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1、第十章曲线积分和曲面积分基本内容3(一)第一型曲线积分与曲面积分1 .第一型曲线积分n(1)第一型曲线积分的定义f (x, y, z)ds = lim f ( , , )siL 0 i4若L是封闭的，则记作1 f (x, y, z)ds(2)第一型曲线积分的计算L f(x,y,z)ds = j ：(t)J (t), (t)(t)L1(t)L(t)2dt2 .第一型曲面积分n(1)第一型曲面积分的定义f(x,y,z)dS = lim- f( i, i, J. Si0T(2)第一型曲面积分的计算 口 f(x, y,z)dS = JJ fx, y,z(x,y)；,1 +z2 +z；dxdy 三D(二
2、)第二型曲线积分1 .第二型曲线积分的定义设 F (x, y, z) = P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z),当(P cosuds， (QcosPds， Rcos为s都存在时，其中cos 口，cos P, cos：是L的单位切向量,称Pcos ds + ( Q cos 口 ds + ( Rcos d ds = (Pdx + Qdy + Rdz为一般形式的第二型曲线积分2 .第二型曲线积分的计算Pdx Qdy RdzP=P(x(t), y(t),z(t)x (t) Q(x(t), y(t),z(t)y(t) R(x(t), y(t),z(t)z (t)dt3 .格
3、林公式及其一些命题(1)格林公式L P(x,y)dx Q(x, y)dy 二2 FP ()dxdy d 二 x：yP若 P(x, y)、Q(x, y)、一:Q一在单连通域D上均连续，则下列四个命题等价： .x1) Pdx+Qdy只依赖于区域D内的起点A与终点B,而与连结A、B的积分路径无关;-AB(x,y)2)在区域D上，Pdx + Qdy是某一个函数F (x, y)的全微分，且F (x,y) = jPdx + Qdy其中点(a,b)是D内的某一定点，点(x, y)是(a,b)D内的动点;：:Q：:P j3)= 在区域D上的每一点处都成立;二xy4）Pdx +Qdy =0 ,其中L是D内的任意
4、一条逐段光滑的闭曲线.（三）第二型曲面积分1 .第二型曲面积分的定义称ffPdydz + Qdzdx+Rdxdy为一般形式的第二型曲面积分，当 工是闭曲面时，积分号将写成 .工2 .第二型曲面积分的计算R(x, y,z)dxdy = Rx, y, f (x, y)dxdy,同理计算 口P(x,y,z)dydz, JQ(x, y,z)dzdx工y3 .奥-高公式与斯托克斯公式空)dxdydz 二 z_；:pg(1)PdydzQdzdxRdxdy=(一一3 ：:x：:y（空一当dydz （史一 -y二z二z.:R；:Q)dzdx (-.x.:P)dxdy-:yPdx Qdy Rdz4.向量场的散度
5、与旋度.,.1_ . .一 . ._ . .；:P称 divF = lim Pdydz Qdzdx Rdxdy =一:Q;R+ 十为散度,.:y：:zR；Q FP称 rotF =-,y三 z ；z:RFQ,:x：:x：P、为旋度.-:y二、练习题10.1计算下列第一型曲线积分:(1)计算(x+y)ds,其中 L 为连接 O(0,0), A(0,1), B(1,1)解：如图 10-1, OA : x = 0; y = y;ds =dy ；OB : x = x; y = x;ds = 2dxAB : x =x; y =1;ds =dxL(x y)ds= OAOB -AB(X W111=0ydy 0
6、(x x) .2dx 0(x 1)dx= 272(2) ( qyds ,其中 L 为摆线 x =a(t-sin t), y = a(1 cost)的第一拱解：摆线的第一拱，则t w 0,2n . （ Jyds2 ,oo:!. ,：a(1 -cost) a(1 - cost) (asint) dt图 10-2(5),x2ds ,其中L为圆周2,2,22x +y +z = a解:L的参数方程为:3 2 =a、2a j (1 cost)dt =(2a)2n .(3)1xyds，其中 L 是 x+|y = a (a 0)解：f (x, y) =xy是关于x的奇函数，而L是关于y轴对称.由第一型曲线积分
7、的对称性知:/2222x + y ds ,其中L为圆周x + y = ax解：如图10-2, L方程为：2 .x =acos t,y =acostsint ,其中 t =-, ，2 2g i 原式= 2二 a2 cos21 . (-2acostsint)2 (acos2t)2dt2ji22=a 127rcostdt =2aJ JL27.2.2.x = a cost, y =asint, z =a sin t, t 匚0,2冗 22ds =，x+ y/+ z；2 dt = adt2 ,2 二 223：x ds = a cos t adt =二a L0(6)计算球面x2 + y2 +z2 =a2在
8、第一象限上的边界曲线的形心.解：不妨假设 P =1,如图10-3,，c ，3惠林相。3 = 271a Mx其中冗AB : x = a cost, y = asint, z =0,ds = adt, t 亡0,5；nBC : x = 0, y = a cost, z = asint,ds = adt, t e 0,；AC : x = asin t, y = Q z = a cost,ds = adt, t 0,JIJIMx = ：acost2a出+0+0 asmt a出=2a又由于图形的对称性知4a.2(7)设L的万程为x +y2,-22122= a(x + %x +y ) (a 0),其线密度
