《2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案苏教版选修5201806.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案苏教版选修5201806.wps（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.33.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 第一课时 二元一次不等式(组)表示的平面区域 预习课本 P8186，思考并完成以下问题 (1)如何确定二元一次不等式所确定的平面区域？ (2)如何画出二元一次不等式组所表示的平面区域？ (3)如何用不等式组表示平面区域？ 新知初探 1一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某 一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标 系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画 成实线 点睛 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线
2、定界，特殊点定域”的 方法 2由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxBy C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0 By0C 的符号即可判断 AxByC0 表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面 区域 小试身手 1不等式 2xy60 表示的平面区域在直线 2xy60 的_ 解析：作直线 2xy60，将原点(0,0)代入检验 答案：右下方 2ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,4)，B(2,0)，C(2,0)，则ABC 内任意一点(x，y) 所满足的条件为_ 1 解析： 将点(0,0)代入直线
3、AB：2xy40，得 40，代入直线 AC2：xy40，得40(2)的距离为 a2.易知 直 线 xa 与 xy0x，y40 的交点坐标分别是(a，a)，(a,4 a) 1 结合图形及题意知(4a)a(a2)9，即(a2)29.又易 2 a2，因此 a1. 知 答案：1 题点三：确定区域内整点的个数 3由满足上题中的 a 所确定的区域内的整点有_个 解析：满足上题中的 a 所确定的平面区域如图中的ABC 的内部(包括边界)ABC 三个 顶点为 A(2,2)，B(1,5)，C(1，1) 则在直线 x1 上的整点有 7 个 在直线 x0 上的整点有 5 个， 在直线 x1 上的整点有 3 个， 4
4、 在直线 x2 上的整点有 1 个， 故共有 753116 个 答案：16 (1)求区域面积的 2 个注意点 求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的区域，然后根据区域的形状求面积 求面积时，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标，这样易求底与高，必要时分割区 域为特殊图形 (2)求区域内整点个数的方法 画出满足不等式组的区域 作出直线 xn(nZ)，观察 xn 上有满足不等式组的区域内的多少个整点 求出所有整点的和 层级一 学业水平达标 1若点 P(a,3)在 y0表示的平面区域内的有 _ 解析：把各点坐标逐一代入不等式检验知 B，D 点符合不等式 答案：B，D 3图中阴影部分表示的区域满足不
5、等式_ 解析：把原点(0,0)代入检测可知，阴影部分表示的区域满足不等式 2x2y10. 答案：2x2y10 4若直线 y2x 上存在点(x，y)满足不等式组Error!则实数 m 的最大值为_ 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示所以，若直线y2x上存在点(x，y) 5 满足不等式组，则 3m2m，即 m1.故实数 m 的最大值为 1. 答案：1 5由直线 xy20，x2y10 和 2xy10 围成的三角形区域(包括边界)用不 等式组表示为_ 解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示 取原点(0,0)，将 x0，y0 代入 xy2 得 20，代入 x2y1 得 10；代
6、入 2xy1 得 10. 结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为Error! 答案：Error! 6设关于 x，y 的不等式组Error!表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x02y02，则 m 的取值范围是_ 解析： 不等 式组Error!表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(xy0，0)满 足 x02y02必， 须使 点 A 位于直线 x2y20 的右下侧，即 m2( 2 m)20，m . 3 2 答案：( ，) 3 7在平面区域(x，y)|x|2，|y|2上恒有 ax3by4，则动点 P(a，b)所形成平面 区域的面积为_ 解析：由条件可知，已知区域是
7、以(2，2)，(2,2)，(2,2)，(2，2)为顶点的正方 形内部及边界， 1 2 8 从而Error!动点 P(a，b)所形成平面区域是一个菱形，所求面积为 S4 2 . 2 3 3 8 答案： 3 8设不等式组Error!表示的平面区域为 M，若函数 yk(x1)1 的图象经过区域 M，则实 数 k 的取值范围是_ 解析：作出平面区域，如图所示因为函数的图象是过点 P( 6 1 1,1)，且斜率为 k 的直线 l，由图知，当直线 l 过点 A(1,2)时 ，k 取最大值 ；当直线 l 过点 B(3,0) 2 1 1 1 4 时，k 取最小值 ，故 k ， . 4 2 1 1 答案： ，2
