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1、(DOC)-高中数学必修4三角函数知识点与题型总结高中数学必修4三角函数知识点与题型总结 高考圈-助你轻松跨过高考 三角函数典型考题归类 1(根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数f(x) 2cosx(sinx,cosx),1，x R( (?)求函数f(x)的最小正周期;(?)求函数f(x)在区间 上的最小值和最大值( 84【相关高考1】(湖南文)已知函数f(x) 1,2sin2 x, 3 ,2sinx,cosx, ( 8 8 8 求:(I)函数f(x)的最小正周期;(II)函数f(x)的单调增区间( 【相关高考2】(湖南理)已知函数f(x) cos2 x, 1 g(x) 1,sin2
2、x( ， 212 (I)设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值(II)求函数h(x) f(x),g(x)的单调递增区间( 2(根据函数性质确定函数解析式 0 ?)的图象与y 轴相交于点(0，且该函数的例2(江西)如图，函数y 2cos( x, )(x R， 0，? 最小正周期为 ( (1)求 和 的值; (2)已知点A ，0 ，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点， 2 2 当y0 x0 ， 时，求x0的值( 2 2 x,sin x,2cos，x R(其中 0)，(I)6 6 2 ，求函数2 【相关高考1】(辽宁)已知函数f(x) sin x, 求函数
3、f(x)的值域; (II)(文)若函数y f(x)的图象与直线y ,1的两个相邻交点间的距离为 y f(x)的单调增区间( (理)若对任意的a R，函数y f(x)，x (a，a,的图象与直线y ,1有且仅有两个不同的交点，试确定 的值(不必证明)，并求函数y f(x)，x R的单调增区间( 【相关高考2】(全国?)在?ABC中，已知内角A ，边BC B x，周长为y( (1)求函数y f(x)的解析式和定义域;(2)求函数y f(x)的最大值( 高考圈-助你轻松跨过高考 3(三角函数求值 例3(四川)已知cos=113,cos(-),，且0,(?)求tan2的值;(?)求. 7214 【相关
4、高考1】(重庆文)已知函数f(x)= 2cos 2x, 4 sin(x,2.(?)求f(x)的定义域;(?)若角a在第一象限，且) 3 cosa ,求f(a)。5 【相关高考2】(重庆理)设f (x) = 6cosx,3sin2x(1)求f(x)的最大值及最小正周期;(2)若锐角 满足2 4f( ) 3,23，求tan 的值. 5 4(三角形中的函数求值 例4(全国?)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a 2bsinA( (?)求B 的大小;(文)(?)若a ，c 5，求b(理)(?)求cosA,sinC的取值范围( 【相关高考1】(天津文)在?ABC中，已知AC 2，
5、BC 3，cosA , (?)求sinB的值;(?)求sin 2B,4( 5 的值( 6 13，tanB (?)求角C的大小;文(?)若AB ，45【相关高考2】(福建)在?ABC中，tanA 求BC边的长(理(?)若? ABC，求最小边的边长( 5(三角与平面向量 ?ABC3例5(湖北理)已知的面积为，且满足0?AB AC?6，设AB和AC的夹角为 (I)求 的取值范 围; (II )求函数f( ) 2sin2 , 2 的最大值与最小值( 4 【相关高考1】(陕西)设函数f,x, ， 其中向量(m,cos2x), (1,sin2x,1),x R，且函数y=f(x)的图象经过点 ,2 ， 4
6、(?)求实数m的值;(?)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，0)、C(c，0)( 4)、B(0，(文)(1)若 0，求c的值;(理)若?A为钝角，求c的取值范围;(2)若c 5，求sin?A的值( 6三角函数中的实际应用 高考圈-助你轻松跨过高考 例6 (山东理)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的B 2处，此时两船相距海里，问乙船每小时
7、航行多少海里, 【相关高考】(宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D(现测得 BCD ， BDC ，CD s，并在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔高AB( A2 7(三角函数与不等式 例7 (湖北文)已知函数f(x) 2sin2 乙 A1 ,x 2x，x (I)求f(x)的最大值和最小值; 4 42 (II)若不等式f(x),m 2在x 上恒成立，求实数m的取值范围( 42 8(三角函数与极值 2例8(安徽文)设函数f,x, ,cosx,4tsin xxcos,4t3,t2,3t,4,x R 22 其中?1，将f,x,的最小值记为g(t). (?)求g(
8、t)的表达式;(?)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析 例题1 已知角 的终边上一点的坐标为(sin2 2 ,cos)，则角 的最小值为( )。 33 5 2 5 11 A、 B、 C、 D、 6336 2例题2 A，B，C是 ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x,5x,1 0的两个实数根，则 ABC是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 例题3 已知方程x,4ax,3a,1 0(a为大于1的常数)的两根为tan ，tan ， 且 、 ,2 , , ，则tan的值是_. 222 例题4 函数f(x) asinx,
