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1、高考复数知识点精华总结复数知识点1复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集整 数有 理 数实数(b=0)分 数复 数a+bi(a,bR)小数)无理数(无限不循环虚 数(b0)纯 虚 数(a0)非 纯 虚 数(a=0) 3复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。4
2、复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1z2=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；z1(a1a2+b1b2)+(a2b1-a1b2)i=22za+b222（4）除法：；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：n i(n为整数)的周期性运算； (1i)2 =2i；13 若=-2+2i，则3=1，1+2=0.5共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi，则=a-bi，z+为实数，z-为纯虚数(b0).2
3、z=|z|（2）复数z=a+bi的模|Z|=且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a=ca=0b=da+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0b=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数a+bi的共轭复数是abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=1结合到实际运算过程中去。22如(a+bi)(abi)= a+b6复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+
4、di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd+(bc-ad)i=c+di(c+di)(c-di)c2+d2.7复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m1)i中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， （1）m=1时，z
5、是实数； （2）m1时，z是虚数；m+1=0（3）当m-10时，即m=1时，z是纯虚数；m+10（4）当m-10时，即m1时，z对应的点Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.2x-1=y5解：根据复数相等的意义，得方程组1=-(3-y)，得x=2, y=4.2m2-3m-22例4当m为何实数时，复数zm-25+(m2+3m10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法m2+3m-10=02m-250， （1）z为实数，则虚部m2+3m10=0，即解得m=2， m=2时，z为实数。m2+3m-1002
6、m-250， （2）z为虚数，则虚部m2+3m100，即2m2-3m-2=02m+3m-1002m-250解得m2且m5. 当m2且m5时，z为虚数，11解得m=2, 当m=2时，z为纯虚数诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求例5计算：ii2i3+i2005.解：此题主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i000+ii.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合
7、理分组例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虚数不能比较大小，m210|m|102m-3m=0m=0或m=32m=3或m=1m-4m+3=0，解得， m=3.当m3时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。x+y2+ilog2x-8=(1-log2y)i，求z 例9已知z=xyi(x，yR)，且解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法2x+y-8=0x+y=3x+y2+ilogx-8=(1-logy)ilogx=1
8、-logy222 ，2，xy=2，x=2x=1y=1解得或y=2, z2i或z12i诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例10已知x为纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法 设xti (tR，且t0），则2x1iy(3y)i可化为2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，2t+1=-(3-y)55-1=y, y=1, t=2, x=2i.2复数的四则运算例1计算：(1+i)2n2(n-1)（1）(1-i)，nN+；13i6i6)+()2222
9、（2）若=+i，3=1，计算；（3；（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.(1+i)2n(1+i)2n2in2(1-i)=()(-2i)=(-1)n+12i2(n-1)2-2i解：（1）(1-i)=(1-i)2in=2k-1,kN+-2in=2k,kN+ =. （2）66666+(-i+(-i=iw6+(w2)6=2.=i=i（3）由于,222|ii|=|)|= =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i34i)+(5+6i78i)+(9
10、7+98i99100i)=25(22i)=5050i.4例2已知复数z满足|z2|=2，z+zR，求z.解：设z=x+yi, x, yR，则 44(x-yi)4x4y4=x+yi+2=x+(y-)i22222x+yx+yx+y， z+z=z+4y4y-2x+y2=0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4, z+zR，联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，x=1y=3, 当y0时, 综上所得 z1=4，z2=1+3i，z3=13i.1例3设z为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, bR，b0)，于是 11a-biab=
11、a+bi+2=(a+)+(b-)i22222za+bia+ba+ba+bz+=(a+bi)+,1b22所以b0, (z+z)Rba+b=0a2+b2=1|z|=1.z-1例4复数z满足(z+1)(+1)=|2，且z+1为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，则 1(z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0，z+=1，x=2.222z-1(z-1)(+1)=|z|+z-1x+y+x+yi-x+yi-12|z+1|2|z+1|z+1=(z+1)(+1)=为纯虚数，11333 x2+y21=0, y=2, z=2+2i或z=22i.例5复数z满足(1+2i)z+(310i)=4
12、34i，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，则(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i， 整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i.4x-12y=4x=48x+2y=34 , 解得y=1, z=4+i.1例6设z是虚数，=z+z是实数，且12，1-z（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1+z，求证u为 纯虚数；（3）求u2的最小值。解：（1）设z=a+bi (a, bR, b0)，则3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。ab(a+2)+(b-)i2
13、22a+ba+b，由于是实数且b0， a2+b2=1， =(4)直线与圆的位置关系的数量特征:13、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。即|z|=1，由=2a, 10，则u2223=1，1当a+1=a+1, 即a=0时，上式取等号，所以u2的最小值为1.(5)直角三角形的内切圆半径i+例7证明：i-z1解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.设zabi，(a, bR)，则 i+ i-（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。z=2(a+1)+1-3a+1, .-(i-z)i+-i+z=1i-zi-zi-z 解2： i+=+z=-i+z， =. i+a-bia+(1-b)i=1i-a-bi-a+(1-b)i