《浙江专版2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶.wps（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 预习课本 P3437，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？ (2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？ (3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？ 新知初探 1周期函数 (1)周期函数的概念 对于函数 (x)，存在一个非零常数 T 条件 当 x取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x) 结论 函数 (x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 条件 周期函数 (x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做 (x)的最小正周期 点睛 对周期函数的两点说明 (1)并不是每一个函数都是周期函数
2、，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一 (2)如果 T是函数 (x)的一个周期，则 nT(nZ 且 n0)也是 (x)的周期 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)因 sin( sin ，则 是正弦函数 ysin x的一个周期( ) 3 ) 3 3 3 1 (2)若 T 是函数 (x)的周期，则 kT，kN*也是函数 f(x)的周期( ) (3)函数 y3sin 2x 是奇函数( ) (4)
3、函数 ycos x 是偶函数( ) 3 答案：(1) (2) (3) (4) 2函数 (x)2sin( x)是( ) 2 AT2 的奇函数 BT2 的偶函数 CT 的奇函数 DT 的偶函数 答案：B 3下列函数中，周期为 的是( ) 2 Aysin x Bysin 2x x Cycos Dycos 4x 2 答案：D 4函数 (x)sin xcos x 是_(填“奇”或“偶”)函数 答案：奇 三角函数的周期 典例 求下列函数的周期 (1)(x)cos( ；(2)(x)|sin x|. 2x 3 ) 解 (1)法一 定义法 (x)cos(2x cos 3) (2x 2) 3 cos 3(x)，
4、2x 即 (x)(x)， 函数 (x)cos(2x 3)的周期 T. 2 法二公式法 ycos( 3)，2. 2x 2 2 又 T . | 2 函数 (x)cos( 3)的周期 T. 2x (2)法一 定义法 (x)|sin x|, (x)|sin(x)|sin x|(x)， (x)的周期为 . 法二 图象法 函数 y|sin x|的图象如图所示 由图象可知 T. 求函数最小正周期的常用方法 除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为 y 2 Asin(x)B 或 yAcos(x)B 的形式，再利用 T 求得；(2)图象法，利用 | 变换的方法或作出函数的图象
5、，通过观察得到最小正周期 活学活用 求下列函数的周期 (1)y3sin( x3)； 2 (2)y|cos x|. 2 解：(1)T 4， 2 y3sin( x3)的周期为 4. 2 (2)函数 y|cos x|的图象如图所示， 3 由图象知 T. 三角函数的奇偶性 典例 (1)函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 3 3 x (2)判断函数 f(x)sin( 2 )的奇偶性 4 (1)解析 f(x)的定义域是 R. 且 f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)， 函数为奇函数 答案 A 3 3 3 (2)解 f
6、(x)sin( 2 )cos x， x 4 4 3 3 f(x)cos( x )cos x， 4 4 3 3 函数 f(x)sin( 2 )为偶函数 x 4 判断函数奇偶性的方法 活学活用 判断下列函数的奇偶性： (1)(x)xcos(x)； (2)(x)sin(cos x) 解：(1)函数 (x)的定义域为 R， (x)xcos(x)xcos x， (x)(x)cos(x)xcos x(x)， (x)为奇函数 (2)函数 (x)的定义域为 R， (x)sincosxsin(cos x)(x)， (x)为偶函数. 4 三角函数的奇偶性与周期性的应用 典例 定义在 R 上的函数 (x)既是偶函数
7、又是周期函数，若 (x)的最小正周期是 ， 5 且当 x 2时，(x)sin x，求 ( 的值 0， 3 ) 解 (x)的最小正周期是 ， 5 5 ( 2) ( 3 ) 3 ) ( 3 (x)是 R 上的偶函数， 3 ( 3 ) (3 )sin . 3 2 5 3 ( 3 ) . 2 一题多变 5 1变条件“”“”若本例中 偶 变 奇 其他条件不变，求 ( 3 )的值 5 解： ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 sin . 3 2 19 2变设问若本例条件不变，求 ( 6 )的值 19 19 解： ( 6 ) ( 6 ) 6 ) ( 3 1 (6 )sin . 6 2 3变条件若本例条件
8、为：函数 (x)为偶函数且 ( 2)(x)， (3 )1，求 x 5 ( 3 )的值 解： ( (x)， x 2 ) (x)(x)，即 T， 5 5 ( 1. 3 ) ( 2) ( 3 ) (3 ) 3 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 利用函数的周期性，可以把 xnT(nZ)的函数值转化为 x的函数值利用奇偶性，可以 5 找到x 与 x 的函数值的关系，从而可解决求值问题 层级一 学业水平达标 1函数 f(x)sin(x)的奇偶性是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解析：选 A 由于 xR， 且 f(x)sin xsin(x)f(x)， 所以 f(