9、b的最大值为3，最小值为2，则a _，b _。 例题5 函数f(x)=sinxcosx的值域为_。 1,sinx,cosx 高考圈-助你轻松跨过高考 222,sin 3sin ,则sin ,sin 的取值范围是 例题6 若2sin2 例题7 已知 , ，求y cos ,6sin 的最小值及最大值。 例题8 求函数f(x) 2tanx的最小正周期。 21,tanx 例题9 求函数f(x) sin2x,22cos( 4,x),3的值域 3 4例题10 已知函数f(x) sin( x, )( 0,0? ? )是R上的偶函数，其图像关于点M( ,0)对称，且在区 间0， 上是单调函数，求 和 的值。
10、2 2011三角函数集及三角形高考题 1.(2011年北京高考9)在 ABC中，若b 5, B 4,sinA 1 3，则a . .在 ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若 22.(2011年浙江高考5)acosA bsinB，则sinAcosA,cosB 11 (A)- 2 (B) 2 (C) -1 (D) 1 3.(2011年全国卷1高考7)设函数f(x) cos x( 0)，将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 1 (A)3 (B)3 (C)6 (D)9 5.(2011年江西高考14)已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若
11、p,4,y,是角 终边上一点，且sin ,5，则y=_. f(x) f)f(x) sin(2x, ) 6对x R恒成立，且6(2011年安徽高考9)已知函数，其中为实数，若 f() f( )2，则f(x)的单调递增区间是 k ,k ,(k Z)k ,k ,(k Z) 36 2 (A) (B) 高考圈-助你轻松跨过高考 2 k ,k (k Z)k ,k ,(k Z) 263 (C) (D) 2227(2011四川高考8)在?ABC中，sinA sinB,sinC,sinBsinC，则A的取值范围是 (0,(A)6 , )(B)6 (0,3 (C) , )(D)3 f(x) 4cosxsin(x,
12、),1.61.(2011年北京高考17)已知函数 , (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间64 上的最大值和最小值。 cosA,2cosC2c,a A,B,Ca,b,c ABCcosBb， 3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知 sinC1cosB ,b 24(?)求sinA的值;(?)若，求 ABC的面积S。 5.(2011年全国卷高考18)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 己知asinA,csinCsinC bsinB. 0A 75,b 2,求a，c. (?)求B;(?)若 6.(2011年湖南高考17)在 ABC中，角A,B,C所对
13、的边分别为a,b,c且满足csinA acosC. A,cos(B,)4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小( (I)求角C的大小;(II 1 f(x) 2sin(x,)36，x R( 7(2011年广东高考16)已知函数 5 106 , 0,f()f(3 ,) f(3 ,2 ) 2 ，4213，5，求cos( , )的值( (1)求的值;(2)设 8(2011年广东高考18)已知函数f(x) sin(x,7 3 ),cos(x,)44，x R( cos( , ) 44 cos( , ) ,0 5，5，2(求证:(?)求f(x)的最小正周期和最小值;(?)已知 f( )2,2 0( 9.(
14、2011年江苏高考17)在?ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c 高考圈-助你轻松跨过高考 sin(A, (1)若 6 ) 2cosA, 1 cosA ,b 3c 3 求A的值;(2)若，求sinC的值. b 10.(2011高考)?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2 。(I)求a;(II) 若c2=b2 2，求B。 1 a 1,b 2,cosC4 11. (2011年湖北高考17)设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 s(A,C)的值。 (I) 求 ABC的周长;(II)求co cos2C , 12. (2011年浙
15、江高考18)在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值;(?)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长( 2011三角函数集及三角形高考题答案 1.(2011年北京高考9)在 ABC中，若 14 b 5, B 4 ,sinA 1 3，则a . a5 ,a ab 1521 b 5, B ,sinA sin 43所以34【答案】3【解析】:由正弦定理得sinAsinB又 2 2011年浙江高考5).在 ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若 2.(acosA bsinB，则sinAcosA,cosB 11 (A)- 2 (B) 2 (C) -1
