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1、2015-2016高中数学人教必修4习题313二倍角的正弦、余弦、正切公式第三章 三角恒等变换 3(1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3(1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1(理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程( 2(灵活运用二倍角公式及其不同变形能正用、逆用公式进一步学习化归思想方法( 基础梳理 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 ，在公式sin,sin cos ，cos sin 中，令,， ()得到sin 2,2sin_cos_，这就是二倍角的正弦公式; ，在公式cos,cos cos ,sin sin 中，令,， ()22得到cos 2,cos,sin，这就是二倍角
2、的余弦公式， 22其变形形式有:cos 2,2cos,1,1,2sin; tan ，tan ，在公式tan,中，令,， ()1,tan tan 2tan 得到tan 2,，这就是二倍角的正切公式( 21,tan1练习1:2sin 15?cos 15?,( 222练习2:cos( ,sin,cos_222tan 2练习3:,tan_4( 21,tan2思考应用 1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角, 2tan 解析:注意 tan 2,这个公式因为要使tan 2tan 21,tan2有意义即2?，k且?，k(k?Z)还有1,tan?022k即tan ?1从而推出?，k(k?Z)综上
3、所述?，且442?，k(k?Z)而公式S、C中角可以是任意角( 222二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解(如8是4的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等等(又如,2，,223622，,2等等( nn，1422k?Z(2)当,k，时，tan 的值不存在，这时求tan 2()2的值可用诱导公式求得( (3)一般情况下，sin 2?2sin ，例如sin?2sin. 36(4)公式的逆用变形( 升幂公式: 221，cos ,2cos，1,cos ,2sin，1?sin 2,222sin ?cos ( ()降幂公式: 1，cos 21,cos 222cos,，sin,(
4、22思考应用 2(试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y,2,2cos,1的奇偶性与周期性( x,4,2,解析:?y,2cos,1,cos x,2x,4,2,cos,sin 2x ,2x,2,2,?函数y,2cos,1为奇函数 x,4,2且其最小正周期T,. 2自测自评 431(若sin,cos,则角是(C) 2525A(第一象限的角 B(第二象限的角 C(第三象限的角 D(第四象限的角 解析:?sin ,2sincos 224,3,24,2,0 ,552522cos ,cos,sin 222247,3,0 ,5525?角是第三象限角(故选C. ,2(设sin 2则tan 2,sin ?
5、的值是3( ,2,分析:由sin 2,2sin cos 及sin 2,sin ?,解出进而求得tan 2的值( ,2解析:?sin 2,sin ?2sincos ,sin . ,12,?sin ?0?cos ,?, 23,2,4,?tan 2,tan,tan,tan,3. ，33,3,sin 20?cos 20?3.的值是(A) 22cos155?,sin155?1133A. B(, C. D(, 22221sin 40?sin 40?2解析:原式, cos 310?270?，40?2cos()sin 40?1,.故选A. 22sin 40?,424,4(已知x?cos x,则tan 2x,(
6、 ,057,2,4,解析:?x?cos x, ,05,2,33?sin x,tan x, 542tan x24?tan 2x,. 271,tan x基础提升 221(函数y,cosx,sinx的最小正周期是(A) A( B. C. D(2 24解析:?y,cos 2x ?函数的最小正周期T,.故选A. 22sin 2cos2(化简?的结果是(B) 1，cos 2cos 21A(tan B(tan 2 C(1 D. 222sin 2cos解析:原式,?,tan 2.故选B. 22cos cos 2,3(化简sinsin的结果是(B) ，x,x44,11A.sin 2x B.cos 2x 2211
7、C(,cos 2x D(,sin 2x 22解析:原式, , sincos x，cossin xsincos x,cossin x,4444,2222, cos x，sin xcos x,sin x,22221122,(cosx,sinx),cos 2x.故选B. 22334(已知cos ,，且，则cos, (B) 52255A. B(, 552525C. D(, 552解析:?cos ,2cos,1 21，cos 12?cos,. 22533? 222415?cos,.故选B. 2551，cos 1,cos 5(当34时，化简 , (A) 22,A.2sin B(,2sin ，,24,24,
8、C.2sin D(,2sin ,24,24,1，cos 1,cos 解析: , 22,22,cos,sin, cossin22,2,2,?34 3?2 22?sin0. 22,?原式,sin，cos,2sin.故选A. ，22,24,巩固提高 36(已知三角形的一个内角满足sin ，cos ,，则三角形4的形状是(B) A(锐角三角形 B(钝角三角形 C(直角三角形 D(等腰三角形 3解析:?sin ，cos , 422且sin，cos,1 9?1，sin 2, 167?sin 2,0 16又是三角形的一个内角故是钝角( 故选B. ,3,3,7(已知cos,，?,，求cos的值( ，2，522
9、,4,4,3解析:?, 2237?，, 444,3,又cos, ，5,4,2,34,2,?sin,. ,1,cos,1,，,55,4,4,4,3,?cos 2,sin,2sincos,22，,55,2,4,4,24,. 25,3,又由cos,得 ，5,4,72,2cos,1, ，25,4,77,即cos 2,. ,?sin 2，2525,4,2427,?cos,cos 2cos,sin 2sin,2，4425225,4,2312,. 25038(已知sin ，cos ,(0)，求cos 2的值( 3312解析:?sin ，cos ,?(sin ，cos ), 3322sin cos ,又00cos 0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明(