8、 4 9画出下列不等式(组)表示的平面区域 (1)2xy60； (2)Error! 解：(1)如图，先画出直线 2xy60， 取原点 O(0,0)代入 2xy6 中， 2010660， 与点O在直线2xy60 同一侧的所有点y()x都，满 足2xy6 0，因此2xy60 表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分 所示) (2)不等式 xy5 表示直线 xy50 及左下方的区 域 不等式 x2y3 表示直线 x2y30 右下方的区域 不等式 x2y0 表示直线 x2y0 及右上方的区域 所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 10已知不等式组Error!表示的平面区域为 ，求当 a 从
9、2 连续变化到 1 时，动直线 xy a0扫过 中的那部分区域的面积 解：如图所示， 为BOE 所表示的区域，而动直线 xya 扫过 中的那部分区域为四 1 3 边形 BOCD，而 B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D( ，E(0,2)，CDE 为直角三角形 ，2) 2 1 1 1 7 S 四边形 BOCD 22 1 . 2 2 2 4 7 层级二 应试能力达标 1直线 x2y10 上方的区域可用不等式_表示 解析：作图知，原点(0,0)在直线下方，所以直线上方区域不包括原点(0,0)，把(0,0)代 入得 00110 表示 答案：x2y10 2若 mxny60(mn0)所表示的区域不
10、含第三象限的点，则点(m，n)在第_象 限 解析：由题意知，直线 mxny60 在两轴上的截距均大于 0，m0，n0，点(m，n) 在第一象限 答案：一 3若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_ 解析：如图，当直线 ya 位于直线 y5 和 y7 之间(不含 y7)时满足条件，故 5a1， 1 SABC2， (1a)12，a3. 2 答案：3 4 5若不等式组Error!所表示的平面区域被直线 ykx 分为面积相等的两部分，则 k 的值 3 是_ 解析：由图可知，不等式组所表示的平面区域为ABC 边界 及 4 4 4 内部，ykx 恰过 C 3 )，ykx 将
11、区域平均分成面积相等 3 (0， 3 1 5 5 1 4 7 两部分，故过 AB 的中点 D( ，所以 k ，k . ，2 ) 2 2 2 3 3 7 答案： 的 3 8 6不等式组Error!表示的平面区域内的整点坐标为_ 解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，区域图形为直角三角 形 (不包括 x 轴和 y 轴)，x 的整数值只有 1,2. 8 当 x1 时，代入 4x3y12，得 y ，整点坐标为(1,2)，(1,1) 3 4 当 x2 时，代入 4x3y12，得 y ， 3 整点坐标为(2,1) 综上所述，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1) 答案：(1,1)，(
12、1,2)和(2,1) 7已知点 P(1，2)及其关于原点对称点均在不等式 2xby10表示的平面区域内， 求 b 的取值范围 解：点 P(1，2)关于原点对称点 P(1,2) 1 3 由题意知Error!解得 1. 答案：(1， ) 4若变量 x，y 满足约束条件Error!则 zx2y 的最大值为_ 解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数 zx2y 经过 xy0 与 xy 20 的交点 A(1，1)时，取到最大值 3. 答案：3 5 如图所示，点(x，y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么 2xy 的 最 小值为_ 解析：由图知，目标函数在点 A(1,1)时，2xy1； 在
13、点 B( 3， 2)时，2xy2 3 21； 在点 C( 5，1)时，2xy2 511； 在点 D(1,0)时，2xy2021，故最小值为 1. 答案：1 6已知实数 x，y 满足Error!若 zyax 取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则 a 的 值为_ 解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如 图 所 示要使 zyax 取得最大值时的最优解y()x有，无 数则 个直 ，线 zyax 必 平 行于直线 yx10，于是有 a1. 答案：1 7如果实数x，y满足条件Error!那么z4x2y的最大值为_ 解可：析行域为如图所示的阴影部分，A，B，C 三点的坐标分别为( 1
14、,0)，(2，1)，(0，1)直， 线 y2xt 过点 B(2，1)时，t 取得最大 值 3，故 z4x2y22xy 的最大值为 8. 答案：8 8设变量 x，y 满足约束条件Error!且不等式 x2y14 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然 a8，否则可行域无意义由图 可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614 得，a10. 答案：8,10 16 14 3 9直线 l：xmyn(n0)过点 A(4,4 3)，若可行域Error!的外接圆直径为 .求实数 n 3 的值 解：作出可行域如图所示，过原点的直线 OA 的倾斜角
15、为 60，由 直线 l：xmyn(n0)过点 A(4，4 3)，可得 44 3mn.又由Error!可解得两直线的交点坐 标即为 A(4,4 3)， 又点 B 坐标为(n,0)， AB 14 3 ， sin 60 3 AB7， (4n)2(4 3)249， n3 或 5. 10已知 x，y 满足条件：Error!求： (1)4x3y 的最大值和最小值； (2)x2y2的最大值和最小值 解：(1)作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示 其中 A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)， 设 z4x3y.直线 4x3y0 经过原点(0,0) 作一组与 4x3y0 平行的直线 l：4x3yt.
