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1、.25第十三章 多因素试验结果的统计分析第十三章 多因素试验结果的统计分析第一节 多因素完全随机和随机区组试验的统计分析一、二因素试验的统计分析 二因素完全随机设计试验的统计分析方法已在第六章第五节“两向分组资料的方差分析”中介绍了，这里不再重复。 (一) 二因素随机区组试验结果的分析 设有A和B两个试验因素，各具a和b个水平，那么共有ab个处理组合，作随机区组设计，有r次重复，则该试验共得rab个观察值。它与单因素随机区组试验比较，在变异来源上的区别仅在于前者的处理项可分解为A因素水平间(简记为A)、B因素水平间(简记为B)、和AB互作间(简记为AB)三个部分。 (131) (132)这里，
2、j=1，2，r；k=1，2，a；l=1，2，b；、和分别为第r个区组平均数、A因素第k个水平平均数、B因素第l个水平平均数、处理组合AkBl平均数和总平均数。将平方和与自由度的计算公式列于表13.1。表13.1 二因素随机区组试验自由度的分解变异来源DF平 方 和区 组 r-1 SSR=处理组合 ab-1 SSt= 误 差 (r-1)(ab-1) SSe=SST-SSR-SSt总 变 异 rab-1 SST= 例13.1 有一早稻二因素试验，A因素为品种，分A1(早熟)、A2(中熟)、A3(迟熟)三个水平(a=3)，B因素为密度，分B1(16.56.6cm2)、B2(16.59.9cm2)、B
3、3(16.513.2cm2)三个水平(b=3)，共ab=33=9个处理，重复3次(r=3)，小区计产面积20平方米。其田间排列和小区产量(kg)列于图13.1，试作分析。区组A1B18A2B27A3B310A2B38A3B28A1B36A3B17A1B27A2B19区组A2B37A3B27A1B27A3B17A1B35A2B19A2B29A3B39A1B18区组A3B16A1B36A2B18A1B26A2B26A3B39A1B18A2B36A3B28图13.1 早稻品种和密度两因素随机区组试验的田间排列和产量(kg/20m2)1. 结果整理 将所得结果按处理和区组作两向分组整理成表13.2；按
4、品种和密度作两向分组整理成表13.3。表13.2 图13.1资料区组和处理产量的两向表处 理区组区组区组总和TABA1B188824A1B277620A1B365617A2B199826A2B279622A2B387621A3B177620A3B287823A3B3109928总和Tr706863T=201表13.3 表13.2资料品种(A)和密度(B)的两向表B1B2B3TAA124201761A226222169A320232871TB706566T=201 2. 自由度和平方和的分解 自由度的分解可按表13.1直接填入表13.4。以下分解各变异来源的平方和。 由表13.2按单因素随机区组
5、的分析方法可得： 2.89 =30.00 SSe=SST-SSt-SSR=40.67-30.00-2.89=7.78 由表13.3对SSt=29.67进行再分解： = = SSAB=SSt-SSA-SSB=30.00-6.23-1.56=22.213. 方差分析表和F测验 将上述结果列于表13.4。这里对A和B两因素皆取固定模型，区组则取随机模型，因此各项变异来源的MS均可用对误差项MS的比进行F测验。取显著水平=0.05。表13.4的F测验说明：区组间、密度间差异不显著，而品种间与品种密度间的差异都显著。由此说明，不同品种有不同的生产力，而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需进一步测验品种
6、间与品种密度间的差异显著性。表13.4 水稻品种与密度二因素试验的方差分析变 异 来 源DFSSMSFF0.05 区 组 间 22.891.452.963.63 处理(组合)间 830.003.757.65*2.59 品 种 26.233.126.37*3.63 密 度 21.560.781.593.63 品种密度 422.215.5511.33*3.01 误 差 167.780.49 总 变 异 2640.67 4. 差异显著性测验 (1) 品种间比较 此处以各品种的小区平均数(将表13.3的各个TA值除以rb=9)进行新复极差测验。假设为H0：对HA：、不全相等。算得=0.233(kg)查
