《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_120180.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_120180.wps（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11 变化的快慢与变化率 对应学生用书P34 平均变化率 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y() 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 问题 1：试比较时间 x从 0 min 到 20 min和从 20 min 到 30 min体温变化情况，哪段时间 体温变化较快？ 提示：从 20 min 到 30 min变化快 问题 2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率 问题 3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定可正，可负，可为零 平均变化率 (1)定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2
2、时，函数值从f(x1)变为f(x2)， fx2fx1 它的平均变化率为 . x2x1 其中自变量的变化 x2 x1称作自变量的改变量，记作 x，函数值的变化 f(x2) f(x1)称 作函数值的改变量，记作 y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变 y fx2fx1 量的改变量之比，即 . x x2x1 (2)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢. 瞬时变化率 王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速 70 km/h的路段超 速行驶王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长 60 km，我们用 了一个小时，您当时还问我这段路我们
3、的平均速度呢！” 问题 1：限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗？ 1 提示：不是，是指瞬时速度 问题 2：瞬时速度与平均速度有何区别？ 提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间 内运动的快慢 问题 3：王先生在该路段平均速度为 60 km/h，是否可能超速行驶？ 提示：有可能 瞬时变化率 (1)定义：对于一般的函数 yf(x)，在自变量 x从 x0变到 x1的过程中，设 xx1x0， y fx1fx0 fx0xfx0 yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是 . x x1x0 x 而当 x 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数
4、在 x0点的瞬时变化率 (2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢 y fx0xfx0 1. 为平均变化率，其中 x可正、可负，不能为零 x x 2瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值 对应学生用书P35 求平均变化率 1 例 1 求函数 yx3在 x0到 x0x之间的平均变化率，并计算当 x01，x 时平 2 均变化率的值 思路点拨 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应 平均变化率的值 精解详析 yf(x0x)f(x0) (x0x)3x30 3x20x3x0(x)2(x)3， 函数 yx3在 x0到 x0x之间的平均变化率为： y 3x20
5、3x0x(x)2. x 1 当 x01，x 时， 2 2 1 1 19 平均变化率的值为 31231 ( )2 . 2 2 4 一点通 求平均变化率的步骤是： (1)先计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0)； (2)再计算自变量的改变量 xx1x0； y fx1fx0 (3)求平均变化率 . x x1x0 1在平均变化率的定义中，自变量的增量 x满足( ) Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 答案：C 2一物体的运动方程是 s3t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为( ) A0.41 B3 C4 D4.1 s 32.12322 解析： 4.1. t 2.12 答案：D 3求函数 yf
6、(x)2x25 在区间2,2x内的平均变化率 解：yf(2x)f(2) 2(2x)25(2225) 8x2(x)2， y 82x. x 即平均变化率为82x. 求瞬时变化率 1 例 2 以初速度 v0(v00)竖直上抛的物体，t s 时的高度 s与 t的函数关系为 sv0t 2 gt2，求物体在时刻 t0处的瞬时速度 思路点拨 本题可先求物体在 t0到 t0t之间的平均速度，然后求当 t趋于 0 时的 瞬时速度 1 1 精 解 详 析 s v0(t0 t) g(t0 t)2 gt 20) (v 0 gt0)t 2 (v0t0 2 1 2 g(t)2， s 1 v0gt0 gt. t 2 3 s
7、 当 t 趋于 0 时， 趋于 v0gt0，故物体在时刻 t0处的瞬时速度为 v0gt0. t 一点通 求函数 yf(x)在 x0处的瞬时变化率，可以先求函数 yf(x)在 x0到 x0x 处的平均变 化率，再求当 x 趋于 0 时平均变化率的值，即为函数 yf(x)在 x0处的瞬时变化率 4一个物体的运动方程为 s1t，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是( ) A1 米/秒 B1 米/秒 C2 米/秒 D2 米/秒 s 13t13 t 解 析：由 1，得物体在 3 秒末的瞬时速度是 t t t 1 米/秒 答案：B 5求函数 f(x)x23 在 x1 处
8、的瞬时变化率 解：yf(1x)f(1)(1x)23(123)(x)22x22(x)2 2x， y x22x x2. x x y 当 x 趋于 0 时， 趋于 2. x 所以函数 yx23 在 x1 时的瞬时变化率为 2. 1平均变化率刻画的是函数值在区间x0，x0x上变化的快慢 2瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢 3x 趋于 0 时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率 十一对应课时跟踪训练十一 y 1在曲线 yx21 上取一点(1,2)及邻近一点(1x，2y)，则 ( ) x 1 1 Ax Bx 2 x2 x 1 Cx2 D2x x 解析：yf(1x)f(1)(1x)21(12
9、1)(x)22x， 4 y x2. x 答案：C 2某质点的运动规律为 st23，则在时间段(3,3t)内的平均速度等于( ) 9 A6t B6t t C3t D9t s s3ts3 解析： v t t 3t23323 6t. t 答案：A 3一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s 1 t2，则 t2 时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) 8 A2 B1 1 1 C. D. 2 4 1 1 1 1 s 1 1 解析：因为 s (2t)2 22 t(t)2，所以 t，当 t 趋于 0 8 8 2 8 t 2 8 1 1 1 1 时， t 趋于 ，
10、因此 t2 时，木块在水平方向瞬时速度为 . 2 8 2 2 答案：C 4水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺 序与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像相对应的一项是( ) A B C D 解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加 得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，符合上述变化情况而第三个容器在开始 时高度增加快，后来时高度增加慢，图像适合上述变化情况故应选 C. 答案：C 5函数 f(x)ln x1 从 e 到 e2的平均变化率为_ 5 解析：yf(e2)f(e)(ln e21)(ln e
11、1)1， xe2e， y 1 . x e2e 1 答案： e2e 1 6质点的运动方程是 s(t) ，则质点在 t2 时的速度为_ t2 1 1 s s2ts2 2t2 4 解析： t t t 4t s 1 ，当 t 趋于 0 时， . 42t2 t 4 1 答案： 4 7设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)的 函数关系为 h(t)5t26t10. (1)求该运动员从时间 t1 到时间 t3 的平均速度； (2)求该运动员在时间 t1 处的瞬时速度 解：(1)由 h(t)5t26t10，得该运动员从时间 t1 到时间 t3 的平均速度： h h3
12、h1 14. t 31 故该运动员从时间 t1 到时间 t3 的平均速度为14 m/s； h h1th1 (2) t t 51t261t10 5 126 110 t 5t24t t 5t4， h 当 t 趋于 0 时， 趋于4， t 即该运动员在时间 t1 处的瞬时速度为4 m/s. 8若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) sError! 求：(1)物体在 t3,5内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t1 时的瞬时速度 解：(1)物体在 t3,5内的时间变化量为 t532，物体在 t3,5内的位移 6 变化量为 s3522(3322)3(5232)48， s 48 物体在 t3,5上的平均速度为 24(m/s) t 2 (2)求物休的初速度 v0即求物体在 t0 的瞬时速度 .物体在 t0 附近的平均变化率为 s f0tf0 t t 2930t32293032 3t18， t s 当 t 趋于 0 时， 趋于18， t 即物体的初速度为18 m/s. (3)物体在 t1 时瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时变化率 物体在 t1 附近的平均变化率为 s f1tf1 t t 2931t32293132 3t12. t s 当 t 趋于 0 时， 趋于12， t 即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s. 7