《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1_12018060618.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1_12018060618.wps（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、33 计算导数 对应学生用书P39 1 对于函 数 y x22x. 2 问题 1：如何求 f(1)? f1xf1 提示： f(1) lim . x0 x 问题 2：如何求 f(x)? fxxfx 提示： f(x) lim . x0 x 问题 3：f(x)与 f(1)有什么关系？ 提示：f(1)可以认为把 x1 代入导函数 f(x)得到的值 1导函数 若一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x处都有导数，导数值记为 f(x)： f(x) lim x0 fxxfx x 则 f(x)是关于 x的函数，称 f ( x)为 f(x)的导函数，简称为导数 2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧
2、度) 函数 导函数 函数 导函数 yc (c是常数) y0 ysin x ycos_x yx( 为实数) yx1 ycos x y sin_x yax (a0，a1) yaxln_a， 特别地(ex)ex 1 ytan x y cos2 x yloga x (a0， a1) 1 y ， xln a 1 特别地(ln x) x ycot x y 1 sin2 x 1 1导数公式表中(ax)axln a与(logax) 较易混淆，要区分公式的结构特征， xln a 1 找出它们之间的差异去记忆 2f(x)与 f(x0)既有区别，又有联系，f(x)是导函数，f(x0)是当 xx0时导函 数 f(x)
3、的一个函数值，是一个确定的值 对应学生用书P39 利用导函数的定义求导数 例 1 一运动物体的位移 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数关系式为 s(t)t2 t.求 s(0)，s(2)，s(5)，并说明它们的意义 思路点拨 先求出 s(t)的导函数，然后分别把 t0,2,5 代入即可 精解详析 由题意 ss(tt)s(t)(tt)2(tt)(t2t)(t)2 2ttt. s t22ttt t2t1. t t 当 t趋于 0 时，可以得出导函数为 sttst s(t) lim lim (t2t1)2t1. t t0 t0 因此，s(0)2011，它表示物体的初速度为 1 m/s； s(
4、2)2215，它表示物体在第 2 s 时的瞬时速度为 5 m/s； s(5)25111，它表示物体在第 5 s 时的瞬时速度为 11 m/s. 一点通 利用定义求函数 yf(x)的导函数的一般步骤： (1)确定函数 yf(x)在其对应区间上每一点都有导数； (2)计算 yf(xx)f(x)； (3)当 x趋于 0 时，得到导函数 fxxfx f(x) lim . x0 x 1已知函数 f(x)x2x，则 f(x)( ) A1 B2 C2x D2x1 xx2xxx2x 解 析 ： f(x) lim x0 x lim x0 2 2xxx2x lim (2xx1)2x1. x x0 答案：D 2求函
5、数 f(x)2x24x的导数，并利用导函数 f(x)求 f(3)的值 解：f(x) lim x0 2xx24xx2x24x x lim x0 4xx2x24x x lim (4x2x4)4x4， x0 f(3)43416. 利用导数公式求导数 例 2 求下列函数的导数 (1)yx x；(2)ylog3x； sin x (3)y ；(4)y5x. x 2cos2 1 2 思路点拨 先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解 精解详析 (1)yx xx 3 2 ， y(x 3 3 2 ) x 2 1 3 2 . x 2 1 (2)y(log3x) . xln 3 sin x sin x (3
6、)y tan x， x cos x 2cos2 1 2 1 y(tan x) . cos2x (4)y(5x)5xln 5. 一点通 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给函数的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式如将根式、分式转化为指数式，利用幂 函数的求导公式求导 3 3若 f(x)3 x，则 f(1)( ) 1 A0 B 3 1 C3 D. 3 解析：f(x)(x 1 1 2 1 1 3 ) x ，f(1) . 3 3 3 x2 3 3 答案：D 4给出下列结论：
7、1 (cos x)sin x；(sin3)cos ；若 y ， 3 x2 1 1 1 则 yx；(x ) . 2x x 其中，正确的命题序号是_ 解析：因为(cos x)sin x，所以错误； 3 3 sin ，而 0，所以错误； 2 (2 ) 3 1 (x2 ) (x2)2x3，所以错误； ( 1 x ) (x 1 2 1 ) x 2 3 2 1 1 1 ， 2 x3 2x x 故正确 答案： 导数的应用 例 3 (1)若直线 l过点 A(0，1)且与曲线 yx3切于点 B，求 B点坐标 (2)若直线 l与曲线 yx3在第一象限相切于某点，切线的斜率为 3，求直线 l与坐标轴围 成的三角形面
8、积 思路点拨 (1)可设出切点为(x0，x30)，由导数的几何意义及斜率公式建立关于 x0的方 程求解(2)先求切线的方程，从而求出切线与 x，y轴的交点坐标，再求三角形的面积 精解详析 (1)y3x2，设 B(x0，x30)(x00)，则切线斜率 k3x20. x301 又直线 l过点(0，1)，k . x0 x301 3x20 ， x0 3 1 1 2x301，x0 ，x ， 30 2 2 3 1 1 B( . ，2) 2 4 (2)设切点为(x0，x30)(x00)，则该切线斜率为 3x20. 3x203，x01，则切点为(1,1) 直线 l 的方程为：y13(x1) 2 直线 l 与坐