16、(D) 1 2 【答案】D【解析】?acosA bsinB，?sinAcosA sinB， ?sinAcosA,cosB sinB,cosB 1. 222 3.(2011年全国卷1高考7)设函数f(x) cos x( 0)，将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的 图像与原图像重合，则 的最小值等于 1 (A)3 (B)3 (C)6 (D)9 【解析】由题意将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的 高考圈-助你轻松跨过高考 2 整数倍,得 k 3(k Z) 6. ,解得 6k,又 0,令k 1,得min 4.(2011全国卷)，设函数
17、 (A) y=对称 在单调递增，其图像关于直线对称(B)y=在单调递增，其图像关于直线 (C)y= f (x) 在(0，2)单调递减，其图像关于直线x = 4对称(D)y= f (x) 在(0，2)单调递减，其图像关 于直线x = 2对称 解析:解法一:f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x) 在(0，2)单调递减，其图像关于直线x = 2对称。故选D。 5.(2011年江西高考14)已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p,4,y,是角 终边上一点，且sin ,5，则y=_. 答案:8. 解析:根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为
18、第四象限角。 y25对边 ,sin 25 y ,8斜边=,y f(x) f()f() si, )16636(2011年湖南高考9)【解析】若对x R恒成立，则，所以 3, k , 2,k Z ， k , 6,k Zf() f( ) , )，即2.由，(k Z)，可知sin( , ) sin(2 ，代入f(x) sin 0，所以 2k , (2k, 1,) 6k ,Zf(x) ,sinx)sin,x( 2，得6，由2剟2x, 62 k, 3 k ,剟x62，得k ,2 3，故选C. b2,c2,a21 222222sinA sinB,sinC,sinBsinCa b,c,bc2bc2， 7(20
19、11四川高考8)解析:由得，即 cosA 1 0 A 2，?0 A ，故3，选C( ? f(x) 4cosxsin(x, 1.【解析】:(?)因为 6 ),1 4cosx( 31 sinx,cosx),122高考资源网KS5U.COM sin2x,2cosx,1 3sin2x,cos2x , (?)因为 2 2sin(2x, ) 6所以f(x)的最小正周期为 6 x 4 ,所以, 6 2x, 6 2 .2x, ,即x 3于是，当626时，f(x)取得最大值2;当 2x, 6 , ,即x ,时,f(x) 66取得最小值1( f(x) Asin( 3 x, ) 2.(2011年浙江高考18)已知函
20、数 ，x R，A 0， 0 2.y f(x)的部分图像，如 图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A ). 小正周期及的值;(?)若点R的坐标为(1,0)， (?)求f(x)的最PRQ 2 3，求A的值. T 2.(?)解:由题意得，上 2 3 6 y Asin(x, ) P(1,A)3因为在的图 像 sin(, ) 1. 0 6(?)解:设点Q的坐32，所以所以又因为 为( 标 x0,A).，由题意可知3 x0, 6 2 2 3，得x0 4，所以Q(4,A)，连接PQ,在?PRQ中，?PRQ=3,由余弦定 RP2,RQ2,PQ22221 cos PRQ 2RP.RP2
21、，解得A2=3。 理得 又A,0，所以 cosA,2cosC2c,a A,B,Ca,b,c ABCcosBb， 3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知sinC1 cosB ,b 2 4(?)求sinA的值;(?)若，求 ABC的面积S。 cosA,2cosC2c,acosA,2cosC2sinC,sinA ABCcosBb及正弦定理可得，cosBsinB解:(?)在中，由， 即sinAsinB,2cosCsinB 2sinCcosB,sinAcosB 则sinAsinB,sinAcosB 2sinCcosB,2cosCsinB sinC 2 sin(A,B) 2sin(
22、C,B)，而A,B,C ，则sinC 2sinA，即sinA。另解1:在 ABC中，由cosA,2cosC cosB c2,a b可得，bcosA,2bcosC 2ccosB,acosB 222 b2,c2,a2a2,b2,c2a2,c,b2a,c,b2 , ,2caa2c由余弦定理可得，整理可得c 2a，由正弦定理可得 sinCc 2sinAa。另解 2:利用教材习题结论解题，在 ABC 中有结论 a bcosC,ccosB,b ccosA,acosC,c acosB,bcosAbc o,As b 2 Cc 由 cosA,2cosC2c,a cosBb 可得 o,cbcosA,BacosBa
