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1、2020年湖南师大附中数学试卷、选择题1 .已知集合 A=x|2x 11, B=x|x2-2xb0）的左、右焦点分别为 F1, F2,点E （0 a2匕Jt) (0VtVb).已知动点P在椭圆上，且P, E, F2不共线，若 PEF2的周长的最小值为3b,则椭圆C的离心率为（）9.设三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱垂直于底面， AB=AC=2, /BAC=90 ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（A. 24兀B. 18兀C. 26 兀D. 16兀10 .设N是数列an的前n项和,若口+“生、,2一=2an+2 - an+1 (n N ),则数列的前99项和为（97981
2、1 .已知函数f （x）)B毁C理D迎991001012+1口 g 1万.若 f ( a) = f (b) (a v b),贝U ab 的最小2X 1k0, b0),过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B.交y轴于点C,交另一条渐近线于点 A,并且点C位于点A, B之间.已知 。为原点，且D.二、填空题13 .已知函数 f (x) = ax-log2 (2X+1) +cosx (aCR)为偶函数，则 a=_ -14 .已知Sn是等比数列an的前n项和，且S3, S9, S6成等差数列，a2+a5 = 6,则a8= 315.若 f (x) = 2sin (2x+(H ( 0)的图象关于直线兀X=l
3、2对称，且当()取最小值时,CO. ),使得f (X0)= a,则a的取值范围是(-叵216 .在四面体 P-ABC中， ABC为等边三角形，边长为 6, PA = 6, PB=8, PC=10,则四面体P - ABC的体积为三、解答题17 .已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 asin (A+B-C) = csin (B+C).(I )求角C的值;(n)若2a+b = 6,且4ABC的面积为 遭，求 ABC的周长.18 .如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O,且AB =AC1, ABXBlC.(I )求证：AO,平面 B
4、B1C1C：(n)设/ B1 BC=60 ,若直线 A1B1与平面BB1C1C所成的角为45 ,求二面角 AlB1C1- B的余弦值.8y2219 .已如椭圆：Ci: Ar+Ar-l (ab。)的右顶点与抛物线C2： y2=2px (p0)的焦a b点重合，椭圆Ci的离心率为，过椭圆Ci的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为- L(I )求椭圆 Ci和抛物线C2的方程；(n)过点A ( - 4, 0)的直线l与椭圆Ci交于M, N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.20 .某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄
5、、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3: i.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量.决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同.(I )求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(n)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过 n, (nCN )次.在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以E表不，求E的分布列和数学期望.21 .已知函数
6、f (x) = aex- e x- (a+i) x (aCR), f (x)既存在极大值，又存在极小值.(I)求实数a的取值范围；(n)当0a0,求实数k的取值范围.22.在平面直角坐标系 x0y中，直线li的参数方程为,ykt(t为参数)，直线12的参数方程为I _ m (m为参数).设直线li与12的交点为P.当k变化时点P的轨迹为曲线Ci.(I)求出曲线Ci的普通方程；(n)以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为psin(S 工)二班,点Q为曲线Ci上的动点，求点 Q到直线C2的距离的最大值.23.已知函数 f (x) = |x- 1|.(I )求不等式f (x) 3-2|x|的解集；(n )若函数g( x) = f( x) +|x- 5|的最小值为m,正数a,b满足a+b= m .求证:.