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1、山东省临清三中高一数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 教案?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别:向量的平行要与平面中直线的平行区别开。 二、教学目标设计 1(掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算; 2(理解两个向量平行的充要条件，
2、能根据条件判断两个向量是否平行; 3(通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 三、教学重点与难点 重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件; 难点:理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 四、教学用具准备 多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计 情境设置 向数 量平乘向量引入定义 行的的运算充要律 条件 六、教学过程设计 运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题) ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 1(设置情境: 引
3、入:位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与,数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系F =ma,。这些公式都是实数与向量间的关系。 svt= ,师:我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和aaa+()()()-+-+-aaa向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化,这些变化与哪些因素有关, ,生:的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，aaa+aa,的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。 aa()()()-+-+-aaa师:很好本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题:实数与向量的乘积) 2(探索研究 1)定义
4、: 请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积,(可结合教材思考) ,可根据小学算术中3333335+= a的解释，类比规定:实数与向量的,aa积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。 ,aa 实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下: ,(1). |a=a,0aa0aa (2)时，的方向与的方向相同;当时，的方向与的方向相,=0a=0a=0反;特别地，当或时， . 2)运算律: ,6aa 问:求作向量和(为非零向量)并进行比较，向量与向量2(3)a2()ab+,22ab+相等吗,(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) ,生:，.
5、 2(3)6aa=222()abab+=+,ab 师:设、为任意向量，、为任意实数，则有: ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? ,(1); (2); (3). ()+=+aaa()()a=a()ab+=+ab通常将(2)称为结合律，(1)(3)称为分配律。 小练习1: ,计算:(1); (2); (3)4- a3()2()ababa+-,(3). (23)(32)abcabc+-+3)向量平行的充要条件: ,请同学们观察，回答、有何关系, amn=-bmn=-+22ab,生:因为，所以、是平行向量
6、. ba=-2ab,引导:若、是平行向量，能否得出,为什么,可得出吗,为什abb=aa=b么, ,生:可以因为、平行，它们的方向相同或相反. ab,师:由此可得向量平行的充要条件:向量b与非零向量a平行的充要条件是有且,仅有一个实数，使得b=a. 对此定理的证明，是两层来说明的: ,b=ab 其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与,aba平行，即与平行. ,|bbaa?0 其二，若与平行，且不妨令，设(这是实数概念)(接下来看,=|a,ababab、方向如何:?、同向，则，?若、反向，则记，总而言之，b=ab=-a,b=a存在实数(或)使. =-,ADAB=3DEBC=
7、3AC小练习2:如图:已知，试判断与是否平行( AE,解:? AEADDEABBCABBCAC=+=+=+=333()3,AC ?与平行. AE4)单位向量: ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 单位向量:模为1的向量. ,向量()的单位向量:与同方向的单位向量，记作. aaa?0a0,1思考:如何用来表示, () aaaa= |a,aa= 000|aA3(例题与练习: 题1:如图，在中，是的中点，是ABCBCDABED延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量BEBC=2,: DEEBC,题1(1
8、) 用、表示; (2)用、表示. BCCACBBA题2:如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法ABCNACMAB1证明: MNBC/A2C1NBCM1BA1CO题 2题 3A ,BOAkOA=OBkOB=OCkOC=ABC题3:如图，已知，求证:?111ABC 111练习: P145 1、2、3、4 4(课堂小结: ,aaa(1)与的积还是向量，与是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 5(作业布置: 圆由两个条件唯一
9、确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5. P89习题3 B组 2、3. ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (一)教学重点?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。6(拓展思考题: 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。,4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。设、是两个
10、不共线向量，已知，若、abABamb=+2CBab=+3CAB三点共线，求的值。 m(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.七、教学建议与说明 1(从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.,1、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系，位移与速度的关系等实际F =masvt= 问题引入实数与向量的积。 (二)教学难点2(实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素:方向和大小。 3(由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。 23.53.11加与减（一）4 P4-12? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ?