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1、切线的判定与性质,3.4 切线的判定定理,切线的判定与性质,2个,交点,割线,1个,切点,切线,d r,d = r,d r,没有,回顾：,切线的判定与性质,图中直线l满足什么条件时是O的切线？,探究：,l,方法1：直线与圆有唯一公共点,方法2：直线到圆心的距离等于半径,注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。,切线的判定与性质,（1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2） 二者位置有什么关系？为什么？（3） 由此你发现了什么？,请在O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线lOA。思考：,l,操作与观察：,切线的判定与性质,切线的
2、判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径,切线的判定与性质,O,r,l,A, OA是半径， l OA于A l是O的切线,定理的数学语言表达：,切线的判定与性质,(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A 则:直线l与O相切,这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法切线的判定定理,发现：,切线的判定与性质,利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画O的切线吗？,讨论交流：,O,P,切线的判定与性质,1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ）(2)与半径垂直的的直线是圆
3、的切线（ ）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,巩固：,两个条件缺一不可,切线的判定与性质,切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.,判定直线与圆相切有哪些方法？,归纳：,切线的判定与性质,例1 如图，已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。,例题：,有交点，连半径，证垂直,切线的判定与性质,例2 如图，已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O
4、为圆心，OD为半径作O。 求证：O与AC相切。,O,A,B,C,E,D,无交点，作垂直，证半径,切线的判定与性质,归纳：,例1与例2的证法有何不同?,(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.,1、如图，AB是O的直径,O过BC的中点D，DEAC. 求证：DE是O的切线,证明：连接OD,BDCD，OA=OB,OD是ABC的中位线.OD/AC.,又 DEC90, ODE90.,又 D在圆周上,
5、 DE是O的切线.,巩固：,有交点，连半径，证垂直,切线的判定与性质,2、如图,ABC中,AB=AC,AOBC于O，OEAC于E,以O为圆心,OE为半径作O.求证：AB是O的切线.,F,巩固：,无交点，作垂直，证半径,切线的判定与性质,3、如图,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在O上, CAB=30.求证:DC是O的切线.,有交点，连半径，证垂直,4、如图，AB是O的直径, C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB,证明：连接OC,CD 是O的切线，OCCD.,又ADCD , OC/AD.ACO CAD .,又OC=OD, CAO ACO
6、,CAD CAO ,故AC平分DAB,切线的判定与性质,5已知：在ABC中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E，求证：DE是O的切线.,分析：因为DE经过O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DEOD.,切线的判定与性质,6如图，已知在ABC中，ADBC于D，ADBC/2，E和F分别为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作O，求证：O与BC相切.,分析：要证明以EF为直径的O与BC相切，只要过O作OHBC于H，证 明OH等于直径EF的一半.,H,切线的判定与性质,7如图(3)，ABC内接于O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是O
7、的切线.,分析：PA过O上一点A，要证PA为切线，只要证PAAO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PAAD即可.,切线的判定与性质,如图，如果直线l是O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？,探究：,O,A,l,切线的判定与性质,如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？,分析：假设OA与L不垂直，过点作OML，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有OMOA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。,切线的判定与性质,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。,归纳
8、：, l是O的切线，切点为A l OA,切线的判定与性质,过半径外端;垂直于这条半径.,切线,圆的切线;过切点的半径.,切线垂直于半径,切线判定定理：,切线性质定理：,比较：,切线的判定与性质,例3、如图，PA、PB分别切O于A、B，两切线相交于点P,若P=420，求ACB的度数。,P,C,m,m,例题：,切线的判定与性质,1、如图, O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？,巩固：,注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。,切线的判定与性质,2、如图，AB、AC分别切O于B、C，若A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度
9、数是（ ）A、600B、1200C、600或1200D、1400或600,切线的判定与性质,练习与巩固：,2、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则ADE等于_ _度.,1、如图，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于（ ）A. 70 B. 35 C. 20 D. 10,（2）,（1）,3、如图,在OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，O与AB相切于点A, 则O的直径为 。,O,A,B,（3）,切线的判定与性质,4、如图,PA、PB是O的切线,切点分别为A、B,且APB=50,点C是优弧上的一点,则ACB=_.,5、如图
10、，O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则O的半径为（ ）A. B. C. 10D. 5,（5）,（4）,辅助线的作法：作过切点的半径,切线的判定与性质,切线的判定与性质,7、如图,AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB。,（7）,8、如图,AB为O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线。,（8）,切线的判定与性质,小结：,1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 (3)根据切线的判定定理来判定 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一,切线的判定与性质,切线的判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径,