9、标轴交点分别为(0，2)，( ，0 )， 3 直线 l 与坐标轴围成的三角形面积 1 2 2 S 3| . 2|2 3 一点通 利用导数公式可快速求出函数在某点处的导数，即为该点处切线的斜率在求切线的方程 时，要注意点(x0，y0)处的切线与过(x0，y0)的切线的区别：前者(x0，y0)为切点，后者(x0，y0) 不一定是切点 5设曲线 f(x)xn1(nN N)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 anlg xn，则 a1a2a99_. 解析：由于 f(1)n1，曲线在点(1,1)处的切线为 y1(n1)(x1)，令 y0， n n 1 2 99 1 得 xxn ，a
10、nlg ，原式lg lg lg 100lg( n1 n1 2 3 2 1 lg 2. 100 2 3 99 100) 答案：2 6求曲线 y x过点(3,2)的切线方程 解：点(3,2)不在曲线 y x上， 设过(3,2)与曲线 y x相切的直线与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则 y0 x0. 1 1 1 1 y x，y(x ) x 1 . 2 2 2 2 x 1 根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率 k . 2 x0 切线过点(3,2)， 2y0 1 2 x0 1 ， ， 3x0 3x0 2 x0 2 x0 整理得( x0)24 x030，解得 x01，x09， 切点坐标
11、为(1,1)或(9,3) 1 当切点坐标为(1,1)时，切线斜率 k ， 2 5 1 切线方程为 y2 (x3)，即 x2y10. 2 1 当切点坐标为(9,3)时，切线斜率 k ， 6 1 切线方程为 y2 (x3)，即 x6y90. 6 综上可知，曲线 y x过点(3,2)的切线方程为：x2y10 或 x6y90. 1熟记导数公式表，必要时先化简再求导 2计算 f(x0)时，可先求 f(x)，再将 xx0代入 3直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共点，切线的斜率是曲线对应的函数在切 点处的导数 十三对应课时跟踪训练十三 1若 f(x)log3x，则 f(3)等于( ) 1 A. Bln
12、 3 3 1 1 C. D. 3ln 3 ln 3 1 1 解析：f(x) ，f(3) . xln 3 3ln 3 答案：C 2曲线 f(x)ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A1 B2 1 Ce D. e 解析：f(x)ex，f(x)ex， f(0)1. 即曲线 f(x)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为 1. 答案：A 1 3 1 3给出下列结论：若 y ，则 y ；若 y3 x，则 y 3 x；若 f(x)sin x3 x4 3 ，则 f(x)cos ；若 f(x)3x，则 f(1)3.其中，正确的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 1 解析：对于y3
13、 x，y x 3 1 3 1 1 x 3 2 3 1 ，故错；对于f(x)sin ，为常数 33 x2 函数，f(x)0，故错；都正确 答案：B 4已知 f(x)logax(a1)的导函数是 f(x)，记 Af(2)，Bf(3)f(2)，C f(3)，则( ) AABC BACB CBAC DCBA f3f2 解 析： 记 M(2，f(2)，N(3，f(3)，则由于 Bf(3)f(2) 表示直线 MN 32 的斜率，Af(2)表示函数 f(x)loga x 在点 M 处的切线的斜率，Cf(3)表示函数 f(x) loga x 在点 N 处的切线的斜率由 f(x)的图像易得 ABC. 答案：A
14、1 5设直线 y xb 是曲线 f(x)ln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为_ 2 1 1 1 解 析：f(x)(ln x) ，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得 ，则 x02，y0ln x x0 2 1 2，代入切线方程 y xb，得 bln 21. 2 答案：ln 21 6f(x)cot x，则 f(4 )_. 1 1 解析：f(x)sin2x，f(4 ) 2. sin 2 4 答案：2 7求下列函数的导数 (1)y2；(2)y4 x3；(3)y10x；(4)ylog x； 1 2 x (5)y2cos2 1. 2 解：(1)c0，y20. (2)(xn)nxn1， y(4 x
15、3)(x 3 3 4 ) x 4 3 4 1 3 x 4 1 4 3 . 44 x (3)(ax)axln a，y(10x)10xln 10. 1 (4)(logax) ， xln a 7 y(log 1 2 1 1 x) . 1 xln 2 xln 2 x (5)y2cos2 1cos x，y(cos x)sin x. 2 8若曲线 f(x)x 1 2 在点(a，a 1 2 )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18， 求 a 的值 解：对函数 f(x)x 1 2 1 求导得 f(x) x 2 3 2 (x0)，则曲线 f(x)x 1 2 在点(a，a 1 2 )处 1 的切线 l 的斜率 kf(a) a 2 3 2 ，由点斜式得切线的方程为 ya 1 2 1 a 2 3 2 (xa)， 3 易求得直线 l 与 x 轴，y 轴的截距分别为 3a， a 2 1 3 1 9 1 面积 S 3a a a 18，解得 a64. 2 2 2 4 2 1 2 ，所以直线 l 与两个坐标轴围成的三角形 8