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1、(445)【精】高中数学必修知识点总结【两套】 .doc高中数学,必修，知识点总结,两套， 目 录 目 录. 1 高一数学必修1 . 1 集合. 1函数. 2 函数题型及常用方法与结论. 2 高中数学必修2 . 7 第一章空间几何体. 7 第二章直线与平面的位置关系 . 7 第三章直线与方程. 11 第四章圆与方程 .13 高中数学必修3 .16 第一章算法初步 .16 第二章统计 .22 第三章概 率 .25 高中数学必修4 .28 第一章三角函数 .28 第二章 平面向量.30第三章 三角恒等变换 .32 高中数学必修5 .35 必修1数学知识点.39 第一章、集合与函数概念 .39 第二
2、章、基本初等函数(?) .39 第三章、函数的应用 .41 必修2数学知识点.42 第一章空间几何体.42 第二章:点、直线、平面之间的位置关系.43 第三章:直线与方程 .43 第四章:圆与方程.44 必修3数学知识点.45 第一章:算法.45 第二章:统计.45 第三章:概率.46 必修4数学知识点.47 第一章、三角函数.47 第二章、平面向量.50 第三章、三角恒等变换.52 必修5数学知识点.52 第一章:解三角形.52 第二章:数列.53 第三章:不等式 .53 第1页 共55页 高一数学必修1 集合 ,1()元素与集合的关系:属于()和不属于(),2()集合中元素的特性:确定性、
3、互异性、无序性,集合与元素,3()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集,4()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法,子集:若xAxBABAB, ，则，即是的子集。,nn,12、若集合中有个元素，则集合的子集有个，AnA(2-1)真子集有个。,2、任何一个集合是它本身的子集，即 AA, 注,关系3,.、对于集合如果，且那么ABCABBCAC,4、空集是任何集合的(真)子集。,真子集:若且(即至少存在但)，则是的真子集。ABABxBxAAB,00集合,集合相等:且ABABAB, ,定义:且ABxxAxB,/,集合与集合,交集,性质:，
4、AAAAABBAAB,AABBABABA,，,定义:或ABxxAxB,/,并集,性质:，AAAAAABBAABAABBABABB,运算, CardABCardACardBCardAB()()()-(),，,定义:且CAxxUxAA,/,U,补集性质:，()()()()()()CAACAAUCCAACABCACB,UUUUUUU, ()()() CABCACB,UUU,高一数学必修1(集合) 第1页 共55页 函数 映射定义:设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，ABAx,在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应:为从集合到集合的一个映射ByfBA
5、B,传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，xyx,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作fyyxy,fx().,近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。,定义域,函数及其表示函数的三要素值域,对应法则,解析法,函数的表示方法列表法,图象法,传统定义:在区间上，若如，则在上递增abaxxbfxfxfxabab,()()(),是 ,1212, 递增区间;如，则在上递减fxfxfxabab()()(),是的递减区间。,12,单调性,导数定义:在区间a,()0(),()0bfxfxababfx上，若，则在上递增,是递增区间;如, 则
6、在上递减fxabab(),是的递减区间。 ,最大值:设函数的定义域为，如果存在实数满足:()对于任意的，都有;yfxIMxIfxM,()1(),函数, ()存在，使得。则称是函数的最大值2()()xIfxMMyfx,函数的基本性质00最值,最小值:设函数的定义域为，如果存在实数满足:()对于任意的，都有;yfxINxIfxN,()1(), ()存在，使得。则称是函数的最小值2()()xIfxNNyfx,00,(1)()(),()fxfxxDfx,定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。,奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图(2)()(),()fxfxxDfx,y象关于轴对称。, 奇偶函数的定义域
7、关于原点对称,fxfxTfxTfxT()()()(0)()周期性:在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期;，,Tfx() 的最小正值叫做的最小正周期，简称周期,1()描点连线法:列表、描点、连线,yyxaxyfxa,()向左平移个单位:,，,11,a向右平移个yyxaxyfxa,，,()单位:11平移变换,bxxybyybfx,，,()向上平移个单位:11,bxxybyybfx,，,()向下平移个单位:,11,xww,101横坐标变换:把各点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时),1,1/()wxwxyfwx, 到原来的倍(纵坐标不变)，即1伸缩变换,yAA,1)01)纵坐标变换:把各点
8、的纵坐标伸长(或缩短(到原来的倍A1, (横坐标不变)， 即yyAyfx,/(),1,函数图象的画法2()变换法,xxxxxx，,22,1010关于点对称:(,)2(2)xyyyfxx,0000,yyyyyy，,221010,xxxxxx，,221010,关于直线对称:xxyfxx,(2),00,yyyy,11,对称变换,xxxx,11,关于直线对称:yyyyf,2(x),00,yyyyyy，,221010,xx,11,yxyfx,()关于直线对称:,yy,1,附: 函数题型及常用方法与结论 一、函数的定义域的常用求法: 高一数学必修1(函数) 第2页 共55页 1、分式的分母不等于零;2、偶
9、次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函,数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数中;余切xkkZ,，,()yx,tan,2函数中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 yx,cot二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结
