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1、小专题(一)最短距离问题,第一章勾股定理,现实生活中,经常涉及一些线段最短问题,一般有“两点之间的线段最短问题”“点到某条直线的线段最短问题”,解决这样的问题一般是根据“两点之间,线段最短”和“直线外一点与这条直线上各点的连线中,垂直的线段最短”的基本事实,其类型一般有以下几种.,类型1平面上两点的最短距离问题1.如图所示,某长方形公园里要建一条小石子路,要求连接A,C两个景点,则石子路最短为1000m.,类型2点到线的距离问题2.如图,l是一条笔直的公路,在l的一侧有一个村庄P,村庄P到l上的两点A,B的距离都是1300米,而A,B两点间的距离是1000米,现要修一条从村庄P到公路l的硬化路
2、面.已知长1米的硬化路面需花费300元,请问从村庄P到公路l所修的硬化路面,最少需花费多少元?,解:过点P作PCAB于点C,PC就是村庄P到公路l的最短路程,故沿着PC修硬化路面的花费最少.因为PA=PB,PCAB,所以AC=CB= 1000=500,在RtAPC中,AP=1300,根据勾股定理,得PC2=AP2-AC2=13002-5002=12002,所以PC=1200,所以最少需花费1200300=360000(元).,类型3几何体表面两点间的最短距离问题3.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑
3、,G在水面线EF上,且EG=60 cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线为100cm.,4.( 1 )如图1,长方体的长为4 cm、宽为3 cm、高为12 cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度;( 2 )如图2,长方体的长为4 cm、宽为3 cm、高为12 cm,现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处,求它爬行的最短路程的平方;,( 3 )若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计),其高为12 cm、底面周长为10 cm,在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处,
4、求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少?,解:( 1 )设该长方体中能放入木棒的最大长度是x cm,由题意得x2=(32+42)+122=169,所以x=13.即该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm.( 2 )根据不同的展开方式,分三种情况计算:AG2=(4+12)2+32=265(cm2);AG2=(3+12)2+42=241(cm2);AG2=(3+4)2+122=193(cm2).所以它爬行的最短路程的平方为193 cm2.,( 3 )如图,将容器侧面展开,作点A关于EF的对称点A,连接AB,则AB即为最短距离.由题意得AD=5 cm,BD=12-3+AE=12 cm,类型4两点之间线段最短与轴对称的综合5.如图,河边有A,B两个村庄,A村距河边10 m,B村距河边30 m,两村平行于河边方向的水平距离为30 m.现要在河边建一个抽水站E,需铺设管道抽水到A村和B村.( 1 )要使铺设管道的长度最短,请作图找出抽水站E的位置.(不写作法,保留作图痕迹)( 2 )若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?,解:( 1 )如图所示,抽水站修在点E处才能使所需的管道最短.( 2 )由题可知,AC=30,BC=10+30=40,所以AB=50,所以最低费用为50500=25000(元).,