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1、2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学(文)试题一、单选题1.若集合”=#0工3,汽=114.20,则MC1N=()A. (0JB. (0,3C. (0,2D. (-2,1【答案】A【分析】首先求出集合N,再根据交集的定义计算可得：【详解】解：因为M=xlOvxl,N = xlx2+x20,图. ；图象相邻两条对称轴之间的距离为将函数.v = /（x）的图象向左平移;个单位后，得到的图象关于）.轴对称，那么函数 0=/（工）的图象（）A.关于点g0对称B.关于点一白川对称c.关于直线x = W对称D.关于直线工=一2对称【答案】B【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为,可知U =
2、从而可求出口=2,再由22 2y = /*）的图像向左平移。个单位后，得到的图象关于y轴对称，可得sii“o + ? = l,从而可求出8的值，然后逐个分析各个选项即可【详解】因为相邻两条对称轴的距离为三，故 =巳，T = tt,从而切=2.22 2设将f（x）的图像向左平移:单位后，所得图像对应的解析式为g（x）, O则g(x) = sin(2x + o + ?,因g(x)的图像关于 轴对称，故g(O) = l,(,冗冗所以 sin (p + =1 , 9 + 一= %乃 + ,AwZ, 所以 9 =攵乃 十 一,k eZ , 3 /326冗7TA (p0时，x趋于0时.函 数值趋于负无穷大
3、判断.f(x【详解】因为x)g(x) = D与一段= xsinx都是偶函数，排除A, B. X g(x)因为“X)g(x)和/(x) + g(x)都是奇函数，且当X0时,X趋于。时，函数值趋于负无穷大，排除D, 故选：C八 22 cos%-sin 2a / A (9 .若= -6,贝!Jcosatanj。sin a + cos aVA.：2【答案】D)D. 3【分析】应用二倍角正弦公式sin2a = 2sina8sa、差角正切公式，化简己知三角函（ 乃）数式即可求cos atan。一一 k 4 J【详解】2 cos2 a - sin 2a 2 cos2 a-2 sin a cos a 八 co
4、s a - sin a=2 cos sin a + cos asin。+ cos acos a + sin a,汗. 万 九 cos /2， -所以而衣=|而H硝cosA = 所以cosA = . sin A =匹-22所以aA3c的面积为S处.=匕A囱|nI sin A =噂 22故选：Cx,-lx012.设函数/(x) = j 1J(l)+ 1,0x1若函数) = /(1)-4在区间(T,l)内有且仅有两个零点，则实数/的取值范围是()【答案】C【分析】化简函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可.【详解】解：因为/(x) = J141)x, -1 x4 ,故048而积的最小
5、值为4,此时直线/的方程为 +）=1，即21+），-4 = 02 4故答案为：2x+y-4 = 0.【点睛】本题考查直线的截距式方程及应用，解答本题时，先需要根据题目条件得到横、 纵截距。与之间的关系式，然后利用基本不等式求心的最小值及当,心有最小值时 。，各自的取值是关键.三、解答题17.已知圆C:,d + y2 =：和直线/:=一l（AeR）.（1）若直线/与圆。相交，求k的取值范围；（2）若攵=1,点。是圆C上一个动点，求点夕到直线/距离的最大值和最小值.【答案】（1）（一s，-g）U（G，fs）:（2）最大值为与1,最小值为与 22【分析】（1）利用点到线距离公式，使圆心到直线/的距离
6、小于半径即可；（2）由（1）可知，当女=1时，直线/与圆。相离，先计算圆心到直线的距离4,则圆上一点d到直线/的最大距离为d + r,最小距离为d - r.【详解】解：（1）直线丁 =履一1可化为京一y l =。，圆C的圆心是C（。,。），半径 由题意得，圆心C（0,0）到直线I的距离是y=p |，解得：k6.故k的取值范围是（一8,JG）U（G，）.（2）当k = l时，直线/与圆C相离，圆心。（。,。）到直线八丁=”一1的距离是/=73=4，故点P到直线I距离的最大值为d + r = H ,最小值为d-r =立二i.22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及圆上一点到某一条线的最大距离与最小
7、距离， 解答时，点到线距离公式的运用是关键.一般地，当直线/与圆。相离时，设圆心到线 的距离为4,则圆上一点到直线的距离的最大值为d + r,最小值为d-r.18 .我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进 行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 （0.0.5）,（0.5,1）,.（4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的。的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由;（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】（1） 4 = 0.3； （2）36000： （3
8、） 2.04.【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分 析问题、解决问题的能力.第（I）问，由高x组距=频率，计算每组的频率，根据所有 频率之和为1，计算出a的值：第（II）问，利用高x组距=频率，先计算出每人月均用 水量不低于3吨的频率，再利用频率x样本容量=频数，计算所求人数：第（HI）问，将 前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2&0.5,而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21 =0.480.5所以2夕V25由 0.50x （x-2） =0.5-0.48,解得 x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04