23、 2ccosBB,2bcosC，则c 2a， 即 由正弦定理可得 sinCc 2sinAa 。(?)由 c 2a cosB 及 1 ,b 24 可得 4 c S 2 ,a 2 2,accos B 2 4a, 2 11acsinB 1 2 a,a 1a 4a,S2c 2， 2，即则， 2 。 1,2cos(B,C) 0，4.(2011年安徽高考16)在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长， 求边BC上的高. 1,2cos(B,C) 01,2cos(180,A) 0，即1,2cosA 0，解:?A，B，C,180?，所以B，C,A，又，? cosA 1ab 2，又0?A180?，所
24、以A,60?.，在?ABC中，由正弦定理sinAsinB得 bsinA sinB a2， ,30) b a又?，所以B,A，B,45?，C,75?，?BC边上的高AD,AC?sinC 45 cos30 ,cos45 sin30 ) 1) 222. 5.(2011年全国卷高考18)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 己知asinA,csinCsinC bsinB. A 75,b 2,求a，c. (?)求B;(?)若 222222 b a,c,2accosB. 故a,c b【解析】(I) 由正弦定理得由余弦定理得 cosB ，因此 B 45 (II) sinA sin(30 ,45
25、) sin30 cos45 ,cos30 sin45 故 sinAsinCsin60a b 1c b 2 sinBsinBsin45 2011年安徽高考17)在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c 6.(且满足csinA acosC. A,cos(B,) 4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小( (I)求角C的大小;(II 解 析 : ( I) 由 正 弦 定 理 得 sinCsinA sinAcosC. 因为 0 A , 所以 3 ,A.4于是 sinA 0.从而sinC cosC.又cosC 0,所以tanC 1,则C A,cos(B,) A,cos( ,A) 4 4(II
26、)由(I)知 B A,cosA 2sin(A,). 6 3 11 2sin(A,) 0 A , A, ,从而当A, ,即A 时, 6取最大值2( 46612623 ， 5 A,cos(B,)A ,B . 4312的最大值为2，此时 1 f(x) 2sin(x,) 36，x R( 7(2011年广东高考16)已知函数 f( (1)求 5 , 0, f(3 , ) 10f(3 ,2 ) 6) 2 ，4的值;(2)设213，5，求cos( , )的值( f( 5 15 1 10 ) 2sin( ,) 2sin f(3 ,) 2sin(3 ,), 2sin 43464232613，2) 16(解:(1
27、 ) sin 即 51 63 , 0, f(3 ,2 ) 2sin(3 ,2 ), 2sin( ,) cos 2 ， 13，3625，即5，? cos 12 13 sin ， ? 45 ? cos( , ) cos cos ,sin sin 8(2011年广东高考18)已知函数 1235416 , 13513565 f(x) sin(x, 7 3 ),cos(x,)44，x R( cos( , ) 44 cos( , ) ,0 5，5，2(求证: (?)求f(x)的最小正周期和最小值;(?)已知f( )2,2 0( (?)解析: f(x) sinxcos 7 7 3 3 ,cosxsin, c
28、osxcos,sinxsin 2sin(x,) 4，?f(x)的4444 xx cos cos ,sin sin 44 cos cos ,sin sin ,5，5， 最小正周期T 2 ，最小值f(x)min ,2(?)证明:由已知得两式相os 0，? 加得2cos c0 2，?cos 0，则 2( f( )2,2 4sin2 4 ,2 0 ( 9.(2011年江苏高考17)在?ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c sin(A, (1)若 6 ) 2cosA, 1 cosA ,b 3c 3 求A的值;(2)若，求sinC的值. tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的
29、符号“”；sin(A, ) 2cosA, sinA A, 解析:(1 (2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.) 6、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。6A 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。3 cosA 1 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。),b 3c, a2 b2,c2,2bccos(2 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即)3A 8c2,a 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。A 166.116.17期末总复习csinCsinA sinC （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一1由正弦定理得:sin，而 cos33。(也可以先推出直角三角形)