16、则当 l 过 C 点时，t 值最小；当 l 过 B 点时，t 值最 大 z 最大值4(1)3(6)14， z 最小值4(3)3218. 故 4x3y 的最大值为 14，最小值为18. (2)设 ux2y2，则 u为点(x，y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域，不 难知道：点 B 到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为 0. u 最大值(1)2(6)237，u 最小值0， x2y2的最大值为 37，最小值为 0. 层级二 应试能力达标 1设 D 为不等式组Error!所表示的平面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小 值为_ 解析：作出可行域，如图中阴影部分所
17、示，则根据图形可知，点 17 |2 10| 2 5 2 5 B(1，0)到直线 2xy0 的距离最小，d 0，a1)的图象过 区域 M 的 a 的取值范围是_ 解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得 A(1,9)，C(3,8)当 yax 过 A(1,9)时，a 取最大值，此时 a9； 当 yax 过 C(3,8)时，a 取最小值，此时 a2， 2a9. 答案：2,9 5设变量 x，y 满足约束条件Error!则满足函数 y2xt 的 t 最大值为_ 解析：由约束条件作出可行域如图所示，可知(x，y)是由点 A(1,0)，B(2,1)，C(2，1) 三点组成的三角形区域，令 t2xy
18、，即当经过 C(2，1)时，t 有 最 大值 5. 答案：5 18 6若变量 x，y 满足约束条件Error!且 z5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 loga(b) _. x z 解析：由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分由 z5yx，得 y . 5 5 x z 由图知目标函数 y ，过点 A(8,0)时，zmin5yx5088，即 b8. 5 5 x z 目标函数 y 过点 B(4,4)时，zmax5yx54416，即 a16.所以 loga(b) 5 5 3 log168 . 4 3 答案： 4 7某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三 种 玩 具共 100 个，生产
19、一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知 总生产时间不超过 10 小时若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生 产一个伞兵可获利润 3 元 (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100xy， 所以利润 5x6y3(100xy)2x3y300. (2)约束条件为 Error! 整理得Error! 目标函数为 2x3y300， 作出可行域，如图所示， 作初始直线 l0：2x3y0，平移 l0，当 l0
20、经过点 A 时， 有 最 大值， 由Error!得Error! 最优解为 A(50,50)，此时 max550元 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元 8已知 x，y 满足约束条件Error! (1)求目标函数 z2xy 的最大值和最小值； (2)若目标函数 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，求 a 的值； 19 y5 (3)求 z 的取值范围 x5 解：作可行域如图所示 (1)作直线 l：2xy0，并平移此直线，当平移直线过可行 域 内的 A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的 B 点时，z 取 得 最大值 5 由Error!
21、得 A( 3 ). 1， 由Error!得 B(5,3) 5 11 zmax25313，zmin21 . 3 3 (2)一般情况下，当 z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界 直线，即直线 zaxy 平行于直线 3x5y30 时，线段 BC 上的任意一点均使 z 取得最大值，此 时满足条件的点即最优解有无数个 3 3 3 又 kBC ，a .a . 5 5 5 y5 y 5 (3)z ，可看作区域内的点(x，y)与点 D(5，5)连线的斜率， x5 x 5 27 由图可知，kBDzkCD.由Error!得 C(1， . 5 ) 27 5 3 5 4 5 26 kBD ，kCD ， 5 5 5 1 5 15 y5 4 26 x5 15 5 z 的取值范围是 ， . 20