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1、离心率专题离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常圆锥曲线离心率的问题，通常 有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于 中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）一般来说，求椭圆（或双曲线） 的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量 a，b，c，e 的一个方程，就可以从中求出的一个方程，就可以从中求出 离心率离心率但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多
2、学生认为用 一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题， 用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例 1】 122 12 (05, 22 1 A. B. C. 22 D. 2 1 22 FFFP FPF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） 解法一解法一（大多数学生的解法） 解：由于为等腰直角三角形，故有 12 FPF ，而， 122 FFPF 12 2FFc 2 2 b PF a 所以，整理得 2 2 b c a 222 2acbac 等式两边同时除以，得，即， 2 a 2 21ee
3、 2 210ee 解得，舍去 28 12 2 e 12e 因此，选 D12e 解法二解法二（采用离心率的定义定义以及椭圆的定义定义求解） 解：如右图所示，有 12 22 2| 21 21 2 2221 ccc e aaPFPF c cc 离心率的定义椭圆的定义 故选 D 评评 以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二 级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没 有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义” ，通过几个简单的步骤即 可。正所谓此时无法胜有法！ 一、用定义求离心率问题 1. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、
4、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D （A） （B） （C） （D） 2 2 21 2 2221 2已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点， 若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A A 3 3 B 3 2 C 2 2 D 2 3 3.在中，若以为焦点的椭圆经过点，ABCABBC 7 cos 18 B AB，C 则该椭圆的离心率 e 3 8 4、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 _； 解析：设 c=1，则12 12 1 212
5、2 22 2 a c eaaca a b 5、已知长方形 ABCD，AB4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离 心率为 。 解析：由已知 C=2， 2 1 4 2 , 43433 22 2 a c eaaaab a b 6过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为右焦点， 若 12 60FPF ，则椭圆的离心率为 B A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 7.已知 F1、F2是双曲线的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x MF1F2，若边 MF1的中
6、点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）D ABCD32413 2 13 13 8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾 22 22 1 xy ab 0a 0b 12 FF， 1 F 斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心30M 2 MFx 率为（ ）B ABCD632 3 3 9、设 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使 22 22 1 xy ab F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A) (B)(C) (D) 5 2 10 2 15 2 5 解设 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使 22 22
7、 1 xy ab F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 12 2| 2aAFAF ， 离心率，选 B。 22 12 2|10cAFAF 10 2 e 10、如图，和分别是双曲线的两个 1 F 2 F 22 22 1(0,0) xy ab ab 焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线ABO 1 FO 左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心ABF2 率为 （A）（B）（C）（D）35 2 5 31 解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以 1 F 2 F 22 22 1(0,0) xy ab ab AB 为圆心，以为半径的圆与该
8、双曲线左支的两个交点，O 1 FO 且是等边三角形，连接 AF1，AF2F1=30，ABF2 |AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为32( 31)ac ，选 D。31 11.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满 1122 :PFFFPF=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于 A A. 13 22 或 B. 2 3 或 2 C. 1 2 或2 D. 23 32 或 二、列方程求离心率问题 1方程的两个根可分别作为（ ） 2 2520xx 一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率 一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率 解：解：方程的两个根分别为
9、 2，故选 A 2 2520xx 1 2 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） ABCD 1 3 3 3 1 2 3 2 解已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率，选 D。2ab 3 2 c e a 3、设直线L过双曲线 C 的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与 C 交于A ,B两点， AB为C的实轴长的 2 倍，则C的离心率为 B （A）2 （B）3 （C）2 （D）3 4.在平面直角坐标系中，椭圆在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为的焦距为 2c，以，以 O 为圆心，为圆心，a 为半为半 x2 a2 y2 b2 径的圆，过点径的圆，过点
10、(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= a2 c 2 2 e 5已知双曲线的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 4 3 为 （A） (B) (C) (D) 5 3 4 3 5 4 3 2 解析解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得,故选 A 22 4345 , 333 bc e aa 可得 6、在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为xOyy ，则它的离心率为（ ）20xy A B C D5 5 2 32 解析：由 ， 选 Aab b a 2 2 1 得abac5
11、22 5 a c e 7已知双曲线(a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 22 2 1 2 xy a 2 3 A.2 B. C. D. 3 2 6 3 2 3 3 解：解：双曲线(a)的两条渐近线的夹角为 ，则， a2=6， 22 2 1 2 xy a 2 3 23 tan 63a 双曲线的离心率为 ，选 D 2 3 3 8.已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率 22 22 1 xy ab e=,则双曲线方程为（ ）C5k （A）=1 (B) (C)(D) 2 2 x a 2 2 4 y a 22 22 1 5 xy aa 22 22 1 4 xy bb 22
12、 22 1 5 xy bb 9 设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离 22 22 1 xy ab 心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 356 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 00 (,)P xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa 的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一 解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为，虚轴
13、的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐FBFB 近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D）23 31 2 51 2 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，x 22 22 1(0,0) xy ab ab 则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，( ,0), (0, )F cBb b a FB b c ，()1 bb ac 2 bac 222 ,10caaceee 51 2 11如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四个顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于
14、点 T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭 圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线 12 AB的方程为：1 xy ab ； 直线 1 B F的方程为：1 xy cb 。二者联立解得： 2() (,) acb ac T acac ， 则 () (,) 2() acb ac M acac 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上， 22 222 22 () 1,1030,1030 ()4() cac cacaee acac ， 解得：2 75e 12 已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为
