《浙江专版2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.5第二课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.5第二课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质.wps（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二课时 函数 y yA Asin(sin(xx) )的性质 预习课本 P5455，思考并完成以下问题 (1)在简谐运动中，yAsin(x)的初相、振幅、周期分别为多少？ (2)函数 yAsin(x)有哪些性质？ 新知初探 1函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义 点睛 当 A0 或 0 时，应先用诱导公式将 x的系数或三角函数符号前的数化为正 数，再确定初相 .如函数 ysin( 4)的初相不是 . 2x 4 2.函数 yAsin(x)(A0，0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 A ， A 2 周期性 T k 对称性中心 ( ，0)(kZ) k 2 对称轴 x (kZ)
2、 2 当 k (kZ)时是奇函数 奇偶性 当 k (kZ)时是偶函数 2 由 2k x2k ，kZ，解得 2 2 单调性 单调递增区间 3 由 2k x2k ，kZ，解得单调递减区间 2 2 1 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)函数 y 2sin(x)(0)的值域为 2， 2 ( ) (2)函数 yAsin(x)，xR 的最大值为 A.( ) (3)函数 y3sin(2x5)的初相为 5.( ) 答案：(1) (2) (3) 1 1 2函数 y sin x 的周期、振幅、初相分别是( ) 3 ( 6 ) 3 1 1 A3， B6， 3 6 3 6 C3，
3、3， D6，3， 6 6 答案：B 3函数 yAsin(x)1(A0，0)的最大值为 5，则 A( ) A5 B5 C4 D4 答案：C 4函数 f(x)sin( 的图象的对称轴方程是_ x 4 ) 3 答案：xk ，kZ 4 函数 yAsin(x)中参数的物理意义 典例 指出下列函数的振幅 A、周期 T、初相 . x (1)y2sin( 6)，xR； 2 (2)y6sin(2x 3)，xR. 2 解 (1)A2，T 4， . 1 6 2 2 2 (2)将原解析式变形，得 y6sin( 6sin )，则有 A6，T ， 2x 3) (2x 3 2 2 . 3 首先把函数解析式化为 yAsin(
4、x)(其中 A0，0)的形式，再求振幅、周期、 初相应注意 A0，0. 2 活学活用 已知简谐运动 f(x)2sin( 2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最 x)(| 3 小正周期 T 和初相 分别为( ) AT6， BT6， 6 3 CT6， DT6， 6 3 2 2 解析：选 A T 6， 3 1 图象过(0,1)点，sin . 2 ， . 2 2 6 由图象确定函数的解析式 典 例 如 图 是 函 数 y Asin(x ) ( A 0， 0，| 0，0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式 解：由图可得：A 3，T 2 2|MN|.从而 2， T 故 y 3sin(2x)， 2
5、将 M ( ，0)代入得 sin( )0， 3 3 2 2 取 ，得 y sin 3 ). 3 (2x 3 三角函数图象的对称性 2 典例 在函数 y2sin(4x 3 )的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是 _ 4 2 k 解析 设 4x k(kZ)，得 x (kZ) 3 4 6 2 k 函数 y2sin( 3 )图象的对称中心坐标为( ，0)(kZ) 4x 4 6 取 k1 得( ，0)满足条件 12 答案 ( ，0) 12 一题多变 1变条件，变设问将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离 y轴最近的一 条对称轴方程 2 k 解：由 4x k ，得 x ， 3 2 4
