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1、探索二次函数综合题解题技巧二 二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺 乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多 得分、是完全可以做到的。第 1 小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线 段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第 23 小问通常要结合三角形、四 边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要 善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代 数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心
2、态平和，切记急躁：当思维 受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防 止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 类型二 二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题 例 1 1：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0）， 与 y 轴交于点 C（0，3）， 其 对称轴 I 为 x=1 （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 I 上。 当 PANA，且 PA=NA时，求此时点 P 的坐标。 当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC面积的最大值及此时 点 P 的
3、坐标 方法 1： 9 3 1 3 9 当 P 位于第二象限即-3x0 时，SAOC= ，SOCP=- x，SOAP= 3|yP|=- x2-3x+ ， 2 2 2 2 2 3 3 3 3 27 3 27 SAPC=SOAP+SOCP-SAOC=- x2+ x-9=- （x+ ）2+ ，当 x=- 时取得最大值 ； 2 2 2 2 8 2 8 3 27 当 x=- 时，SAPC 最大值 ， 2 8 3 15 此时 P（- ， ） 2 4 75 S 四边 PA= SABC+SAPC，S四边形 PABC最大= 8 方法 2： 可求直线 AC：YAC=x+3，设 PD与 AC 的交点为 E,则点 E（
4、x，x+3） PE=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x 1 1 3 3 3 27 3 当 P 位于第二象限即-3x0 时，SAPC= 3PE= (-x2-3x) =- （x+ ）2+ ，当 x=- 时取得最 2 2 2 2 8 2 27 大值 ； 8 3 27 当 x=- 时，SAPC 最大值 ， 2 8 3 15 此时 P（- ， ） 2 4 75 S 四边 PA= SABC+SAPC，S四边形 PABC最大= 8 方法提炼： 三角形面积最值。分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则， 直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法
5、或 S= 1 水平宽 铅垂高。 2 四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴 的直线来分割四边形面积），其求法同三角形。 例 2 2：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三 点。 （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM的最小值。 解：（1）把 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c中， 1 1 解得 a= ，b=1，c=0 所以解析式为 y= x2+x。 2 2 1 （2）由 y= x2+x，
6、可得 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB 2 OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB 交直线 x=1于 M 点，则此时 OM+AM最小 过点 A 作 ANx 轴于点 N 在 RtABN 中，由勾股定理得 AB=4 2 因此 OM+AM 最小值为 4 2 方法提炼： 已知一条直线上一动点 M 和直线同侧两个固定点 A、O，求 AM+OM 最小值的问题，我们只需 做出点 O 关于这条直线的对称点 B，将点 A 与 B 连接起来交直线与点 M，那么 AB 就是 AM+OM的 2 最小值。同理， 我们也可以做出点 A 关于这条直线的对称点 A，将点 O 与 A连接起来交直
7、线与点 M，那么 OA就是 AM+OM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间 的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的 最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。 跟踪训练 1 1 如图，抛物线 y=x2-bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）， 交 y 轴于点 B，对称轴是 x=2 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 跟
8、踪训练 2 2 抛物线 yax2bxc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 于点 C，已知抛物线的对称轴为 x1，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使点 P 到 B，C 两点距离 之差最大？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 3 跟踪训练 3 3（2016烟台）如图 1，已知平 行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为（2，6）， 点 B 在 y 轴上，且 ADBCx 轴，过 B， C，D 三点的抛物线 y=ax2+b x+c（a0）的 顶点坐标为（2，2）， 点 F（m，6）是线段 AD 上一动点，直线 OF 交 BC于点 E （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形 ABEF的面积为 S，请求出 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）如图 2，过点 F 作 FMx 轴，垂足为 M，交直线 AC 于 P，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N， 连接 MN，直线 AC分别交 x 轴，y 轴于点 H，G，试求线段 MN 的最小值，并直接写出此时 m 的 值 4