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1、半角模型例题已知，正方形ABCD中，/EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F,且 ZEAF = 45结论 1 : BE+ DF = EF结论 2 : S/abe + S/adf = S/aef结论 3 ： AH = AD结论4： :EF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5 ：当BE=DF时，MEF的面积最小结论 6 ： BM2+ DN2 = MN2结论7 ：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8 : EA、FA是:EF的外角平分线结论9 :四点共圆 结论10 : ZXANE和AMF是等腰直角三角形（可 通过共圆得到）结论11 : MN=#EF （可由相似得到） 结论12： SkEF=
2、 2SAKMN （可由相似的性质得到）结论5的证明： x J 1-x设正方形ABCD的边长为1贝 U Saaef = 1 - Si - S2 - S3二1 -2（1 - x）（1 - y）11二厂丹所以当X二y时，AAEF的面积最小结论6的证明:将AADN顺时针旋转90。使D与AB重合 DN 二 BN易证AAMN也AMN MN = MN-在RtABMN中，由勾股定理可得:BM2+ BN 2= MN2即 BM2+DN2 = MN 2结论7的所有相似三角形：AAMN s/DFNAMN SZBMEAMN s/BANXMN s/DMAXMN s/AFE结论8的证明：因为 AAMN s/AFE z3=/
3、2因为 AAMN s/BANz3=/4z2=/4因为AB/CD -Z1 = /4 -Z1 = /2结论9的证明:因为/EAN =ZEBN = 45A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A、M、F、D四点共圆C、E、M、F四点共圆必会结论图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD，EF分别在边BC、CD上，且EAF 45 ，AE 、AF 分另IJ交 BD 于 H 、G ，连 EF .、全等关系(1 )求证： DF BE EF ： DG2 + BH2 = HG2 ; AE 平分二、相似关系BEF , AF 平分 DFE .(2)求证： CE 、2DG :
4、CF. 2BH : EF . 2HG .(3)求证： AB2 BG DH : AG2 BG HG ; 业匹-CECF2三、垂直关系(4 )求证： AG EG : AH FH : tan HCF . BE(5)、和差关系求证： BG DG、2BE ; AD DF 2DH ;(3) | BE DF |2 | BH DG |.例1、在正方形ABCD中，已知/MAN=45 ，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD中，/B+ ZD=180 ,AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.1求证：/
5、EAF二 j/BAD例J 3、ftAABC 中，AB=AC，/BAC=2 ZDAE=120 若 BD=5，CE=8，求DE的长。例4、请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，点D、E 分别为线段BC上两动点，若DAE45 ,探究线段BD、DE、EC三条线段之间的 数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得至【J ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1 )猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它 条件不变，中
6、探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.AAD BE图2例5、探究：（1）如图1，在正方开?ABCD中，E、F分另IJ是BC、CD上的点，且ZEAF=45。，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：;（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，ZB+ZD=180。工、F1分别是边BC、CD上的点，且/ EAF= 2 /BAD ”，则（1 ）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3） 在（2）问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问
7、中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明练习巩固1 :如图，在四边形ABCD中，/B=ZD=90 ,AB=AD，若B练习巩固2： 如图,在五边形 ABCDE 中，AB = BC 二 CD 二 DE 二 EA,1/CAD 二-/BAE，求/BAE 的度数练习巩固3： 已知：正方形ABCD中，MAN 45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC (或它们的 延长线)于点M、N .(1)如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN .当MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请 说明理由；(2)当MAN绕点A旋转到
8、如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请 写出你 的猜想，并证明.练习巩固4(1)如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD , ZB =ZD = 90 ,E、F 分别1是边BC、CD上的点，且Z EAF=2/BAD .求证：EF BE FD ；(2)如图在四边形 ABCD 中，AB = AD , ZB + ZD = 180。, E、F 分别1是边BC、CD上的点，且ZEAF= 2/BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.E(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，ZB+ZADC = 180 ,E、F1分别是边BC、CD延长线上的点，且Z EAFe/BAD
9、，(1)中的结论是 否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关 系，并证明.(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分另(J在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在 点N 处，MN与CD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点，AEM的周长二 cm ；求证：EP= AE+ DP ；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合), DM的周长是否发生变化？请说明理由.(5) .如图17,正方形ABCD , E、F分别为BC、CD边上一点.(1 /ZEAF = 45o ,求证：EF= BE+ DF .(2 )若A
10、EF绕A点旋转，保持/ EAF=45o，问zdCEF的周长是否随 KEF位置的变化而变化？(3)已知正方形ABCD的边长为1，如果/CEF的周长为2 ,求/EAF的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形ABCD中，MAN= 45。，连接BD与AM , AN分别交于E、F两点求证：(1) MN = MB+ DN ;(2 )点A到MN的距离等于正方形的边长;(3) CMN勺周长等于正方形ABCD边长的2倍;(4)ABCD2ABSCMNM N若 MAB= 20 ，求 AMN(6)若 MAB0 v 45，求 AMN EF EW DF ；(8) AEN与AFM是等腰三角形;SAEF s7AMN(9)练习巩
11、固6、MDN 60 ,在等边ABC的两边AB , AC所在直线上分别有两点M , N , D为ABC外一点，且BDC 120 , BD CD，探究：当点M ,N分别爱直线AB , AC 上移动时,BM , BN ,MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.图图图(1 )如图，当点M,N在边AB,AC上，且DMDN时,BM , NC , MN之间的数量关系式(2 )如图，当点M ,N在边AB , AC上，且DM DN时，猜想问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3 )如图,当点M,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，则Q用x, L表示)练习巩固7、如图所
12、示， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60。的MDN，点M ,N分别在AB, AC上，求AAMN的周长练习巩固8、如图，在正方形ABCD中，BE=3 , EF= 5, DF=4，求/BAE+/DCF为多少度。巩固练习9、如图 1 , Rt AKBC 细 t 生 DF, ZACB = ZF= 90 , A = ZE= 30 。EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE, DF分别交线段.AC于点M,K.如图 2、图 3,当/CDF= 0 或 60。时,AM+ CK MK 填“” , v ” 或=”)MK证明你所得到的结论.如图 4，当/CDF 二 30。时，AM + CK MK （只填“”或 v ” ） 猜想:如图1，当0v/DFv60。时,AM + CK如果M小。AM。，请直接写出/ CD的度数和回f图1FbB