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1、专题 13 一次函数、正比例函数、反比例函数的图像和性质一、知识点精讲（一）平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系的原点。（二） 图形的对称（ 1 ）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他
2、的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。（ 3）平面直角坐标系内的对称点：设 M （x1, y1） ， M （x2 , y2 ） 是直角坐标系内的两点，若 M 和 M 关于y 轴对称，则有12 。y1 y2x1 x2若 M 和 M 关于x 轴对称，则有12 。y1y2x1x2若 M 和 M 关于原点对称，则有12 。y1y2x1 y2若M和M 关于直线y x对称，则有y1 x2y2x2x1若M和M 关于直线y x对称，则有y1若 M 和 M 关于直线x a 对称，则有x1 2a x212或y1 y2x2 2a x1y1y2（三）函数的图像和性质(1)变量：因变量，
3、自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。(2) 一次函数：若两个变量 y,x间的关系式可以表示成 y kx b (b为常数，k不等于0)的形式，则称y是x的一次函数。当b=0时，称y是x的正比例函数。(3) 一次函数的图象及性质把一个函数的自变量 x与对应的因变量 y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数 y = kx的图象是经过原点的一条直线。在一次函数中，当k 0, b 。时，则经2、3、4象限；当k 0, b 。时，则经1、2、4象限；当k 0,
4、b 0时，则经1、3、4象限；当k 0, b 0时，则经1、2、3象限。当k 0时，y的值随x值的增大而增大，当k 0时，y的值随x值的增大而减少。(4)正比例函数的图象及性质函数y=kx(k是常数，kw0的图象是过原点的一条直线，当 k 0时，图象过原点及第一、第三象限， y随x 的增大而增大；当 k 0时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而减小。(5)反比例函数的图象及性质k函数y 一(kw型双曲线，当k 0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而减小；当k 0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而增大.双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x 与y
5、x；又是中心对称图形，对称中心是原点。二、典例精析【典例1】已知A 2, % 、B x2, 3 ,根据下列条件，求出 A、B点坐标.(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称.【答案】见解析【解析】 因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以 X2 2, y 3,则 A 2, 3、B 2, 3 .(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，X22, yi3,则 A 2, 3、B 2, 3 .(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以 X22 , yi 3,则 A 2, 3、B 2, 3 .
6、【典例2】已知一次函数y= kx+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于 A、B两点，。为原点，若AAOB的面积为2,求此一次函数的表达式。【答案】见解析【分析】：因为直线过第一、三象限，所以可知k0,又因为b= 2,所以直线与y轴交于(0, 2),即可知OB = 2,而AAOB的面积为2,由此可推算出 OA=2,而直线过第二象限，所以 A点坐标为(一2, 0),由A、B两点 坐标可求出此一次函数的表达式。【解析】1.B 是直线 y = kx + 2 与 y 轴交点，B (0, 2), .OB = 2,又 Q S AOB - AO BO 2, AO 22又Qy kx 2,过第二象限，A
7、( 2,0)把 Xi2, y1 0弋入 y kx 2 中得 k 1, y x 2k【典例3】如图，反比例函数y 的图象与一次函数 y mx b的图象交于A(i,3), B(n, i)两点.x(1)泉员电函数与一次函数的解析式；(2)根据图象回答：当 x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.【答案】见解析【解析】k33(1)QA(13)在y 的图象上，k 3, y -又Q B(n, 1)在y 的图象上，n 3,即xxx3 mB( 3, 1) 13m3解得：m 1, b 2 ,反比例函数的解析式为 y , 一次函数的解析式 b,x（2）从图象上可知，当3或0 x 1时，反比例函数图象在一次函数
8、图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。三、对点精练1 .函数y kx m与yxA .xC.B.D.m（m 0）在同一坐标系内的图象可以是 x【解析】对于答案（A）验证:y kxm 中,m0,矛盾对于答案（C）验证:kxm 中，m0,对于答案（D）验证:kxm 中，m=0,m(m xm(m x0) ,m0,矛盾0) ,m0,m(m x0）,m0, 一致符合要求。故选B.2 .如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点,D在第一象限角平分线上，又知AB 6, ad 2p2，求B,C ,D点的坐标.【答案】见解析【解析】据题意 B(6,0), C(8,2), D(2,2)3 .如图，已知直线
9、 y x与双曲线y 一（k2x0）交于A, B两点，且点 A的横坐标为4 .（1）求k的值;k ,(2)过原点O的另一条直线l父双曲线y (k 0)于C, D两点(P点在第一象限，且在A点的左边)，x若由点C、B、R A为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.【解析】(1)在中，当x=4时，y=2,点A的坐标是(4,2).上k=4X2=8点A (4, 2)在双曲线(2)二反比例函数的图象是关于原点。的中心对称图形,OA=OB , OC=OD. 四边形 ACBD是平行四边形.设点C的横坐标为 m (0vmv4),则C (过点C、 A 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为E、 FSacoe+S 梯形 cefa=Szcoa+SaaoF, .1 S 梯形 cefa=Sacoa=6 .,解得 mi=2, m2=-8 （不合，舍去），C 的坐标为（2， 4） 点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数k 的几何意义这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义