6、24 取 k0 时，x 满足题意 24 2变条件“将本例中 sin”“改为 cos”，其他条件不变，结果如何？ 2 1 解：由 4x k ，得 x k ， 3 2 4 24 取 k0 时，x . 24 则所求对称中心为( ，0). 24 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 yAsin(x) 令xk (kZ) 2 令 xk(kZ)求对称中心横坐 标 yAcos(x) 令 xk(kZ) 令 xk (kZ)求对称中心 2 横坐标 yAtan(x) 无 k 令 x (kZ)求对称中心横坐 2 标 层级一 学业水平达标 5 1简谐运动 y4sin( 3)的相位与初相是( ) 5x A5x
7、， B5x ，4 3 3 3 C5x ， D4， 3 3 3 解析：选 C 相位是 5x ，当 x0 时的相位为初相即 . 3 3 1 2 2最大值为 ，最小正周期为 ，初相为 的函数表达式是( ) 2 3 6 1 x 1 x Ay sin 6) By sin 6 ) 2 ( 2 ( 3 3 1 1 3x Cy sin 6) Dy2sin(3x 6 ) 2 ( 2 解析：选 D 由最小正周期为 ，排除 A、B；由初相为 ，排除 C. 3 6 1 3函数 y2sin( 的图象的一条对称轴是( ) x 3 ) Ax Bx 2 2 Cx Dx 6 6 5 解析：选 C 由 x k ，kZ，解得 xk
8、 ，kZ，令 k1，得 x 3 2 6 . 6 4下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) Aysin( 6 ) x Bysin( 6 ) 2x Cycos( 3 ) 4x Dycos( 6 ) 2x 解 析：选 D 设 yAsin(x)，显然 A1，又图象过点( ，0)，( ，1)，所以Error! 6 12 解得 2， 3.所以函数解析式为 ysin( cos . 2x 3) (2x 6 ) 5已知函数 f(x)sin(x 4)(0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( ) 6 A关于直线 x 8 对称 B关于点( ，0)对称 4 C关于直线 x 对称 D关于点 对称 4 ( ，0) 8
9、2 解析：选 A 依题意得 T ，2，故 f(x)sin 4)，所以 f(8 )sin (2x ( 2 3 2 4 ) 4) 2 (4 ) (2 sin 1，f sin sin ，因此该函数的图象关 8 4 4 2 于直线 x 8 对称，不关于点( ，0)和点( ，0)对称，也不关于直线 x 对称故选 A. 4 8 4 6y2sin( 3)的振幅为_，周期为_，初相 _. 3x 解析：y2sin( 3 ) 3x 2 2sin 2sin ， (3x 3 ) 3) (3x 2 A2，3， ， 3 2 2 T . 3 2 2 答案：2 3 3 7.已知函数 f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，
10、则 _. 解析：由题意设函数周期为 T， T 2 4 则 ，T . 4 3 3 3 3 2 3 . T 2 3 答案： 2 8函数 f(x)Asin( (A0，0)在一个周期内，当 x 时，函数 f(x)取得最 x 3 ) 12 7 大值 2，当 x 时，函数 f(x)取得最小值2，则函数解析式为_ 12 T 7 解析：由题意可知 A2. ， 2 12 12 2 7 2 T， ，即 2. f(x)2sin( 3). 2x 答案：f(x)2sin( 3 ) 2x 9求函数 ysin(2x 图象的对称轴、对称中心 3 ) k 解：令 2x k (kZ)，得 x (kZ) 3 2 2 12 k 令
11、2x k，得 x (kZ) 3 2 6 k k 即对称轴为直线 x (kZ)，对称中心为 ，0)(kZ) 12 ( 2 2 6 10如图为函数 f(x)Asin(x)( 的一个周期内的图象 A0，0，| 2 ) (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相 解：(1)由图，知 A2，T7(1)8， 2 2 4 ，f(x)2sin( x). T 8 4 将点(1,0)代入，得 02sin( ). 4 | ， ， 2 4 f(x)2sin( . x 4 ) 4 2 (2)由(1)，知 f(x)的最小正周期为 8， 4 1 频率为 ，振幅为 2，初相为 .
