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1、一 映射与函数2.1 映 射教学目的 使学生了解映射的概念及表示方法；了解象、原象的概念；了解一一映射的概念.重点难点 重点难点：映射的概念.教学设想 1.教法：直观演示、引导发现法；2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；3.课时：2课时.教学过程 2.1.1 映射的概念和性质教学目的 使学生了解映射的概念、表示方法及性质，了解象、原象的概念.会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.重点难点 重点难点：映射的概念.教学过程一、复习引入 在上一章里，我们较系统地学习了集合的初步知识，学习了元素与集合的关系属于或不属于，集合与集合的包含关系，以及集合的交、并、补运算等.在初中我们已学过一
2、些对应的例子，例如，对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的一点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点M，都有唯一的一个有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一的一个确定的面积和它对应.本节我们将学习一种特殊的对应映射.二、学习、讲解新课 映射的概念我们看下面的对应：下列图2-2中哪些是A中元素对应B中唯一元素的特殊对应：1234561-12-23-31/213-32-21-1 A B A B A B A B123149300450600900941开平方 求正弦 求平方 乘以2(1) (2) (3) (4) 图2-2A； B； C； D答案：D.从上述几个例子的对应(图2-2(1
3、)除外)中，你能归纳出它们的共同特点吗？上述对应(图2-2(1)除外)的共同特点是：对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应.这种A中元素对应B中唯一元素的特殊对应，我们把它叫做集合A到集合B的映射.一般地，设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.这样，上述(除图2-2(1)外)的对应，都是集合A到集合B的映射；而图2-2(1)的对应则不是集合A到集合B的
4、映射(为是么？).在图2-2(2)的映射中，1/2，/2,/2，1分别是300，450,600,900的象，300，450,600,900分别是1/2，/2,/2，1的原象.你能举出日常生活中的一些有关映射的例子吗？如照相，如果把看作是我们班的全体同学和老师组成的集合，看作是我们班全体同学和老师所照的相上的人像组成的集合，那么我们班的全体同学和老师都是原象，所照的相片上的人像都是象.另外，当大家都没有被遮住时，每个同学和老师都有自己对应的象，这是一对一的映射；当有些同学被前面的同学遮住时，那么这些同学和他前面的同学就只能对应他前面同学的象，这是多对一的映射.下面我们再来分析一下定义中的一些关键
5、字词，以便更好地理解映射的概念.“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射，比如图2-2中A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；“都有”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.映射的性质任意性：映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B
6、中都有它的象；唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，即A中元素的象集是B的子集.怎样理解映射从A到B的映射f:AB，可以形象地比喻为“无脱靶的射箭”，即：可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”； A中任一元素在B中均有唯一的一个元素和它对应，但允许B中有某些元素不是A 中任一元素的象.例如，上面的无脱靶投飞标，可能“一箭一标”，“多箭一标”，但不可能“一箭多标”.同时箭袋中的箭可以射完且箭箭中标，但标不一定被射完.又如，图2-2中，是一对一的映射，是多对一的映射；若把看作是自变量组成的集合，看作是因变量组成的集合
7、，那么我们初中学过的一次函数、反比例函数都是一对一的映射，而二次函数是多对一的映射.例题评价例 已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由： A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；A=-1，0，2，B=-1，0，1/2，对应法则：“取倒数”；A=1，2，3，4，5，B=R，对应法则：“求平方根”；A=|00900，B=x|0x1，对应法则：“取正弦”.答案：是；不是，因为A中元素0没有倒数；不是，因不满足唯一性，若对应法则改为“求平方”，则是；是.例2 集合A=N，B=m|m=,nN,f:xy=，xA，yB.请计算在f作用下，象9/11，11/13的原象分别是多少.分析：
8、求象9/11的原象只需解方程（2x-1）/（2x+1）=9/11求出x即可.同理可求11/13的原象.答案：象9/11，11/13的原象分别是5，6.目标检测课本P49练习：1，2，4.（直接做在课本上）判断题：在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是（ ） A中的每一个元素在B中都有象； A中的两个不同元素在B中的象必不同； B中的元素在A中可以没有原象； B中的某一元素在A中是原象可能不止一个； A中元素象的集合即为B.A.； B.； C.； D.答案：课本练习：1.（略）；2.有2个，即2；有1个，即1/2；有一个，即1；有一个，即6；4. 600的象是；的原象是450.判断题：B.三、小 结 对应 映射的三要素：两个集合A，B以及A到B的对应法则f. 映射是特殊的对应，A中任一元素对应B中唯一元素，简言之：“每元有象，象唯一”.四、布置作业(一)复习：课本P46-48的内容.(二)书面：课本P49-50习题2.1：1，2，4（直接做在课本上）；