10、论: 1、若均为某区间上的增(减)函数，则在这个区间上也为增(减)函数 fxgx(),()fxgx()()，2、若为增(减)函数，则为减(增)函数 fx(),fx()3、若与的单调性相同，则是增函数;若与的单调性不同，则fx()gx()yfgx,()fx()gx()是减函数。 yfgx,()、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 45、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: x,01、如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函f(0)0,yfx,()数，则(反之不成立) fx()
11、0,2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数yfu,()ugx,()就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为fx()fx()11fxfxfxfxfx()()()()(),，,，,，该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的22和。 高一数学必修1(函数) 第3页 共55页 ,零点:对于函数()我们把使的实数叫做函数的零点。yfxfxxyfx,()0(),定理:如果函数在区间上的图象是连续不
12、断的一条曲线，并且有yfxabfafb,(),()()0,零点与根的关系 那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个也是方yfxabcabfcc,(),(,),()0, 程的根。(反之不成立)fx()0,关系:方程fx()0,yfxyfxx()()有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点,(1),()()0,abfafb确定区间验证给定精确度;,函数与方程,(2)(,);abc求区间的中点,函数的应用,(3)()fc计算;,fcc()0,二分法求方程的近似解 ?若则就是函数的零点;,fafcbcxab()()0,(,) ?若则令(此时零点);,0,fcfbacx()()0, ?若则令(此时零点,(
13、,)cb,);,0,(4)-,();24abab判断是否达到精确度:即若则得到零点的近似值或否则重复。,几类不同的增长函数模型,函数模型及其应用用已知函数模型解决问题,建立实际问题的函数模型,mn,根式:为根指数，为被开方数ana,nmnaa,分数指数幂,rsrs，指数的运算aaaarsQ,(0,),rsrs,指数函数性质()(0,)aaarsQ,rrs,()(0,0,)abababrQ,NaN为底数，为真数,xa,定义:一般地把函数且叫做指数函数。yaaa,(01),，,指数函数,MNMN,aaa,性质:见表1,M,MN,对数:x,log,aaa,N,logbc性质,且,n,bacacb(,
14、0,1,0)log()loglog;,aMnMaaMN,aa,loga,基本初等函数c,logloglog;换底公式:,对数的运算.,loglog;(0,1,0,0),对数函数,定义:一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。,定义:一般地把函数且叫做对数函数yxaa,幂函数a对数函数,性质:见表2log性质:见表,yxx ,log(01),1,高一数学必修1(函数) 第4页 共55页 表xyxaa,log0,1yaaa,0,1， 对数数函数，指数函数 a1 定x,，,0,义，xR, 域 值 yR, y,，,0,，域 图象 过定点 过定点 (0,1) (1,0)减函数 增函数 减函数 增函数
15、xy,，,(,0)(1,)时，xy,(,0)(0,1)时，xy,，,(0,1)(0,)时，xy,(0,1)(,0)时，xy,，,，,(0,)(1,)时，xy,，,(0,)(0,1)时，xy,，,，,(1,)(0,)时，xy,，,(1,)(,0)时，性 质 ab, ab,ab,ab, ,幂函数 yxR,(),表2 p ,001,1,1 qp为奇数 奇函数 q为奇数p为奇数 q为偶数高一数学必修1(函数) 第5页 共55页 p为偶数 偶函数 q为奇数第一象限减函数 增函数 (，)01过定点 性质 高一数学必修1(函数) 第6页 共55页 高中数学必修2 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构
16、特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 22 圆柱的表面积 S,2,rl，2,r2S,rl，,r3 圆锥的表面积 22S,rl，,r
17、，,Rl，,R4 圆台的表面积 2S,4,R5 球的表面积 (二)空间几何体的体积 V,S，h1柱体的体积 底1V,S，h2锥体的体积 底31V,(S，SS，S)，h3台体的体积 下下上上343V,R4球体的体积 3第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 高中数学必修2(第一章空间几何体) 第7页 共55页 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐0D C 角画成45，且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四
18、个顶点或者相对的两个A B 顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A?L A B?L = L ? L A? B? 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B ? ? C 符号表示为:A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面， ? 使A?、B?、C?。 公理2作用:确定一个平面的依据。 3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 (符号表示为:P? =?=L，且P?L 公理3作用:判定
19、两个平面是否相交的依据 P L ? 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内，没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a、b、c是三条直线 a?b =a?c c?b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点: ? a与b所成的角的大小只由a、b的