9、x)为奇函数 2函数 yxcos x 的部分图象是下图中的( ) 解析：选 D 因为函数 yxcos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除 A，C；当 x ( 时，yxcos x0，故排除 B. 0， 2 ) 3已知函数 f(x)sin( 2)1，则下列命题正确的是( ) x Af(x)是周期为 1 的奇函数 Bf(x)是周期为 2 的偶函数 Cf(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 Df(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 2 x 解析：选 B f(x)sin( 2)1cos x1，从而函数为偶函数，且 T 2. 4函数 y4sin(2x)的图象关于( ) Ax 轴对称 B原点对称 Cy 轴
10、对称 D直线 x 对称 2 解析：选 B y4sin(2x)4sin 2x，奇函数图象关于原点对称 x 5函数 ycos( 的奇偶性是( ) 2 ) 2 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D即是奇函数也是偶函数 x x x 解析：选 A cos( cos sin ，故为奇函数 2) ( 2) 2 2 2 6 1 x 6函数 ycos( 6)的周期为_ 2 2 解析： T 4. 1 2 答案：4 7函数 (x)是以 2 为周期的函数，且 (2)3，则 (6)_. 解析：函数 (x)是以 2 为周期的函数，且 (2)3， (6)(222)(2)3. 答案：3 2 8函数 (x)3cos(x (0
11、)的最小正周期为 ，则 ()_. 3 ) 3 2 2 解析：由已知 得 3， 3 (x)3cos( ，()3cos 3x 3 ) 3) (3 3 3cos( 3)3cos . 3 2 3 答案： 2 9判断下列函数的奇偶性 (1)(x)cos( 2x)cos(x)； 2 (2)(x) 1sin x 1sin x. 解：(1)xR， (x)cos( 2x)cos(x) 2 sin 2x(cos x)sin 2xcos x. (x)sin(2x)cos(x) sin 2xcos x(x) 该函数 (x)是奇函数 (2)对任意 xR，1sin x1， 1sin x0,1sin x0. (x) 1si
12、n x 1sin x的定义 域为 R. (x) 1sinx 1sinx 1sin x 1sin x(x)， 该函数是偶函数 7 1 1 10已知函数 y sin x |sin x|， 2 2 (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期 1 1 解：(1)y sin x |sin x| 2 2 Error! 图象如图所示： (2)由图象知该函数是周期函数，且周期是 2. 层级二 应试能力达标 1下列函数中最小正周期为 且为偶函数的是( ) Aycos( 2) Bysin( 2 ) 2x 2x Cysin( 2) Dycos( 2 ) x x 解析：选 B 对于 A，y
13、cos( 2)cos( 2x)sin 2x 是奇函数；对于 B，ysin 2x 2 2 ( 2) 2 ( 2 ) 2x cos 2x 是偶函数，且最小正周期 T ；对于 C，ysinx cos x 是偶 函数，但最小正周期 T2；对于 D，ycos( sin x 是奇函数，故选 B. x 2 ) 2 15 x 2函数 (x)3sin( 2 )是( ) 3 A周期为 3 的偶函数 B周期为 2 的偶函数 4 C周期为 3 的奇函数 D周期为 的偶函数 3 2 3 解析：选 A (x)3sin( x 2 ) 3 2 3cos x，(x)为偶函数， 3 2 且 T 3，故选 A. 2 3 k 3函数
14、 ycos( x 3)(k0)的最小正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应是( ) 4 A10 B11 8 C12 D13 2 8 解析：选 D T 2，k4， k k 4 又 kZ，正整数 k的最小值为 13. 4函数 (x)sin(2x)为 R 上的奇函数，则 的值可以是( ) A B 4 2 3 C D 2 解析：选 C 要使函数 (x)sin(2x)为 R 上的奇函数，需 k，kZ.故选 C. 3 15 5若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为 ，且满足 f(x)Error!则 f 4 ) 2 ( _. 3 15 15 3 解析：T 2 ，f ( 4 )f ( 4 2 3 3
15、 2 f ( 4 )sin . 4 2 3) 答案： 2 2 x 6函数 y| 2|的最小正周期是_ sin x x x 解析： ysin 2的最小正周期为 T4，而 y| 2|的图象是把 ysin 的图象在 sin 2 x轴下方的部分翻折到 x轴上方， x y| 2|的最小正周期为 T2. sin 答案：2 5 7已知 (x)是以 为周期的偶函数，且 x 2时，(x)1sin x，当 x ，3 0， 2 时，求 (x)的解析式 5 解：x ，3时，3x0， 2，因为 x0， 2时，(x)1sin x，所以 (3 2 x)1sin(3x)1sin x又 (x)是以 为周期的偶函数， 5 所以 (3x)(x)(x)，所以 (x)的解析式为 (x)1sin x，x ，3. 2 8已知函数 (x)对于任意实数 x满足条件 (x2) 9 1 (x)0) x (1)求证：函数 (x)是周期函数 (2)若 (1)5，求 (5)的值 1 解：(1)证明：(x2) ， x 1 1 (x4) (x)， x2 1 x (x)是周期函数，4 就是它的一个周期 (2)4 是 (x)的一个周期 (5)(1)5， 1 1 1 (5)(5)(1) . 12 1 5 10