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1、教师日期学生课程编号课型课题绝对值函数教学目标掌握单调性、奇偶性的定义与变形教学重点灵活使用单调性、奇偶性进行图像、运算及综合运用教学安排版块时长1知识梳理202例题解析603师生总结104当堂检测305课后练习30绝对值函数知识梳理1 .奇函数函数/(X)关于原点对称，即/(T)= “X)。若函数在x = 0上有定义，令x = 0,有 0)=。2 .偶函数函数关于y轴对称，即T)= f(x)3 .周期函数/(A-)： /(x+7) = /(x),其中，Two,是一个常数，可以有正负4 .函数对称性二若函数“X)满足f(a + x) = f(a-x),则函数关于轴x = “对称二若函数/(x)
2、满足f(a + x) = -f(a-x),则函数关于点(。,0)对称二的变形有：/(2+x) = /(力、/(加一M = ,f(x)等；匚的变形有/(4 + X)+ /(4X)=。、/(勿+力=_.f (X) / (勿 7)= /(X)等高三数学课程绝对值函数(教师版)9/9例题解析【例1】若函数f(X)=a2xf (a0, a壬1),满足f (1) 则f (x)的单调递减区间是 ( )A. (-8, 2B. 2, +oo) C. -2, +oo) D. (-8, -2【解答】解：由f(l)N，得a?，于是a3,因此f (x) = ( = ) 41. 9933因为g (x) =|2x-4|在2
3、, +oo)上单调递增,所以f (x)的单调递减区间是2,-).故选：B.【例2】关于x的方程H 1 - |kx|=0 (其中e=2.71828是自然对数的底数)的有三个不同实 根，则k的取值范围是()A. -2， 0, 2 B. (1， +oo) C. kk2l D. k|ke【解答】解：由exr-|kx|=0得ex 】=|kx|,当k0时，要使方程】-|kx|=0(其中e=2.71828一厂是自然对数的底数)的有三个不同实根，高三数学课程绝对值星 1 - /一2一1 CL23则在x0时，e*】=|kx|有两个不同的实根，x-1由/ 7=|人| 得 |k|=-,Xx-1 设 f(X)=-,X
4、x-l X-1 /1 x-1则f(X)=注/丛9 XX当X1时，F(X)0,函数单调递增，当0xl时，f (x) 0时，ex 1=kx由两个不同的实根，则等价为k2l,故选：C.【例3】函数f(x) =|2-1|,若aVbVc且f(a) f (c) f (b),则下列四个式子是成立的是()A. a0t b0 c0 B. a0c0B. C. 2c+2a2D. 2 a01-2X,x0故可作出f (x) =|2- 1的图象如图所示,由图可知，要使aVbf (c)f (b)成立，绝对值函数(教师版)则有a0.且 1 -2a2c- 1,Z2a+2Cf (c), 2但f ( -a) =f (1) =|2-
5、则 2am的解集为R,命题q：命题f(x)=- (5 - 2m) x是减函数，则p是4的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：二由绝对值得意义得，|x|+|x-l|的最小值等于1,故命题P：不等式|x|+|x-l|m的解集为R,等价于ml,即m8,解得 x4,则为喘；当-LxVl 时，f (x) =3x+l+3-3x=4N8,无解，则 xt 口:3当 x8 解得 x - L 则为 x| (3x+i) + (3a-3x) |=|+3a aaa=3a=N &Z=2遮, a v a当且仅当3a即a当时，取得最小值2Ji a 3由于任意x：R, f
6、(x) Nm恒成立，则 m0；(2) f (m2) f (m-Hi) f (n2).【解答】(1)证明:由 f (m) =f (n),得|log2 (m+l) |=|log2 (n+1) | RP log2 (m+1) =log2 (n+1),log： (m+l) =log2 (n+1),二或 log? (m+l) =log2 n+1由二得m+l=n+l,与mn矛盾，舍去.由二得 m+l=-,即(m+l) (n+1) =1.二 n+1二m+l 1 n+l. Zm00.(2)证明：当 x0 时，f (x) =|log2 (x+1) |=log2 (x+1)在(0, +oo)上为增函数.由(1)知
