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1、课时跟踪检测（十一） 等比数列的性质 层级一 学业水平达标 1等比数列an中，a44，则 a1a7_. 解析：由等比数列的性质可得：a1a7a2416. 答案：16 2已知 x，y，zR，若1，x，y，z，3 成等比数列，则 xyz_. 解析：由等比中项知 y23，y 3，又y 与1，3 符号相同，y 3，y2 xz，所以 xyzy33 3. 答案：3 3 3已知等比数列an的公比为正数，且 a3a92a25，a21，则 a1_. 解析：因为 a3a92a25a 26所以 q22， 因为各项为正数，所以 q 2， 2 由 a21，所以 a1 . 2 答案： 2 2 4已知等比数列an满足an0
2、，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则log2a1log2a3 log2a2n1_. 解析：a5a2n5a2n22n，且 an0，an2n， a2n122n1，log2a2n12n1， log2a1log2a3log2a2n1 n12n1 1 35(2n1) n2. 2 答案：n2 15 9 1 1 1 1 5 在 等 比 数 列 an中 ， 若 a7 a8 a9 a10 ， a8a9 ， 则 8 8 a7 a8 a9 a10 _. 15 9 1 1 1 1 解 析 ： a7 a8 a9 a10 ， a8a9 a7a10 ， 8 8 a7 a8 a9 a10 a8a9a10a7a9a10
3、a7a8a10a7a8a9 a7a8a9a10 15 a8a9a10a9a8a7 a7a8a9a10 8 5 . a7a8a9a10 a7a10 9 3 8 5 答案： 3 1 1 a8a9 6已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2成等差数列，则 _. 2 a6a7 解析：由条件知 a3a12a2，a1q2a12a1q， a10，q22q10.q0，q1 2， a8a9 q232 2. a6a7 答案：32 2 7等比数列an中 a12，公比 q2，记 na1a2an(即 n 表示数列an的 前 n 项之积)，8，9，10，11中值最大的是_ 解析：由 a12，q2， nn
4、1 n a1a2an(a1)nq . 2 828(2)28236；929(2)36245； 10210(2)45255；11211(2)55266； 所以 8，9，10，11中值最大的是 9. 答案：9 8在正项等比数列an中，已知 a1a2a34，a4a5a612，an 1anan 1324，则 n _. 解析：设数列an的公比为 q，由 a1a2a34a31q3与 a4a5a612a31q12可得 q93，an1anan 1a 31q3n3324，因此 q3n68134q36，所以 n14. 答案：14 32 9等比数列an满足：a1a611，a3a4 ，且公比 q(0,1)求数列an的通
5、项 9 公式 32 解：因为 a3a4a1a6 ，又 a1a611， 9 32 故 a1，a6可看作方程 x211x 0 的两根， 9 32 1 又 q(0,1)，所以 a1 ，a6 ， 3 3 a6 1 1 所以 q5 ，所以 q ， a1 32 2 32 1 1 1 所以 an 3(2 )n1 n6. 3 (2 ) 10在等比数列an中，已知 a1a26，a3a43，求 a5a6a7a8. 解：因为an为等比数列 所以 a3a4是 a1a2与 a5a6的等比中项， 所以(a3a4)2(a1a2)(a5a6)， 2 a3a42 32 3 所以 a5a6 ， a1a2 6 2 同理，a5a6是
6、 a3a4与 a7a8的等比中项， 所以(a5a6)2(a3a4)(a7a8)， a5a62 3 故 a7a8 ， a3a4 4 3 3 9 所以 a5a6a7a8 . 2 4 4 层级二 应试能力达标 1若 a，b，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为_ 解析：由已知得Error! b2 2ba .即 a2b22ab. a b (a b)20.ab0.q 1. a 答案：1 2设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和若 S1，S2，S4成等比数 列，则 a1的值为_ 解析：由已知得 S1S4S ， 2 1 即 a1(4a16)(2a11)2，解得 a1 . 2
7、1 答案： 2 3.如图，在等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC2 2.过点 A 作 BC 的 垂线垂，足为 A1过； 点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线， 垂 足为 A3 ；依，此 类推 设 BAa1 ，AA1a2 ,A1A2a3 ， A5A6 a7 ，则 a7_. 解析：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2，所以 ABACa12，AA1a2 2，An 2 2 2 1 1Anan1sin an 2an2(2 )n，故 a72(2 )6 . 4 4 1 答案： 4 4已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10_. 解析：a4a72
8、，由等比数列的性质可得， a5a6a4a78， a44，a72 或 a42，a74， 1 当 a44，a72 时，q3 ， 2 3 则 a18，a101， a1a107， 当 a42，a74 时，q32， 则 a108，a11， a1a107， 综上可得，a1a107. 答案：7 5在等比数列an中，已知 a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则 a10_. 解析：由 a4a7512，得 a3a8512. 由Error! 解得Error!或Error!(舍去) 5 a 8 所以 q 2. a3 所以 a10a3q74(2)7512. 答案：512 a c 6已知 a，b，c 成等比数列
9、，如果 a，x，b 和 b，y，c 都成等差数列，则 _. x y 解析：设公比为 q，则 baq，caq2， 1 1 x (ab) a(1q)， 2 2 1 1 y (bc) aq(1q)， 2 2 a c aycx 所以 x y xy 1 1 a2q1q a2q21q 2 2 2. 1 a2q1q2 4 答案：2 7已知数列an为等差数列且公差 d0，an的部分项组成下列数列：ak1，ak2，akn 恰为等比数列，其中 k11，k25，k317，求 kn. 解：由题设有 a2k2ak1ak3，即 a25a1a17， (a14d)2a1(a116d)， a12d 或 d0(舍去)，a5a14d6d， ak2 a5 等比数列的公比 q 3. ak1 a1 由于 akn 是等差数列的第 kn 项，又是等比数列的第 n 项， 4 故 akna1(kn1)dak1qn1，kn23n11. 8在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a736，a2a42a2a6a4a6100，求数列an 的通项公式 解：a1a5a23，a3a7a25， 由题意，得 a232a3a5a2536， 同理得 a232a3a5a25100， Error!即Error! 解得Error!或Error! 分别解得Error!或Error! an2n2或 an26n. 5