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1、高 考 立 体 几 何常考与方法： 1求异面直线所成的角：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。3求二面角的
2、平面角解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。常考点一：三视图 1.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 常考点二： 体积、表面积、距离、角A1CBAB1C1D1DO1. 如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_. 2如上图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为_.3.已知是球表面上的点，
3、则球表面积等于_.常考点三： 平行与垂直的证明1. 正方体，E为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；（）求三棱锥的体积常考点四： 异面直线所成的角，线面角，二面角1.如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；常考点五： 线面、面面关系判断题1已知直线l、m、平面、，且l，m，给出下列四个命题：（1），则lm（2）若lm，则（3）若，则lm（4）若lm，则其中正确的是_.高考题1. (2011年高考山东卷理科19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.
4、（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小2.(2011年高考浙江卷理科20)如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz则，由此可得，所以，即（II）解：设设平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。方法二：（I）证明：由AB=AC，D是
5、BC的中点，得又平面ABC，得因为，所以平面PAD，故（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又从而PM，所以AM=PA-PM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。3.(2011年高考辽宁卷理科18)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.18解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（
6、0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为 12分 4.(2011年高考安徽卷理科17)如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形.（）证明直线；（II）求棱锥F-OBED的体积。（）（综合法）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，所以OB,OB=,OG=OD=2同理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG=OD=2，又由于G和G都在线段D
7、A的延长线上，所以G与G重合。在GED和GFD中，由OB,OB=和OC, OC=,可知B,C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.（向量法）过点F作FQAD,交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED,以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。由条件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），C（0，-，）。则有，。所以，即得BCEF.（）解：由OB=1，OE=2，EOB=60，知SEOB=,而OED是边长为2的正三角形，故SOED=,所以SOBED=SEOB+SOED=。过点F作FQAD，交AD于点
8、Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，所以VF-OBED=FQSOBED=。5. (2011年高考全国新课标卷理科18) 四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。(18)解：（）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
9、 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 6.(2011年高考天津卷理科17)如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 （I）解：易得， 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 （II）解
10、：易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为 （III）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，过点A作于点R，连接B1R，于是，故为二面角AA1C1B
11、1的平面角.在中，连接AB1，在中，从而所以二面角AA1C1B1的正弦值为（III）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.在中，所以可得连接BM，在中，7(2011年高考湖南卷理科19)如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解：（I）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（II）在平面中，过作于，由（I）知，,
12、所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值为。8. (2011年高考广东卷理科18)在椎体中，是边长为1的棱形，且,分别是的中点，（1） 证明： （2）求二面角的余弦值。18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，由题意知ABC是等边三角形，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.9. (2011年高考湖北卷理科18)如图，已知，本棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.() 当CF=1时，求证：EFA1E. ()设二面角
13、C-AF-E的大小为，求的最小值.解法1：过E作于N，连结EF。 （I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知， 底面ABC侧面A1C。 又度面侧面A，C=AC，且底面ABC， 所以侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在中，=1，则由，得NF/AC1，又故。由三垂线定理知（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。由（I）知侧面A1C，根据三垂线定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，设在中，在故又故当时，达到最小值；，此时F与C1重合。解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得于是则故（II）设，平面AEF的一个法向量为，则由（I）得F（0，4，），于是由可得
14、取 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为， 于是由为锐角可得， 所以， 由，得，即 故当，即点F与点C1重合时，取得最小值10.(2011年高考陕西卷理科16)如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。解（）折起前是边上的高，当折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC.（）由及（）知DA，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以，所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），与夹角的余弦值为，=.11.(2011年高考重庆卷理科19)在四面体中，平面 , ,=
15、,=（）若=2，=2，求四面体的体积。（）若二面角-为，求异面直线与所成角的余弦值。 12(2011年高考四川卷理科19) 如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.()求点C到平面B1DP的距离解析：（1）连接交于,又为的中点，中点，,D为的中点。（2）由题意,过B 作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则(3)因为，所以,在中，13.(2011年高考全国卷理科19)四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证
16、明：;（)求与平面所成角的大小.（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证又，因此，.（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可计算平面SBC的一个法向量是.所以AB与平面SBC所成角为.14.(2011年高考江苏16)如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距
17、,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）cos第二章 二次函数15(2011年高考北京卷理科16)在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；、（）当平面与平面垂直时，求的长.八、教学进度表16(2011年高考福建卷理科20)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD七、学困生辅导和转化措施中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。33.123.18加与减（一）3 P13-17定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。17(2011年高考上海卷理科21)已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为.求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。