15、 k（k0） 22 22 1 xy ab 3 2 的直线于 C 相交于 A、B 两点，若。则 k =3AFFB （A）1 （B） （C） （D）223 【 【解析解析】 】B： ：， ， ， ， ， ， ， ，设设 1122 ( ,), (,)A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e ， ， ， ，直，直线线 AB 方程方程为为。代入消去。代入消去， ， 2 ,3at ct bt 222 440xyt3xsyt x ， ， ， ， 222 (4)2 30systyt 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ，解得，解得， ， 2 2 22 22 2 3
16、2, 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 13 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，FCBBFCD 且，则的离心率为 BF2FD uu ruur C 答案： 2 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、 第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方 程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形 助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，, 22 |BFbca 作轴于点 D1,则由，得 1 DDyBF2FD uu ruur ,所以, 1 |2 |3 OFBF DDBD 1 33 | 22 DDOFc 即,由椭圆的第二定义
17、得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得,整理得.| 2|BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 14过双曲线 M:的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 ,若 与双曲线 M 的两条渐近 2 2 2 1 y x b ll 线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 105 10 3 5 2 解析：解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为 1 的直线 ：y=x1, 若 与1: 2 2 2 b y xMAl
18、l 双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入M 2 2 2 0 y x b 1122 ( ,),(,)B x yC xy 消元得， ，x1+x2=2x1x2，又,则 B 22 (1)210bxx 12 2 12 2 2 1 1 1 xx b x x b |BCAB xO y B F 1 D D 为 AC 中点，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，双曲线的离心率 e=， 1 2 1 4 1 2 x x M10 c a 选 A. 15过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲 线的两条渐近线的交点分别为,B C若 1 2 ABBC ，
19、则双曲线的离心率是 ( ) A2 B3 C5 D10 答案：C 【解析】对于,0A a，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为 B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab ，则有 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ， 因 22 2,4,5ABBCabe 16. 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交 C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为 . m A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 解解：设双曲线 22 22 1 xy C ab ：的右准线
20、为l,过AB、分 别作 AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直线 AB 的斜率为3,知直线 AB 的倾斜角为 1 6060 ,| 2 BADADAB,由双曲线的第二定义有 1 | |(|)AMBNADAFFB e 11 |(|) 22 ABAFFB . 又 156 43| 25 AFFBFBFBe e 故选故选 A 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一 是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二
21、是通过设椭圆（或双曲线）点 的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式离心率是描述圆锥曲线性的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式离心率是描述圆锥曲线性 质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关在椭质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关在椭 圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围 e(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔
22、，即双曲线 的的“张口张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围逐渐增大，双曲线离心率的取值范围 e(1，)；在抛物线中，离心率；在抛物线中，离心率 e1 已知椭圆已知椭圆1(ab0)的焦的焦 x2 a2 y2 b2 点分别为点分别为 F1，F2，若该椭圆上，若该椭圆上 存在一点存在一点 P，使得，使得 F1PF2600，则椭圆离心，则椭圆离心 率的取值范围是率的取值范围是 分析：分析：如果我们考虑几何的大小，如果我们考虑几何的大小， 我们发现当我们发现当 M 为椭圆的短轴的为椭圆的短轴的 顶点顶点 B1（或（或 B2）时）时F1PF2最大（需要证明）最大（需要证明） ，从而有，从而有 0 0F1
23、PF2F1 B1F2根据根据 条件可得条件可得F1 B1F2600，易得，易得 故故 e1 c c a a 1 1 2 2 1 1 2 2 证明，在证明，在F1PF2中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， 222 1212 12 12 cos 2 PFPFF F F PF PFPF 2 2 1212 2 12 1 2 1 2 PFPFF F PFPF 22 2 2ac a B2 B 1 F 1 y x O F2 P 当且仅当当且仅当 PF1PF2时，等号成立，即当时，等号成立，即当 M 与椭圆的短轴的顶点与椭圆的短轴的顶点 B1（或（或 B2）时）时F1MF2 最大最大 如果通过设椭圆上的点如果
24、通过设椭圆上的点 P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率 e 的范围在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点的范围在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点 P 的坐标不易表示）的坐标不易表示） 因此，在解题过程中要注意方法的选择因此，在解题过程中要注意方法的选择 三、离心率范围问题、离心率范围问题 1.已知椭圆已知椭圆1(ab0)的焦点分别为的焦点分别为 F1，F2，若该椭圆上存在一点，若该椭圆上存在一点 P，使得，使得 x2 a2 y2 b2 F1PF2 600，则椭圆离心率的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 1 ,1) 2
25、2已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲 22 22 1(0,0) xy ab ab 12 (,0),( ,0)FcF c 线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 P 12 21 sin sin PFFa PF Fc 答案：(1, )21 3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部， 1 F 2 F 12 0MF MF M 则椭圆离心率的取值范围是（ ）C A B C D(0,1) 1 (0, 2 2 (0,) 2 2 ,1) 2 4、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为， 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 FxMN， 若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 12
26、 MNFF 1 0 2 ， 2 0 2 ， 1 1 2 ， 2 1 2 ， 解析：椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 Fx ，若，则，该椭圆离心率MN， 2 | 2 a MN c 12 | 2FFc 12 MNFF 2 2 a c c e，取值范围是，选 D。 2 22 1 2 ， 5.设，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）B1a 22 22 1 (1) xy aa e ABCD( 2 2)，( 25)，(2 5)，(25)， 6. 已知双曲线的左，右焦点分别为,点 P 在双曲线的右 22 22 1,(0,0) xy ab ab 12
27、,F F 支上，且,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（ ）B 12 | 4|PFPF A B C D 4 3 5 3 2 7 3 7.双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且 22 22 1 xy ab |PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）B A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33, 8 8已知双曲线(a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与1 2 2 2 2 b y a x 双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+) 解析：解析：双曲线的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为的直线 22 22 1(0,0) xy ab ab 60o 与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， b a ，离心率 e2=， e2，选 C b a 3 222 22 cab aa 4