9、N =f(x +y )，求L对于原点处的单位质点的引力 F .a解：L的极坐标方程为r = a(1+cosO) 8w_n,n,ds =12()r (u)2d 1-a . 2(1 cosu)dudF =Gds G2-2r adsG dFx =cosOdF = -cosQds aFxJcos? a, 2(1 cos)dFJT11 3Tn/0cos .2cos-d?022G 二3 .1.o (co s 1 co s-)d =8G3a由L对称T知Fy =0.10.2计算下列第二型曲线积分:(1) (x2 -2xy)dx+(y2 2xy)dy , L 为抛物线 y(-1 x1)1解：原式=(x2 -2x
10、3) (x4 -2x3) 2xdx - 1二二(2x5 -4x4 -2x3 x2)dx ;1415(2)4 arctan y dy -dx ,其中OmA为抛物线段y OmAnOx OnA为直线y = x解：原式=y ,arctan - dy -dx mA AnOx二 (arctan x 2x -1)dx， (- -1)dxJT=2 xarctan xdx 04ji=1.4 (y2 z2)dx+2yzdyx2dz，L 为沿参数增加x =t, y =t2, z =t3 (0 t 其中 L 为域 0 M x M %0 M y M sin x 的正方向的围线解：由格林公式，xxX sin x X1-J
11、ex(1 Yosy)dxTyTiny)dy=e (ysiny)e sin ydb =Je ydb = 一10 dxi0e ydy = -(1-e ).LDD5q xdy ydx , L为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线.L 22L x y.xdy - ydxL2 L x y解：（1）若原点不在L所围的区域D内，直接应用格林公式FQFP二.(-)dxdy = .0dxdy =0(2)若原点在L所围成的区域D内，如图10-5,在原点附近作一个充分小的圆周l ：x2 +y2 = Z2,其方向为顺时针方向，设L与l所围成的复连域为D1 ，则/xdy -ydxL 2L x -yxdy - ydx
12、 xdy -ydx1I逆* y2 +v2 十可逆 y2 , v2= 110dxdy +可逆 xdy-ydxx yx yd1；1 -12.=Ii2dxdy=r 2；=2二.，D；(8)(3, A)(3y -x)dx (y -3x)dy(0, 2)(x y)3解:Q ；:P6x -6y(9)解:.:x ；:y4(x y),故积分与路径无关.设 A(0,-2), B(3,_1), C(0,_1),选取路径ACB计算积分,(3,1)(3y -x)dx (y -3x)dy(0, N)3(x y)-3 -x(x-1)3dx(1,/) 2 xx(0,0)(x e cos2y)dx-2eQ.x(3y -x)d
13、x (y -3x)dyAC (x y)3(3y - x)dx (y - 3x)dyCB(x y)30=2sin 2ydy*c x . c-1*=-2e sin 2y ，故积分与路径无关,:y如图10-6,选取路径OAB计算积分.原积分B(1,二 /4)OA(x2 +ex cos2y)dx-2ex sin 2 ydyAB(x2 ex cos2y)dx -2ex sin 2ydyJI1 2 x 1,2、0(x e )dx04 (-2esin 2y)dy = (e -)310.3计算下列第一型曲面积分:(1)口xyzdS，工是2x+2y+z=2在第一象限的部分.解:z = 2 -2x -2y ，dS
14、=1 +(z；)2 +(z；)2dxdy =3dxdy .如图10-7,I ixyzdS = xy(2 -2x -2y) 3dxdy =6 dx Dxy2MO12-e31 -x-6 2+ z113ix -y)dy =6x(1 -x) dx图 10-720虹(x2 +y2+z2)dS，工是 Jx2 + y2za的表面.解：如图 10-8,取工1 : z = a, dS = dxdy取工2 : z =、；x +y ,dS =,1 +(z；)2 +(z；)2dxdy = 2dxdy .则.、(x2 y2 z2)dS y2222222222222=(x y z)dS，ii(x y z)dS= (x y
15、 a )dxdy，11 (xy x y ) . 2dxdyT工DxyDxy_2二.a221422,34= (2%,2 +1) dQ r rdr +a J dxdy =(2j2+1) 2兀-a +a ra =(-+j2)na 00Dxy42(3)设曲面z = Jx2 +y2(0 z a)的面密度为1 ,求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量.解：由对称性知：x = y = 0 .工：z =、；x2 + y2, dS =、；1 +(zx)2 +(zy )2dxdy = V2dxdyM = ffdS = Hvr，2dxdy = M2 屿2 三DxyzdS M -II. x2 y2 2dxdy M d x
16、y2 二0 dlf V2r rdr= a .0313，一 2 、 故质心坐标为(0,0, 一 a) .3Ix = (y2 z2 )dS = (y2 x2 y2) .2dxdy :Dxy=| 向1(xDxy223 _ 2 二.y )dxdy =。d1ar20r dr = 3V2na44由对称性知Ix =Iy22222 ，2只a 224Iz = (x +y )dS = (x +y ) v2dxdy = v2/d f r rdr = na三Dxy210.4计算下列第二型曲面积分：(1) iizdxdy,工是由z = - 与z = 2所围成的立体的表面内侧.二 2解：由高斯公式知2 二 22口zdxd
