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1、(WORD)-2012高考数学知识点综合总结第八章-圆锥曲线方程2012高考数学知识点综合总结第八章-圆锥曲线方程 高中数学第八章,圆锥曲线方程 考试内容: 椭圆及其标准方程(椭圆的简单几何性质(椭圆的参数方程( 双曲线及其标准方程(双曲线的简单几何性质( 抛物线及其标准方程(抛物线的简单几何性质( 考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程( (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质( (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质( (4)了解圆锥曲线的初步应用( 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义: PFPFPF 111
2、 ?08. 圆锥曲线方程 知识要点 ,PF,PF,PF 222 2a F1F2方程为椭圆, 2a F1F2无轨迹, 2a F1F2F1,F2为端点的线段 ?椭圆的标准方程: i. 中心在原点，焦点在x轴上: ya 22 xa 22 , yb 22 1(a b 0) . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上: , xb 22 1(a b 0). ,By 1(A 0,B 0) 2 ?一般方程:Ax x acos y bsin 2 .?椭圆的标准参数方程: xa 22 , yb 22 1 的参数方程为 (一象限 应是属于0 2 ). ?顶点:( a,0)(0, b)或(0, a)( b,0).?轴:
3、对称轴:x轴，y轴;长轴长2a，短轴长2b.?焦点:(,c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).?焦距:F1F2 2c,c a,b y a 2 22 .?准线: x a 2 c 或 c .?离心率:e xa 22 cayb (0 e 1).?焦点半径: 22 i. 设P(x0,y0)为椭圆 , 1(a b 0)上的一点，F1,F 2 PF1 a ,ex0,PF2 a,ex0 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆 xb 22 , ya 22 1(a b 0) PF1 上的一点，F1,F2 a,ey0,PF 2 a,ey0 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义
4、可知: pF1 e(x0, a 2 c ) a,ex0(x0 0),pF 2 e( a 2 c ,x0) ex0,a(x0 0)归结起来为 “左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos ,bsin ) 方程的轨迹为椭圆. 第 1 页 共 5 页 2 2 ?通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d?共离心率的椭圆系的方程:椭圆程 xa 22 2ba 2 (,c, b a ) 和(c, ca b 2 a ) a,b) 2 2 xa 22 , yb 22 1(a b 0)的离心率是e (c ，方 , yb 22 t(t 是大于0的参数，a b 0)的离心率也是e ca 我们称此方程
5、为共离心率的 椭圆系方程. ?若P是椭圆: btan 2 xa 22 , yb 22 1 上的点.F1,F2为焦点，若 F1PF2 ，则 PF1F2的面积为 ,PF 2 2 (用余弦定理与PF 1 2a 可得). 若是双曲线，则面积为b2 cot 2 . 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义: PFPFPF 111 bsin ) ,asin ),PF,PF,PF 222 2a F1F 2a F1F 2a F1F 222 方程为双曲线无轨迹 F1,F2的一个端点的一条射线 N的轨迹是椭圆 ?双曲线标准方程: Ax,Cy 1(AC 0). 2 2 xa 22 , yb 22 1(a,b 0),
6、 ya 22 , xb 22 1(a,b 0) . 一般方程: ?i. 焦点在x轴上: 顶点:(a,0),(,a,0) 焦点:(c,0),(,c,0) 准线方程x xa 22 a 2 c 渐近线方程: xa yb 0 或 , yb 22 0 ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y方程: ya xb 0或 ya 22 a 2 c . 渐近线 , xb 22 0 ，参数方程: x asec y btan 或 x btan y asec . ca 2ac 2 ?轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ?离心率e(两准线的
7、距离);通径线方程 xa 22 . ?准线距 2ba 2 2 . ?参数关系c2 a2,b2,e ca . ?焦点半径公式:对于双曲 , yb 22 1(F1,F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则: MFMF 12 ex0,a ex0,a 构成满足MF1 ,MF 2 2a M F1 ,ex0,aM F 2 ,ex0,a (与椭圆焦半径不同，椭圆焦半 5 MFMF 12 ey0,a ey0,a M F1 ,eyM F 2 ,a,a ,ey ?等轴双曲线:双曲线x2,y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x ，离心率e 2 . ?共轭双曲线:以已知双曲线的
8、虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. xa 22 , yb 22 与 xa 22 , yb 22 , xa 22 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: yb 22 xa 22 , yb 22 0 . ?共渐近线的双曲线系方程:渐近线为 xa yb , ( 0) xa 22 的渐近线方程为 ,yb 22 xa 22 , y22 0 如果双曲线的 0时，它的双曲线方程可设为 ( 0) . 例如:若双曲线一条渐近线为y解:令双曲线的方程为: x 2 2 12 x 且过p(3, 12 ) 4 ,y ( 0)，代入(3, 12 ) 得 x 2 8 , y 2 2 1?直线与双曲
9、线的位置关系: 区域?:无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域?:即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条; 区域?:2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域?:即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域?:即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. (2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ?若P在双曲线离比为m:n. PF 1 xa 22 , yb 22 1
10、，则常用结论1:P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距 简证: d1d 2 ePFe 2 = mn . 常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程. 3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质: 第 3 页 共 5 页 2 4ac,b4a 2 b2a P2 注:?ay,by,c x顶点( , ). ?y2 2px(p 0)则焦点半径 PF x, ;x2 2py(p 0)则焦点半径为PF y, P2 . ?通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ? x 2pt2 y 2px(或x 2py)的参数方程为 y 2pt 2 2 (或 x 2pt y 2pt
11、 2 )(t为参数). 四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0 e 1时，轨迹为椭圆; 当e 1时，轨迹为抛物线; 当e 1时，轨迹为双曲线; 当e 0时，轨迹为圆(e （7）二次函数的性质：ca ，当c 1.正切：0,a b 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。时). 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可. 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称
12、为仰角第 4 页 共 5 页 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。5. 方程y=ax与x=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67第 5 页 共 5 页 (二)教学难点2 增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。2