C1 () ， q(x, y), f ( x, y)C() , p( x, y)0, q( x, y)0 ，证明：（1）五点差分方程Lhuij12 p 1(ui 1, juij) p1 (uijui 1, j )hi, ji, j2212 p 1 (ui , j 1uij ) p1 (uijui , j 1 ) qij uijfiji, ji, j22的截断误差为
9、O(h 22) ；5 / 8（2）差分方程的系数满足条件（36）.抛物型方程的差分法习题四1.（上机题）对下列定解问题u42u0,t2x20x4,t0u( x,0) sin4x(1 2 cosx),0x4u(0,t )4t0u( 4, t ) 0,取 h0.2,0.04, 分 别 用 古 典 显 格 式 、 古 典 隐 格 式 和Crank-Nicolson 格式计算t0.4时的近似解，并与精确解tu( x,t )e t sinxe 4 sinx比较 .242. （上机题）对定解问题u2 u2,0 x1,t0;tx2u( x,0) sinx x(1 x),0x1;u(0, t)u(1, t)
10、0,t0,取 h0.1,0.01,用双层加权平均格式，分别取1,1 ,5 计212算 t0.25 时的近似值，并与精确解 u( x,t ) e2t sin xx(1x) 比较 .3. 对于扩散方程u2 utax2 ,a0,（1）试求 Du Fort-Frankel 格式u kj1ukj1u kj 1 u kj1u jk 1u jk12ah2的截断误差 .（2）试求加权三层差分格式6 / 8ukj1u kju kju kj1x2u kj(1 )a1h2的截断误差，并证明当11 时，截断误差的阶最高212 r(O( 2h 4 ) .（3）试求双向加权对称格式1 u kj 11ukj 15 u kj
11、1ukj1 u kj 11u kj 1a(2 k 12k)126122h2x u jxu j的截断误差 .4. 试构造变系数抛物型方程ux(0.1 sin 2 x) u tx的一个二阶精度差分格式.5. 证明习题 3（2）、（3）中给出的两种差分格式均是绝对稳定的 .6. 证明求解习题 3 中的扩散方程的 Saulev 格式 (1957)u kj1u kjar (uu kj2u kj1ar (ukkk 1k 1j1u ju ju j 1 ),k 2k 2k 1k 1j1u ju ju j 1 )是绝对稳定的（a 0, rh 2）.7. 对于二维扩散方程u2 u2u试证明向后差分格式ta(2y2 ),xuijk 1uijkar ( x2 uijk 1y2 uijk 1 )和 Crank-Nicolson 格式uijk 1uijkar ( x2uijk 1x2 uijky2 uijk 1y2 uijk )2均绝对稳定（ a0, rh2 ）.8.（上机题）分别用显隐交替的格式1 和格式 2（跳点格式）计算习题 1 中的定解问题（取习题 1 中相同的步长），并与习题 1 的计算7 / 8结果进行比较 .8 / 8