7、 m? - (m+n) =m2+mn=m (m+n),且 m0 Lm (m-ii) 0.Zm2 - (m+ii) VO, 0nrm+ii.Zf (nr) f (m+11).同理，(m+ii) - n2= - imi - n2= - n (m+n) 0,Z0m+nn2. Of (m+n) f (n2).二f (nF) f (m+ii) 0)（1）当a=4时，求的最小值日五1日1-（4半）IV k7 x（2）当上烂4时，不等式|1恒成立,求a的取值范围.【解答】解：（1）当a=4时，产X,港（X） 1 f（x）16，当心子，即xE时，取“=”号V x故产;蕾I的最小值为15：产喘二尸汇吟二X心有以
8、“）2设H 则问题等价于|1-（小+辛）|1，t二1, 2时恒成立,22即at41-2, t_l, 2时恒成立,令h（t）二0（t叶），则只需h （t）在1，2上的最小值大于2或最大值小于0即可,高三数学课程绝对值函数(教师版)9/9由 函 数产x+目的 单 调 性 知加 2JKV2 ro7I2叫hGrh2霖)刈,h0或*歹h。或h(=h0或a。Im於hl或aVO(O反思脑结高三数学课程绝对值函数(教师版)9/91、对单调性、奇偶性的概念做到很熟2、对函数基本性质融会贯通随堂练习1 .已知函数f (x) =3-|x|, g(X)=x2_4x+3,构造函数F (x),定义如下：当f(x)Ng (
9、x)时，F (x) =g(X)：当 f (x) NB. M=NC. M0, f ( - 1) 0,所以 a-b+c0,二图象与y轴交于负半轴，Zf (0) =c0.二对称轴在1右边，二 2aZ2a+b0, 2a+bV0,二bVO, 2a-b0,根据图象，f (1) 0,则 a+b+cVO,二N=|a+b+c|+|2a - b|= - (a+b+c) + (2a - b) =a - 2b - c.M - N= (c - a - 2b) - (a - 2b - c) =2c - 2aV0,ZMN.故选：c.3.产f (x)是R上的减函数，且尸f (x)的图象经过点A (0. 1)和B (3, -1
10、),则不 等式|f (x+1) |V1的解集为(-1.2).【解答】解：y=f (x)是R上的减函数，且尸f (x)的图象经过点A (0. 1)和点B (3,-1),所以|f (x) |1的解集是x|0x3,不等式|f (x+1) |1对应函数y=|f (x+1)也勺图象可以看作y=|f (x) |的图象向左平移1个 单位得到的，则不等式|f(x+1) |2 时，f (x) =lg (x - 2),由 f2 (x) +bf (x) +c=0,得1g (x - 2) 2+blg (x-2) - b - 1=0,解得 1g (x-2) = -b-l, X2=12 或 1g (x - 2) = -b
11、-l, xj=2+10 - b当 x2 时，f (x) =lg (2 - x),由 F (x) +bf (x) +c=0 得1g (2 - x) F+blg (2 - x) - b -1=0),解得 1g (2-x) =1, X4=-8 lg (2-x) =b, X5=2- 10-bT.Zf(X1+X2+X3+X4+X5)=f (2+12+2+10b - 8+2 - 10b) =f (10) =lg|10 - 2|=lg8=31g2.故答案是31g2.1 .已知函数 f (x) =ax2+2bx+4c (a. b, c二R, a却).(1)若函数f (x)的图象与直线产x均无公共点，求证：4b
12、2 - 16ac0,且a+b=l,又|x区2时，恒有|f (x) |2,求f (x)的解析式.【解答】解：(1)证明：匚函数f (x)的图象与直线y=x均无公共点，Z ax2+2bx+4c=x 无解二：:VO二4b2 - 16ac - 1：(2)a5,即-8Va0 时，M (a)满足：-gVaVO 且 OVM (a) V -2,aa所以M (a)是方程作斗8*+3=5的较小根,则-一向铲飞6会+8二当 3 - -5 RP a,所以 M (a)是 ax2+8x+3= - 5 的较大根, aa则M土烂J1r等当且仅当a=-8时取等号,由于1二二，因此当且仅当a= - 8时，M (a)取最大值更?