7、附表7，p=2时，SSR0.05，16=3.00，SSR0.01，16=4.13；p=3时，SSR0.05，16=3.15，SSR0.01，16 =4.34，因此据，得p=2时，LSR0.05，16=3.000.233=0.70(kg），LSR0.01,16=4.130.233=0.96(kg）；p=3时，LSR0.05，16=3.150.233=0.73,LSR0.01，16=4.340.233=1.01(kg）。其测验结果列于表13.5。表13.5说明：A3和A2无显著差异，但A3和A1的差异达=0.01水平，A2和A1的差异达=0.05水平。因此，就品种的平均效应而言，A3和A2都是比较
8、好的，但A2的生育期比A3短，对安排后作有利。故与季节矛盾不突出时，选用A3、A2皆可，否则宜选用A2。表13.5 三个品种小区平均产量的新复极差测验品 种产 量差异显著性5%1%A37.9 a AA27.7 a ABA16.8 b B(2) 品种密度的互作 由于品种密度的互作是极显著的，说明各品种所要求的最适密度可能不相同。因此，可分别计算各品种不同密度的简单效应，以分析互作的具体情形。将表13.2各个TAB值除以r=3，即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg/20平方米)于表13.6。表13.6 各品种在不同密度下的小区平均平均产量及其差异显著性A1品种A2品种A3品种品 种产 量差异
9、显著性品 种产 量差异显著性品 种产 量差异显著性5%1%5%1%5%1%B18.0 a AB18.7 a AB39.3 a AB26.7 b ABB27.3 b ABB27.7 b ABB35.7 b BB37.0 b BB16.7 b B 对表13.6各个差数新复极差测验，有A1品种H0：,A2品种H0：和A3品种H0：算得=0.404(kg),并有：p=2时，LSR0.05，16=1.21，LSR0.01，16=1.67(kg)，p=3时，LSR0.05，16=1.27，LSR0.01，16 =1.75(kg)。用此尺度测验表13.6的各个差数，结果A1、A2品种都以B1为优，并与B2、
10、B3有显著差异；而A3品种则以B3为优，并与B2、B1有显著差异。这种不同情况就是品种和密度存在互作的反应。所以A3品种应选B3密度，而A2、A1品种则应选B1密度。要比较全部9个处理组合间差异的显著性，可以将表13.6中(1)、(2)、(3)合成一张表，然后计算p=2至9的LSR值，这里从略。以上是间接地测验互作。对互作值也可进行直接测验。例如，若要测定二个产量较高品种A3和A2与密度的互作，则可将这两个品种在3种密度下各3个小区的总产量(kg)列成表13.7。然后，计算各密度下A2-A3的差数。如果A和B没有互作，则A的简单效应不因B的不同水平而异，这些差数应无显著差异。所以差数的差数即为
11、互作值。由表13.7可算得：6-(-1)=7，表示A2比A3的增产数在B1水平下比B2水平下多7kg；同理6-(-7)=13，表示A2比A3增产数在B1水平下比B3水平下多13kg；-1-(-7)=6表示A2比A3增产数在B2水平下比B3水平下多6kg。这些互作值的计算也可写成以下形式：(A3B2+A2B1)-(A3B1+A2B2)=23+26-20-22=7(kg)(A3B3+A2B1)-(A3B1+A2B3)=28+26-20-21=13(kg)(A3B3+A2B2)-(A3B2+A2B3)=28+22-23-21=6(kg)表13.7 品种密度互作值的计算A2A3差数(A2-A3)互作值
12、(差数的差数)B12620 6B22223-1 7B32128-7 13 6由此，以上的各个互作值是6个小区总和为基础的差数，故在测验互作的显著性时=1.7(kg)。此处n=2b，并有：p=2时，LSR0.05，16=5.1，LSR0.01，16 =7.0(kg),p=3时，LSR0.05，16=5.4，LSR0.01，16=7.4(kg)。因而上述互作值都达到了0.05或0.01的显著水平。故A3品种需采用B3，才能充分利用其互作，取得最好产量。5. 试验结论 本试验品种主效有显著差异，以A3产量最高，与A1有显著差异，而与A2无显著差异。密度主效无显著差异。但品种和密度的互作极显著，A3品