12、8 4 层级二 应试能力达标 2 1设 f(x)Asin(x)B(A0，0)的定义域为 R，周期为 ，初相为 ，值 3 6 域为1,3，则函数 f(x)的解析式为( ) 8 Ay2sin( 6)1 3x By2sin( 6)1 3x Cy2sin( 6)1 3x Dy2sin(3x 6)1 解析：选 A AB1，AB3， A2，B1， 2 2 T ， 3 3，又 ， 6 故 f(x)2sin( 6)1. 3x 2函数 f(x)cos(x)(0，0,2)的部分图象如图，则 f(2 017)( ) A1 B1 1 1 C D 2 2 T 解 析： 选 B 由题图可知， 2，所 以 T8，所以 .由
13、点(1,1)在函数图象上可得 f(1) 4 4 cos( )1，所以 2k(kZ)，所以 2k (kZ)，又 0,2)，所 7 7 2 017 7 4 4 4 以 .故 f(x) cos x ， f(2 017) cos 4 ) cos 506 4 ( 4 ) ( 4 4 cos(2532)1. 3已知函数 f(x)2sin( 6)，xR，若 f(x)1，则 x 的取值范围为( ) x A xk 3 x k，k Z B x2k 3 x 2k，k Z C xk 6 5 x k ，k Z 6 Dx2k 6 5 x 2k ，k Z 6 解析：选 B f(x)1，即 2sin(x 6)1， 9 1 x
14、 sin( 6) ， 2 5 2kx 2k，kZ. 6 6 6 解得 2kx2k，kZ. 3 2 A 0，0，| 4设函数 f(x)Asin(x)( 2)的图象关于直线 x 对称， 3 它的周期是 ，则( ) 1 Af(x)的图象过点( 2 ) 0， 5 2 Bf(x)在 3 上是减函数 ， 12 5 Cf(x)的一个对称中心是( ，0) 12 Df(x)的最大值是 A 2 解析：选 C 周期 T， ，2. 2 又 f(x)的图象关于直线 x 对称， 3 2 2 k，kZ，又| ， . 3 2 2 6 f(x)Asin( . 2x 6 ) A f(x)图象过点( 2 ). 0， 5 5 又当
15、x 时，2x 6 ，即 f (12 )0， 12 5 ( ，0)是 f(x)的一个对称中心 12 2 5在函数y2sin( 的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是_ 4x ) 3 2 解析：当 y0 时，sin( 0， 4x 3 ) 2 4x k，kZ， 3 k x ，kZ， 4 6 取 k0，则 x ，取 k1，则 x ， 6 12 离原点最近的交点坐标( ，0). 12 10 答案：( ，0) 12 6若函数 ysin( 4)(0)图象的对称轴中与 y轴距离最小的对称轴方程为 x x ，则实数 的值为_ 6 k 解析：令 x k，kZ，得函数图象的对称轴方程为 x ，kZ. 4 2
16、4 3 根据题意得 k0，所以 ，解得 . 4 6 2 3 答案： 2 7已知函数 f(x)2sin( 6)1(0，0)为偶函数，且函数 f(x)的 x 图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 (1)求 f (8 )的值； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 6 原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)的单调递减区间 解：(1)f(x)为偶函数， k (kZ)， 6 2 2 k (kZ) 3 2 又 0， ， 3 f(x)2sin( 12cos x1. x 2 ) 又函数 f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 ，
17、 2 2 T 2 ， 2 2，f(x)2cos 2x1， f (8 )2cos( 8)1 1. 2 2 (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 f 6)的图象，再将所得图象上 6 (x x 各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f ( 的图象， 6 ) 4 11 x x 所以 g(x)f ( 6)2cos 2( 6)1 4 4 x 2cos( 3)1. 2 x 当 2k 2k(kZ)， 2 3 2 8 即 4k x4k (kZ)时，g(x)单调递减 3 3 2 8 函数 g(x)的单调递减区间是 3 4k ，4k 3 (kZ) 8函数 f(x)Asin(x)( 2)的一段图象如图所示 A 0， 0，| 0)， 5 5 2m 5 3 知 k ，即 m k ，kZ. 5 10 2 2 2 3 m0，mmin . 2 3 故把 f(x)的图象向左至少平移 个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数 2 12