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1、L9-晶格振动剖析,3.2 一维双原子链的振动,一、运动方程及其解,(设M m),考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链,只考虑近邻原子间的弹性相互作用,L9-晶格振动剖析,久期方程：,L9-晶格振动剖析,简约区：,对于不在简约区中的波数q ，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：,为倒格矢,两个色散关系即有两支格波：（：光学波； ：声学波）,L9-晶格振动剖析,二、声学波和光学波的物理图象,第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比,R:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比: 两原子的振动位相差,L9-晶格振动剖析,1. 声学波（acoustic branch）,即：,在、象
2、限，属于同位相型,L9-晶格振动剖析,物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。,L9-晶格振动剖析,q0时,当q0时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同。,L9-晶格振动剖析,这与连续介质的弹性波 vq 一致。,当q0时,在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。,L9-晶格振动剖析,2. 光学波（optical branch）,L9-晶格振动剖析,在、象限之间，属于反位相型。,物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基
3、本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。,L9-晶格振动剖析,当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反。,离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。,L9-晶格振动剖析,对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。,光波： c0q， c0为光速,对于实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收。,L9-晶格振动剖析,光学波原子振动模型,声学波原子振动模型,L9-晶格振动剖析,带隙,L9-晶格振动剖析
4、,三、周期性边界条件,周期性边界条件：,h =整数， N：晶体链的原胞数,q的分布密度：,推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系 式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。 晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数。,L9-晶格振动剖析,3.5 三维晶格振动,一、三维简单晶格的振动,第个原子的位矢:,L9-晶格振动剖析,回顾-简谐近似,忽略高阶项，保留至二阶项,上式称为简谐近似。,L9-晶格振动剖析,在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U00）：,(l)和(l) 是第l和第l个原子分别沿和方向的位移。,力常数,L9-晶格振动剖析,第l个原子的运动方程：,这里考虑了晶体
5、中所有原子的相互作用。,由晶格的周期性，得,L9-晶格振动剖析,设格波解：,其中,L9-晶格振动剖析,久期方程,可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。,推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波。,L9-晶格振动剖析,二、布里渊区,上式对于任意时刻t和任意的格矢 都成立，有：,对于第j支格波，设有两个波矢 和 所描述的晶格振动状态完全相同，有,L9-晶格振动剖析,由于,为倒格矢，h为整数,有 ，（由于
6、为任意格矢）,即：,在 空间中， 是以倒格矢 为周期的周期函数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中,L9-晶格振动剖析,将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：, 布里渊区边界面方程,L9-晶格振动剖析,布里渊区的几何作图法：,根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；,布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。,由近到远作各倒格矢的垂直平分面；,在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。,简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞。,L9-晶格振动剖析,可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。,L9-晶格振动剖析,L9-晶格振动剖析,L9-晶格振动剖析,体心立方晶格的倒格子与简约区,L9-晶格振动剖析,面心立方晶格的倒格子与简约区,L9-晶格振动剖析,三、周期性边界条件,设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3,周期性边界条件：,L9-晶格振动剖析,令,h1 , h2 , h3整数,L9-晶格振动剖析,在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：,VNva晶体体积,在 空间中，波矢 的分布密度：,简约区中波矢 的取值总数 晶体的原胞数,