13、种需用B3密度，A2品种需用B1密度，才能取得最高产量。(二) 二因素随机区组试验的线性模型和期望均方二因素随机区组试验的线性模型为: (133)其中，为总体平均数；为区组效应，一般为随机模型，有；Ak、Bl、(AB)kl分别为A因素主效、B因素主效及A、B交互作用效应，当它们为固定模型时，有，当它们为随机模型时，有Ak，Bl，(AB)kl。相互独立的随机误差。方差分析时三种模型的期望均方列于表13.8。表13.8 二因素随机区组设计的期望均方变异来源DF固定模型随机模型混合模型(A随机，B固定)区组间 r-1 或处理A a-1 处理B b-1 AB (a-1)(b-1) 误差 (r-1)(a
14、b-1) 模型不同，以后的F测验和统计推断也不同。根据F测验原理，由表13.8可见，当选用固定模型时，测验，其F值均是以误差均方为分母。当选用随机模型时，则测验和，应以误差项均方为分母；而测验和时需以AB互作项均方为分母。混合模型可以类推。例13.1中的资料分析是按固定模型进行的。二、三因素试验的统计分析(一) 三因素完全随机试验的统计分析 在三因素试验中，可供选择的一种试验设计为三因素完全随机试验设计，它不设置区组，每一个处理组合均有若干个(n个)重复观察值，以重复观察值间的变异作为环境误差的度量，这样也可以获得各因素及其交互作用的信息。 例13.2 水稻品种、赤霉素处理、光照处理的三因素完
15、全随机试验数据的分析。试验中有3个品种(A因素)，2个水平的激素处理喷水处理(对照)和施用20ppm的赤霉素，2水平的光照处理(增加光照C1和自然光C2)，共计322=12个处理组合。将水稻种子采用盆播，完全随机排列，除此三因素外，其它环境条件基本一致。试验的目的是考察三个因素及其交互作用对于苗高的影响。将试验结果列于表13.9。表13.9 品种、激素处理、光照三因素的水稻苗高试验结果A因素B因素C因素观察值(cm)TABCA1B1(0ppm) C1(加光)16.319.620.418.319.6 94.2 C2(自然光)15.517.617.318.719.1 88.2B2(20ppm) C
16、1(加光)30.935.633.232.636.6168.9 C2(自然光)28.423.926.024.029.2131.5A2B1(0ppm) C1(加光)18.718.415.117.917.4 87.5 C2(自然光)15.615.617.817.716.7 83.4B2(20ppm) C1(加光)28.234.332.126.229.0149.8 C2(自然光)27.727.222.318.020.3115.5A3B1(0ppm) C1(加光)18.917.718.015.915.6 86.1 C2(自然光)16.110.814.715.212.6 69.4B2(20ppm) C1(
17、加光)40.838.735.141.042.9198.5 C2(自然光)27.231.327.129.125.0139.7 1. 结果整理 将上述结果进一步整理为两向表，如表13.10，表13.11，表13.12。 表13.10 AB两向表 表13.11 BC两向表BATBBCTBA1A2A3C1C2B1182.4170.9155.5508.8B1267.8241.0508.8B2300.4265.3338.2903.9B2517.2386.7903.9TA482.8436.2493.7T=1412.7TC785.0627.7T=1412.7表13.12 AC两向表CATCA1A2A3C126
18、3.1237.3284.6785.0C2219.7198.9209.1627.7TA482.8436.2493.7T=1412.7 2. 自由度和平方和的分解 试验中三因素的水平数分别为：a=3，b=2，c=2。每一个处理组合有5个重复观察值n=5。完全随机试验设计的自由度和平方和的分解，总变异可以分解为处理组合变异加上误差变异。处理组合变异又可作分解： 处理DF=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC 处理SS=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC上两式中的下标为因素，如：DFA=A因素自由度，DFB=B因素自由度，SSABC=ABC的平