9、吨.【解析】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问 题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率， 所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础.19 .在矩形A8CZ）中，将8c沿其对角线AC折起来得到ZUBC ,且平面平面AC。（如图所示）.（1）证明：力与，平面BC。；（2）若AB = 1, BC = 2,求三棱锥片ACO的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）正.6【分析】（1）由面而垂直性质知CC平面从用。，从而得到A瓦，CO,由线而垂直判定定理可证得结论：（2）由线而垂直性质得
10、到C。，与。，利用等体积转化法可求得结果.【详解】（1）.平面平而AC。，平面A8Qc平面ACD = AQ，CDAD.81,平面4片。，又从与=平而A3Q, / AB 1 BC , B、CcCD = C , .AB，平而az （2）由（1）知：CQJ_平面力与。，又用Ou平面人与。，.CD1.8Q.在即a。片中，CD = AB = 1, B( = BC = 2,.二 B,D = b?CD?=6, V Bi-ACD=VA-BtCD =TXTX1XX1 =Y 1 J 4J一 （ b20 .在ABC中，角4民。的对边分别是“,4。，且向量?=和向量2“=（等一）互相垂直.（1）求角C的大小；（2）若
11、aABC外接圆的半径是1,面积是正，求aABC的周长.2【答案】（1）。=乡：（2） 3 + 66（分析】（1）由向量垂直的坐标表示知/ +/?2-c2 =小心,结合余弦定理即可求角C：(2)由三角形而积公式知，山=2J5,结合/+ _。2=6活求+，进而可得A8C的周长.【详解】(1)因为标互相垂直，所以;“；=(-c卜竺+，仅一氐) = 0, 22即。2_。2 =y/3ab-h2.a2 +b2 -c2 = Cab ,由余弦定理得,cose一/2ab第16页共16页因为0。乃，所以C =工： 6(2)因为S ,lot=absin = 所以 Z? = 25/J.2622a2 +b2 -c2 =
12、 y/3ab ,就是c/+ 一 2sin=瓜山)即 /3 , a + b = 2 + y/3，故ABC的周长是a + Z? + c = 3+6.【点睛】关键点点睛：由已知向量垂直，利用坐标表示整理得到关于三角形三边的关系 式，再结合余弦定理求角：应用三角形面积公式、正弦定理以及完全平方公式等求三角 形周长.2L设函数/对一切实数在都有/(7 + )一/()=加(7 + 2 + 1)成立，且 /=0, /(0) = c,圆 C的方程是(x + a+()，+ c)2=9.(1)求实数c的值和/(Z)的解析式；(2)若直线2工一力+ 2 =。(。0,。0)被圆C截得的弦长为6,求士里的 ab最小值.
13、【答案】(1)c = -2： /= z2：9.【分析】(1)令7 = 1, = 0代入等式中可求得c ,再令?= 一代入得/(z)的解析式;(2)由已知求得直线过圆心(1,2),有。+ = 1.由均值不等式得4a + b1 4 / ,. r 4a b =4+Z? “=-+ - (。+与=5 + 丁 + 一，可求和 一1一的最小值.ab ya b Jb aab【详解】(1)令? = 1, = 0代入等式中可得，/(0) = -2,即c = 2.再令?= 一 得，/(0) - f(n) = -n(-n + In +1), f(n) = n2+n-2,所以 /(z) = z2 + z-2.(2)因为
14、直线被圆(入+ 1)2+()， 2尸=9截得的弦长为6,所以直线过圆心(1,2),于是由均值不等式得，4a + b 1 4 ( 4,、匚 4a b 5 + 2. -x- =9 当且仅当ab a b a b)b a b aw=L即=1,8=2时等号成立.b a 33故士里的最小值是9.ab【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成枳的因式的和转化成定值；(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等
15、号 则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22.设数列也的前项和S“ = n2(1)求数列q的通项公式；(2)若不等式 + + 2 log1人对任意 wN恒成立，求实数4的 Cla2 a2a3 Mr+l 8取值范围.【答案】(1)g=2n-l,nwN，； (2)= 1【分析】(1)直接利用肉=二c求出数列的通项公式；1 1 1(2)利用(1)的结论和裂项相消法求和得到一+ + +,再根据不等式恒成立，得到关于几的方程，然后求出参数4的取值范围.【详解】解：(1)当 N2 时，a=S“-Si=2(一1=2 九一 1,在中，令 =1,则(2)因为一般项=-一-=-一7-一-，Mh
16、i (2 - 1) (2 +1)2 2n -1 2n +1 y所以111 If 1 1 1 1 111 A naxa2 a2a3 。必向 213 3 5 5 7 2n -1 2n +1 2n +11117+21。81%对任意%恒成立, %“2%8因为=一In + 1 2 In +112 + 1是增函数,也就是噢广“eI对任意恒成立肃1 1 1其最小值是大I-=- 21 2+1； 3于是42：.故实数的取值范围是；，+s q J 2【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.