20、相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上; ,? 两条异面直线所成的角?(0， ); 2? 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b; ? 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形; ? 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 高中数学必修2(第二章直线与平面的位置关系) 第8页 共55页 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 指
21、出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a?=A a? 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行，则线面平行。 符号表示: a b = a? a?b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示: a b a?b = P ? a? b? 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行
22、。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a? a a?b ?= b 高中数学必修2(第二章直线与平面的位置关系) 第9页 共55页 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示: ? ?= a a?b ?= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们
23、就说直线L与平面互相垂直，记作L?，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法:二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2
24、.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理: 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 高中数学必修2(第二章直线与平面的位置关系) 第10页 共55页 本章知识结构框图 平面(公理1、公理2、公理3、公理4) 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0?. 的角叫做直线l
25、的倾斜角.特别地,2、 倾斜角的取值范围: 0?,180?. 当直线l与x轴垂直时, = 90?. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角(?90?)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan ?当直线l与x轴平行或重合时, =0?, k = tan0?=0; ?当直线l与x轴垂直时, = 90?, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且
26、不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立(即如果k1=k2, 那么一定有L1?L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负高中数学必修2(第三章直线与方程) 第11页 共55页 倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程:直线经过点，且斜率为 lkP(x,y)000y,y,k(x,x)002lk、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为，且与y轴的交点为 (0,b)y,kx，
27、b3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点其中 P(x,x),P(x,y)(x,x,y,y)1122221212y,yx,x11 ,(x,x,y,y)1212y,y1x,x221l2y、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中 (a,0)(0,b)a,0,b,0x3.2.3 直线的一般式方程 x,y1、直线的一般式方程:关于的二元一次方程(A，B不同时为0) Ax，By，C,02、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 34
28、20xy，,解:解方程组 ,2220xy，,得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M(-2，2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 22PPxxyy,，, ，1222213.3.3 点到直线的距离公式 1(点到直线距离公式: 高中数学必修2(第三章直线与方程) 第12页 共55页 Ax，By，C00点到直线的距离为: d,P(x,y)l:Ax，By，C,00022A，B2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线和的一般式方程为:， lllAx，By，C,02111C,C12d,:，则与的距离为 lllAx，By，C,0221222A，B第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 2221、圆的标准方程: ()()xaybr,，,圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2222、点与圆的关系的判断方法: Mxy(,)()()xaybr,，,00222(1)，点在圆外 r()()xayb,，,00222(2)=，点在圆上 r()()xayb,，,00222(3)，点在圆内 r()()xayb,，,004.1.2 圆的一般方程 221、圆的一般方程: x，y，Dx，Ey，F,02、圆的一般方程的特点: (1)?x2和y2的系数相同，不等于0( ?没有xy这样的二次项( (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这