17、y =-JJJdv = - J dH J rdr产 dz =-4n 0-01 : 2 巾1y2zdxdy + x2ydzdx,工是由2=a及z 0所围成立体表面外侧.12,222z = (x +y), x +ya解：由高斯公式2222 . 一 2a 2.一 一5用y zdxdy+x ydzdx= JJ (x +y )dv = q d0 f r rdr adz = a .三003(3)(x2 _yz)dydz + (y2 _xz)dzdx + (z2 _xy)dxdy,工为球面工222.(x -1) (y-1) (z-1) =1的外侧.222解：科(x _yz)dydz+(y _xz)dzdx+
18、(z xy)dxdy = j口(2x+2y+2z)dvQ由对称性知fxdv = JJJ ydv = JJzdvQ Q Q故原积分=6 111 xdvQ设x =1+r sin 中 cosH , y =1 + r sin 中sin 8 , z=1+rcos邛，则仍有dxdydz = r2 sin中drd中d日.2 二 二 126 fjjxdv =6 Jo dH J0 d中(1 + r sin 中cos8)r sin 中dr=8n.Q 222(4)求向重F =yz, xz,xy穿过曲面 工为x +y =a (OEzEh)的全表面流向外侧的流重.解：6=刊 yzdydz+xzdzdx+xydxdy =
19、 |JJ0dv = 0Q三、测验题1. 填空2一x 2.22(1)L是曲线 + y =1,其周长为s,则q (xy + x +4y )ds等于.4L2 一 22 一 2、解：由积分的称性知 xyds = 0 ,又l即：x +4y =4,故工(xy+x +4y )ds = 土 4ds = 4s（2）L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为A ,则2 2xdy +5ydx =解：由格林公式，R2xdy+5ydx=0(25)d。=3A 口 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= 口dS .LD三解：由第一、二型曲面积分的关系，应填 Pcoset +QcosP +Rcos? .(4)仃 f
20、 (x, y, z)dS = 口 f x(y, z), y,zdydz .三Dyz:x 2:x 2解：由第一、二型曲面积分的关系，应填1 (. )2 (. )2.yzAB ( 2 .2AB x y2、 ，x_ 2 _ 3x )dx - 22 dyx y2. 选择(1)设曲线段 AB 从 A(1,0)沿丫 =t7二x2cos(nx)到点 B(0,1),已知 E(1 1),则 2等于()A .ao - obB. .AE EBC. .ABD.A,B,C全不对解:设P = 2y 2 x yP,Q在(0,0)无定义，应选22 -3x2, Q = 2x 2，满足=生 =X2 - y2 ,故积分与路径无关，
21、又因为x y ；x 1yx yB. 设工是在第五象限且通过点A(1,0,0), B(0,1,0)及C(0,0,1)的右侧的光滑曲面，工的方程为f (x, y, z) =0 ,且f (x,y,z)的一阶偏导数不为零，有等式 Pdydz+Qdzdx + Rdxdy=仃(Pcosa+QcosP 十 RcosY)dS则cosP 等于(). yfylfyA. fx (x, y, z)B. fy(x,y,z) C. ,1D. ,9 =2,2,2.2.2.2fxfyfzfxfyfz解：工的法向量为 fY f, f7,单位化后为 十 fx, fy, fz,又已知工为右侧，所以cosp符号为正，应选C.y2.2
22、.2.fx - fyfz(3)设曲线积分 I ; x2 y2dx 5x yln(x . x2 y2)dy222其中闭曲线L为(x 1) +(y -1) =1逆时针万向，则I等于().a.冗b. 2nc.5兀d. 5n解：利用格林公式，I = J1 5dxdy = 5兀，应选c. D(x2 )x2V2(4)I = e(vdydz+sin(x + y)dzdx,其中工是平面x + 2z 4 = 0被柱面 +， =1所截得部分的上侧，则I等于(三164二 16二.1616.a. e b. (e -1) c.0 d. (e -1) 44解：工：x +2z 4=0, n* =1,0,2.1-故 cosa
23、 = =， cos B = 0 , cos .52.5,一 12有 dydz = dS , dzdx = 0dS , dxdy -广 dS - ,55I = He(x y ) ,3dS +0 = -L e(x ) -J +(-)2 +0dxdy = ex 刈 dxdy三5- 5 Dxy22Dxy12二 2 4r2二 16选取坐标：x =2r cosQ , y = rsin 日，则dxdy =2rdrd 日.I =一 f d 0, y 之 0,取上侧；1 2：y=0，x2EzE1, x 之 0,取左侧；工3:x=0, y2Wz1, y 之 0,取后侧. ix2zdydz y2zdzdx xz2dxdyW二 1-=.(4xz 2yz)dv 11 xdxdy -0-075 S 5 3Z23 1Dxy-11=.02d ”0rdr ,2(4rcos - z 2r sin - z)dz - :1.orCOSl rdr1221 3521