19、方和等。关于自由度和平方和的计算公式可以列于表13.13。表13.13 三因素完全随机试验的平方和及自由度分解变异来源DF SS总 变 异abcn-1处理组合abc-1A a-1 B b-1 C c-1 AB (a-1)(b-1) AC (a-1)(c-1) BC (b-1)(c-1) ABC (a-1)(b-1)(c-1) 误 差abc(n-1)SSe=SST-SSt 首先，将表13.9按单向分组进行方差分析： 33262.02 16.32+19.62+25.02-C=3815.15 =3540.45 =3815.15-3540.45=274.70由表13.10 AB两向表可求得: 93.2
20、8 2601.74 -93.28-2601.74=208.99由表13.11 BC两向表可求得: 412.39 -2601.74-412.39=179.22由表13.12 AC两向表可求得: -93.28-412.39=40.53因而， =3540.45-93.28-2601.74-412.39-208.99179.22-40.53=4.30 将上述计算结果列于方差分析表13.14。表13.14 三因素完全随机试验的方差分析表变异来源自由度平方和均 方FF0.05F0.01A293.2846.648.15*3.195.08B12601.742601.74454.85*4.047.19C1412
21、.39412.3972.10*4.047.19AB2208.99104.5018.27*3.195.08AC240.5320.273.54*3.195.08BC1179.22179.2231.33*4.047.19ABC24.302.151误 差48274.705.72试验结果表明品种间差异显著，激素处理间差异显著，光照处理间差异也是显著的；两因素间的互作均是显著的，三因素间的互作是不显著的。3. 多重比较的标准误公式A因素间比较时单个平均数的标准误B因素间比较时单个平均数的标准误C因素间比较时单个平均数的标准误根据t测验的原理，同样可以给出各个处理组合平均数的标准误。例如例13.2中，6个A
22、B处理组合的平均数的标准误为： (二) 三因素随机区组试验结果的分析 设有A、B、C三个试验因素，各具a、b、c个水平，作随机区组设计，设有r个区组，则该试验共有rabc个观察值，其各项变异来源及自由度的分解见表13.15。表13.15 三因素随机区组试验的平方和及自由度分解变异来源DF SS区 组r-1处 理abc-1A a-1 B b-1 C c-1 AB (a-1)(b-1) -SSA-SSB AC (a-1)(c-1) -SSA-SSC BC (b-1)(c-1) -SSB-SSC ABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC=SSt-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-
23、SSBC误 差(r-1)(abc-1)SSe=SST-SSt-SSR总 变 异rabc-1由表13.15可见，三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来，仅在于前者的处理间变异被再分解为7项，其中主效3项，一级互作3项，二级互作1项。各项都有其相应的自由度和平方和，并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平方和，即： DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (134) SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (135)例13.3 有一随机区组设计的棉花栽培试验，有A(品种)、B(播期)、C(密度)3个试验
24、因素，各具a=2，b=2，c=3个水平，重复3次，小区计产面积25m2。其处理内容和代号见表13.16，田间排列和皮棉产量(kg)见图13.2，试作分析。表13.16 棉花三因素试验的各处理A品种B播种期密 度处理组合代号A1B1(谷雨前)C1(3500)T1C2(5000)T2C3(6500)T3B2(立夏播)C1(3500)T4C2(5000)T5C3(6500)T6A2B1(谷雨前)C1(3500)T7C2(5000)T8C3(6500)T9B2(立夏播)C1(3500)T10C2(5000)T11C3(6500)T12区组T212T59T97T125T410T84T112T102T31