13、222(3)求得 f (x) =2ax+2b.高三数学课程绝对值函数(教师版)9/9二a0,二f (x) max=2a+2b=2,即 a+b=L则-2f (0) =4a=4a+4b+4c - 4 (a+b) =f (2) - 42 - 4= - 2,Z4c=-2,解得 c=f又二|f(x) |2,所以 f (x) “2=f (0)二f (x)在x=0处取得最小值，且on (-2, 2),二-2殳=0,解得b=0,从而a=l2a二f (x) =x2 - 2.2 .已知f（x）=（1）比较f（3）与fG/13）的大小；（2）求证：2+|x | 2+ |y | z+hc+TT【解答】解：二出）二Zf
14、 (3)又二3技,（2）证明:二丘1 _ Ivl , 鼠| _ 312+ |x I 2+ |y | 2+ |x | + |y | 2+ |x | + |y |Ix|+ 312+|x| + |y|=Jx+yL=2+|x+y|,- 炭11.、鼠+yl 一2+|x| 2+|y| 2+1x+y|3 .设 f (x) =|2x - 1|+|1 - x|.(1)解不等式 f (x) 绝对值函数（教师版）9/9(2)对任意的x,不等式f (x) (nr - 3m+3)|x|恒成立，求实数m的取值范围.【解答】解：当x看时，原不等式可化为-(2x-l) - (x- D3x+4,解得故此时-i xi：吗1时，原
15、不等式可化为2x7- (x-l)w3x+4,解得疟-2,故此时94l时，原不等式可化为2x-1+x-lx+4,即-2*,显然成立，故此时X1.综上可得，原不等式的解集为xj疟-(2)当x=0时，原不等式为2加，显然恒成立：当x却时，原不等式两边同除以|x|,则不等式可化为：|22| +1-11 口2-3附3 恒成立. X X因为 12T |+1-11I|=1-所以要使原式恒成立，只需ni? - 3m+3gl即可，即m2 - 3m+21的解集相同，求函数f(x)的解析式;x-2(二)若|x曰，|f (x)区1恒成立，求a的取值范附：(二)在(口)条件下若 g(X)=kax+b (X1),求证：当
16、X日时，|g (x) |1的解集是x|2VxV3, x-2二f(X)=0的两根为2, 3,高三数学课程绝对值函数(教师版)9/9-f (2) =0 &2 俎,St 彳号 * b= - 5, c6,f 二。二f(X)=x2 - 5x+6：(D) Zf (0) =c, f (1) =a+b+c, f ( - 1) =a-b+c,Z2a=f (1) +f ( - 1) -2f (0),又|X|W1, |f(X)|1,Z|f (1) |b |f ( - 1) |1, |f (0)区I,Z|2a|=|f (1) +f ( - 1) -2f (0) |f (1) |+|f ( - 1) |+2|f (0)
17、 |4,匚-2a1, |f (1) |1, |f ( - 1) |1, |f (0) |bZ|g (1)(1) + If ( - 1) -Xf (0)区- j + J +入=2.|g ( - 1) |=|i-f (1) -( - I) +Xf (0) |AzL+A1.+x=2X11 221 22绝对值函数(教师版)9/9g(X)是关于X的一次函数，由一次函数的单调性得：当区区1时，|g(X)|2X.5.已知函数 f (x) =|ax+l|+|2x - 1 (aZR).(1)当a=l时，求不等式f (x)之2的解集：若f(x) w2xitxZ：e，1时恒成立，求a的取值范围.【解答】解:(1)当
18、a=l时，不等式f (x)之2可化为X+”+|2x-1巨2 ,不等式为3xW，解得(,故 二当-IWxV/时，不等式为2-烂2,解得烂0,故-1SXW0：二当x-l时，不等式为-3定2,解得烂-故x a0.高三数学课程绝对值函数(教师版)9/9（二）若a=l,求f （x）的单调区间;（二）若函数f （x）恰有两个不同的零点xi，制，求匚|的取值范闱. X1 x2【解答】解：（二）f（x） = x2-x|x-l 1-3-2x2-x-3, xl根据函数的图象可得，f（X）在（YQ,1）上单调递减，在号，+8）上单调递增.。f(x) = x2-x | x-a | -3a=,r 2 c /2 x -ax-3a, x&a.ax-3a, k由.二当 0VaV3 时，令 f (x) =0,可得叫二3，x二&班了2型,竺：+24豆（因为f储）=a2-3aa舍去）4Va2+24a-a1 ,I”+24a+a_l 1 I_24361七在0VaV3上是减函数，所以-| （1, +8）. X1 x2匚当值3时,令f（X）=0,则可得xi，X2是方程2x? - ax - 3a=0的两个根,所以白,1卒号至沁当弹呜，1,xj x2 I xjx2 I 3a 3、 a 3综合二二得，I十+I eg，+8）.高三数学课程绝对值函数（教师版）9/9