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1、 4基变换与坐标变换教学目的通过教学，使学生理解基变换立理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式.教学内容在数域F上的维向量空间V中，若取运一个基内，a”则V中 每个向量a在这个基下有唯一确泄的坐标.对于不同的基，同一个向量a的 坐标一般是不同的.本节讨论基的变动，以及同一个向量 的坐标是如何随其 变化的.4.1基变换设内，第与，0”是v的两个基，则P = a a + “2 J 2 + + a an a”），不是以数域F的元 素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样 的运算性质.对于具体的维列（行）向量空间F,由于内，a”都是n元有序数组， 因此当臼，a”为列向量时，有序元数组
2、（均，日勺，务）表示以珀2,?, %为列的矩阵，这时（2）正好是第一章讲的矩阵乘法形式.设（% %与（A, 02,，0）是的两个向量组，A= （如 ，B=（如/皿（F）,则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：（?!? 他,%A） B= （Qi, a2, - an） （AB）,（av av - -an） A+ （ av av - an） B= （ av av- -an） （A+B）,（?r 的 ） A+ （0i, 02,，0 ）A=（创+022+02,， Q+0 ”）A.因为上述矩阵形击写法的定义与矩谆乘法的定义在形式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一遍，便得出上述三个规则.因此，这
3、里将其证明略述.公式中出现的矩阵 A叫做由基如 如务到基角02,Pn的过渡矩阵.命题6.4.1在？I维向量空间V中,基绚,av- an到基角 角，0, 的过渡 矩阵是可逆矩阵.证设(0, 02,，0)=( av ar an )A ,要证A可逆.用反证法，假如A不可逆，则 =0.于是齐次线性方程组 AX=0有非零解，/5取一个非零解沧：，有+ 巾 02 T CnPn =(01 , 0”、Pn=(a J , a?, - a)A)T = (av 日勺，即 XAA) = 0 ?这表明Q, 02,， 啜性相关，矛盾.因此A可逆.口命题6.4.2设内，衍，a”是V的一个基，角，J3neVt且(角02,，0
4、=(内，如a )A?若A可逆，则01 , 02,，炕是V的一个基.证只要证02,，优线性无关即可？假设& P 七 k2 七+= 8NJ因为Qp S ? J是V的一个基，所以从上式得 A ? =0?于是，kJ由A可逆知道=上2 =心=0.故01,，0线性无关. 由命题41、6.4.2 立得定理6.4.1设勺日勺，色是数域F上向量空间V的一个基，且(01, 02, Pn)=(av 如？ qM(3)其中A=(咖，WMn(F),则01 , 02,，巢V的一个基的充分且必要 条件 为A是可逆矩阵.口这一个立理所刻画的也正是可逆矩阵的几何意义4.2坐标变换公式设ere V在基 av c(v - an )
5、H的坐标是(召，勺，、？),在基0p0 ,，Ph F的坐标是 ()? )JWa =八 xiaii=i=ZA =(A 02,，久)i-i把代入，得/ a = (a r av- A a,)A) I =(a r 勺,因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到 /y!也-42? Z1 ?zj I儿J因此有5) AV?f-V2?(6)定理6? 4? 2设V是数域F 士 n(0维向量空间，A是由V的基 ?,冷到基角 归、0舄的过渡矩阵，则 V中向量”在基 ap 他,a ” 下的坐标3,勺,一天”)与在0i,灼，0”卜的坐 标(”，乃，儿)由等式(7)联系着?例1取的两个彼此正交的单位向量习，句，作成#2的
6、一个 基.令殆名;分别是由习和勺旋转角是巾的一个基，且有8所得的向量(图6-1),则环 ；也斗=9os 0 + s 2 sin 0 ；=-叼 sin 0 + s2 cos 0图6-1所以佝，勺到玮$的过渡矩阵是(cos3 -sin oI sin o cos o设日勺的一个向量a在引 勺卜的坐标是(xh X2)，在伯; 卜的坐标是(斗 W),则由定理6.4.2得X) = x cos 0 - sin &, x2sin 0 + x cos0.这正是平而解析几何里转轴的坐标变换公式.例2在声中，设C = (bO,-1 ) , Of2 = (24,1 ) ,%= (1 1),Q= (O1),屁=(-1,
7、10 ) , d= (lZl) , c= (253 ) ?求基印，日勺，勺到基 Q, 0y A的过渡矩阵T,弁且求”分别在这两 个基下的 坐标？解设以为册转置.因为0 = ka + k 2ct2 + k 佑 /?! =kxa + k1a!1 + kg所以ifiv Pv 03)=(勺，色口 o (0d 0? 0 ;)=(对 ay 必口？于是，设A= ( a.必，必)，B二(风pv 0 ;),则从(处pv )第一章的方法求解.因为1 210-110 00I 11 0-1-3 -20 124 4行变换V=(a; , a; ) T得出，B=AT? 为了求7;需要解这个矩阵方程，可按所以，过渡矩阵T =(0 1 1、-1 -3 _2 2440 111120-1111010设a在基0pv 03下的坐标为(力口 yyK勺)，则B y23* I I 1解这个线性方程组得)2 = 0 ?因此，由坐标变换公式得到 a在基a” av色下的坐标为(2,5,10)课外作业:P318-319 : 1 ; 2 ; 4 ; 6.