25、0T73T113T66区组T127T102T211T114T114T916T66T72T83T49T39T59区组T39T113T115T211T127T97T58T103T67T84T74T49图13.2 棉花三因素随机区组试验的田间排列和产量(kg/25m2)1. 结果整理 将上述结果按区组和处理两向分组整理成表13.17；再按任两个因素作两向分组整理成表13.18(1)、13.18(2)、13.18(3)。表13.17 区组和处理两向表处 理区 组TABCA品种B播种期密 度IIIIIIA1B1C112141339C212111134C3109928B2C1109928C299826C3
26、66719A2B1C13249C243411C376720B2C12237C234512C357719Tr838287T=252表13.18 二因素两向表 (1)AB两向表 (2)AC两向表 (3)BC两向表B1B2TAC1C2C3TAC1C2C3TBA1101 73174A1676047174B1484548141A2 40 3878A216233978B2353838111TB141111T=252TC838386T=252TC838386T=252 表中Tr、TABC、TA、TB、TC依次分别为各区组、处理、品种、播期、密度的总和数，T为全试验总和数。各个总和数所包含的小区数目，必为总小
27、区数目(rabc)除以该总和数的下标所具有的水平数。例如：每个Tr包括rabc/r=abc=223=12个小区；每个TABC包括rabc/abc=r=3个小区，每个TA包括rabc/a=rbc=323=18个小区；等等。记住这个规则，有助于后面的分析计算。2. 自由度和平方和的分解 自由度的分解可根据表13.15直接填入表13.19。首先，根据区组和处理两向表(表13.17)进行方差分析， SST= SSR SSt=382.00 SSe=SST-SSR-SSt=396-1.17-382=12.83 然后，由表13.18(1)AB两向表可求得： SSA=256.00 SSB=25.00 SSAB
28、=18.78 由表13.18(2)AC两向表可求得： SSC=0.50 SSAC=80.17 由表13.18(3)BC两向表可求得： SSBC=1.50 由(135) 可求得： SSABC=SSt-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC =382.00-256.00-25.00-0.50-18.78-80.17-1.50=0.05 至此，各项变异的平方和皆已计算得到，将它们填入表13.19。3. 方差分析表和F测验 在此三个试验因素皆取固定模型，所以各项均方都可与误差项均方相比而得出F值于表13.19。F测验表明，在该试验中显著的项目只有主效A(品种)、B(播期)和一级互作AB(
29、品种播种)、AC(品种密度)，其余皆不显著。由于F值的大小表示着效应或互作变异的大小，故在上述显著的效应和互作中，其对产量作用的大小次序为：AACBAB。表13.19 棉花品种、播期、密度三因素试验的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05区 组 间21.160.581.00处 理 间11382.0034.72 品 种 A 1256.00256.00441.38*4.30 播 期 B 125.0025.0043.10*4.30 密 度 C 20.500.251 AB 118.7818.7832.38*4.30 AC 280.1740.0969.12*3.44 BC 21.500.751.293
30、.44 ABC 20.050.031误 差2212.830.58总 变 异35396.0 4. 效应和互作的显著性测验 本例以亩产量为单位进行测验。 (1) 品种效应 表13.18(1)的每个TA是rbc=323=18个小区的产量，故cf=666.67/(1825)=1.48，A1品种的亩产量=174cf=257.5(kg)，A2品种的亩产量=781.48=115.4(kg)，二者相差142.1kg。为测验142.1kg/亩的显著性，在此有H0：对HA：0。显著水平取0.05。算得亩产量的标准误(kg),而LSR0.05，22=4.782.93=14.0(kg)。所以应接受HA，即A1品种的产
31、量显著高于A2。 实际上，当因素或互作的自由度1时，t测验、q测验、SSR测验的假设和结果都完全相同，而且也和F测验的假设和结果完全相同。所以，以后遇到这种情况，都可以根据F测验结果直接作出判断，而不需再作其他测验。 (2) 播期效应 表13.18(1)的每个TB值是rac=323=18个小区的产量，故cf=1.48。因此有谷雨前播亩产量=1411.48=208.7kg，立夏播亩产量=1111.48=164.3(kg)，二者相差44.4kg，由表13.19的F测验已知，此50.0kg亦为显著，故播期应选用谷雨播。 (3) 品种播期的互作 表13.18(1)在B1下A1、A2两品种的差异=61，
32、在B2下=35，其差异即为互作值：AB互作值=B1下-B2下=61-35=26(kg)，用处理组合表示为：AB互作值=(A1B1-A2B1)-(A1B2-A2B2)=A1B1+A2B2-A2B1-A1B2。这里的AB互作值=26kg，系18个小区总产量的差数。故AB互作值的亩产量：261.48=38.48(kg)。因各具二水平的二个因素间互作效应的自由度1,故其显著性可由表13.13的F测验代表，不必另行测验。本例A与B间互作显著，以A1与B1搭配为最佳。 (4) 品种密度的互作 表13.18(2)中各个系rb=32=6区产量的差数，故这些差数的差数系rab=323=12个小区产量的差数。cf
33、=666.67/(1225)=2.22。由此可得AC的各个互作值于表13.20(括号内为亩产量的互作值)。求得亩产量标准误(kg)故p=2时，LSR0.05，22=5.92.95=17.4(kg)，LSR0.05，22=5.94.02=23.7(kg)；p=3时，LSR0.05,22 =5.93.08=18.2(kg)，LSR0.01，22=5.94.17=24.6(kg)。按此尺度测验表13.20的各个互作值的亩产量，都达到0.01的水平，即品种A1比A2在C1下比在C2下多增产35kg/亩，在C1下比C3下多增产107.5kg/亩，在C2下比C3下多增产72.5kg/亩。A1C1表现为最优
34、组合。本例中BC和ABC互作不显著，无须再作进一步的测验。表13.20 品种(A)密度(C)的互作值C水平A1-A2不同C水平下(A1-A2)间的相差同C151同C23714( 35.0)同C3 343(107.5)29(72.5) 注：表中所列数字为总和值，括号内为折算成亩产量。5. 试验结论 本试验品种和播期皆有显著效应，品种应选A1，播期应选B1(谷雨播)。但AB互作显著，选用A1B1不仅具有A1、B1的平均效应，而且具有正向的互作值；AC的互作也显著，选用A1C1也可取得正向互作值。因此本试验的最优组合A1B1C1，即表13.16的处理(1)，它可以同时取得有益的A、B主效应和AB、A
35、C的互作效应。(三) 三因素试验的线性模型和期望均方1. 完全随机设计这里列出三因素完全随机试验的线性模型和期望均方，F测验的方法可依据前面讲到的F测验原理自行给出。三因素完全随机试验每一观察值yijkl的线性模型为： (136)其中，、分别为因素A、B和C的主效，(AB)ij、(AC)ik和(BC)jk分别为A和B、A和C以及B和C的互作效应，(ABC)ijk为因素A、B和C三因素互作效应，若它们为固定模型时，当它们为随机模型时，有Ai，Bj，(AB)ij，(AC)ik，(BC)jk，(ABC)ijk，。表13.21 三因素随机试验设计的期望均方变异来源DFMS期望均方EMS固定模型随机模型
36、混合模型A、B固定，C随机A a-1 MSA B b-1 MSB C c-1 MSC AB (a-1)(b-1) MSAB AC (a-1)(c-1) MSAC BC (b-1)(c-1) MSBC ABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABC 误 差 abc(n-1) MSe 2. 随机区组设计三因素随机区组试验每一观察值yjklm的线性模型为： (137)其中，代表区组效应，固定模型时有，随机模型时，其余参数参见三因素完全随机设计的情形。表13.22 三因素随机区组设计的期望均方变异来源DFMS期望均方固定模型随机模型混合模型A、B固定，C随机区组间 r-1 或A a-1 MSA B b-1 SSB C c-1 SSC AB (a-1)(b-1) SSAB AC (a-1)(c-1) SSAC BC (b-1)(c-1) SSBC ABC (