《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版.wps（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.12.1 平面向量的实际背景及基本概念 预习课本 P7476，思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量 AB 与向量 BA是相等向量吗？ (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0 与 0 的含义有什么区别？ 新知初探 1向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量 (2)向量的表示： 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如
2、AB ， 字母表示：用小写字母 a，b，c，表示，手写时必须加箭头 点睛 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段向量是规定了大小和方向的量， 有向线段是规定了起点和终点的线段 2向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度 (2)向量的长度表示：向量 AB ，a的长度分别记作：| AB | ， |a|. (3)特殊向量： 1 长度为 0 的向量为零向量，记作 0； 长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量 点睛 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向我们规定零向量的 方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同 3向量间的关
3、系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：ab. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于 b，记作 ab；规 定零向量与任一向量平行 点睛 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)两个向量能比较大小( ) (2)向量的模是一个正实数( ) (3)单位向量的模都相等( ) (4)向量 AB 与向量 BA是相等向量( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速 其中可以看成是向量的个数( ) A1 B2 C3
4、 D4 答案：B 3已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是( ) A也可以用 MN 表示 B方向是由 M 指向 N C始点是 M D终点是 M 答案：D 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与 ED 相等的向量有 _ 答案： AB ， DC 向量的有关概念 典例 有下列说法：向量 AB 和向量 BA长度相等；方向不同的两个向量一定不平 行；向量 BC 是有向线段；向量 0 0，其中正确的序号为_ 解析 对于，|AB |BA|AB，故正确； 2 对于，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故错误； 对于，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故错误； 对于，0 是一个向
5、量，而 0 是一个数量，故错误 答案 (1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 是否有大小；是否有方向 (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等 单位向量不一定相等，易忽略向量的方向 活学活用 有下列说法： 若向量 a 与向量 b 不平行，则 a 与 b 方向一定不相同； 若向量 AB ，CD 满足|AB |CD |，且 AB 与CD 同向，则 AB CD ； 若|a|b|，则 a，b 的长度相等且方向相同或相反； 由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行 其中正确说法的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解 析：选 A 对于，由共线向量的定义，
6、知两向量不平行，方向一定不相同，故正确； 对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由|a|b|，只能说明 a，b 的长度相 等，确定不了它们的方向，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误 向量的表示 典例 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量： OA ，使|OA |4 2，点 A 在点 O 北偏东 45； AB ，使|AB |4，点 B 在点 A 正东； 3 BC ，使|BC |6，点 C 在点 B 北偏东 30. 解 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与 纵向小方格数相等又|OA |4 2，小
7、方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵 向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量OA 如图所示 (2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且|AB |4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格 数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量 AB 如图所示 (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30处，且|BC |6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 35.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量 BC 如图所示 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依
8、据向量模的大小确定向量的终 点 必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例 关系作出向量 活学活用 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100千米到达 B 点，然后改变方向，向北偏西 40方向 行驶了 200 千米到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100千米到达 D 点作出向量 AB ， BC ，CD ， AD . 解：如图所示 共线向量或相等向量 4 典例 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 OA a， OB b，OC c. (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与 a
9、，b，c 相等的向量 解 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有OD ， BC ， AO ， FE . (2)与 a 共线的向量有 EF ， BC ，OD ， FE ，CB ， DO ， AO ， DA ， AD . (3)与 a 相等的向量有 EF ， DO ，CB ；与 b 相等的向量有 DC ， EO ， FA ；与 c 相 等的向量有 FO ， ED ， AB . 一题多变 1变设问本例条件不变，试写出与向量 BC 相等的向量 解：与向量 BC 相等的向量有OD ， AO ， FE . 2变条件，变设问在本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？ 解：由正六边形性质知，FOA 为等
10、边三角形，所以边长 AF|a|1. 寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反 向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向 共线 层级一 学业水平达标 1下列说法正确的是( ) A向量 AB CD 就是 AB 所在的直线平行于CD 所在的直线 B长度相等的向量叫做相等向量 C若 ab，bc，则 ac D共线向量是在一条直线上的向量 解 析：选 C 向量 AB CD 包含 AB 所在的直线与CD 所在的直线平行和重
11、合两种情况， 5 故 A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故 B 错；C 显然正确；共线向量可以 是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D 错 2.如图，在圆 O 中，向量OB ，OC ， AO 是( ) A有相同起点的向量 B共线向量 C模相等的向量 D相等的向量 解析：选 C 由图可知OB ，OC ， AO 是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选 C. 3向量 AB 与向量 BC 共线，下列关于向量 AC 的说法中，正确的为( ) A向量 AC 与向量 AB 一定同向 B向量 AC ，向量 AB ，向量 BC 一定共线 C向量 AC 与向量 BC 一定相
12、等 D以上说法都不正确 解 析：选 B 根据共线向量定义，可知 AB ， BC ， AC 这三个向量一定为共线向量，故 选 B. 4.如图，在ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，图中与 AE 平 行的向量有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 C 根据向量的基本概念可知与 AE 平行的向量有 BE ， FD ， FC ，共 3 个 5已知向量 a，b 是两个非零向量， AO ， BO 分别是与 a，b 同方向的单位向量，则下 列各式正确的是( ) A AO BO B AO BO 或 AO BO C AO 1 D|AO |BO | 解析：选 D 由于 a 与
13、 b 的方向不知，故 AO 与 BO 无法判断是否相等，故 A、B 选项均 错又 AO 与 BO 均为单位向量|AO |BO |，故 C 错 D 对 6已知|AB |1，|AC |2，若ABC90，则|BC |_. 解析：由勾股定理可知，BC AC2AB2 3，所以|BC | 3. 答案： 3 7设 a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是_(填序号) a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0. 解析：因为 a0，b0是单位向量，|a0|1，|b0|1， 6 所以|a0|b0|2. 答案： 8给出下列四个条件：ab；|a|b|；a 与 b 方向相反；|a|0 或|b|0.其 中能使
14、 ab 成立的条件是_(填序号) 解析：若 ab，则 a 与 b 大小相等且方向相同，所以 ab；若|a|b|，则 a 与 b 的大 小相等，而方向不确定，因此不一定有 ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若 a 与 b 方向相反，则有 ab；零向量与任意向量平行，所以若|a|0 或|b|0，则 ab. 答案： 9.如图，O 是正方形 ABCD 的中心 (1)写出与向量 AB 相等的向量； (2)写出与OA 的模相等的向量 解：(1)与向量 AB 相等的向量是 DC . (2)与OA 的模相等的向量有：OB ，OC ，OD ， BO ，CO ， DO ， AO . 10.一辆消防车从
15、A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2 千米到 D 地， 然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30方向行驶 2 千米 才到达 B 地 (1)在如图所示的坐标系中画出 AD ， DC ，CB ， AB . (2)求 B 地相对于 A 地的位移 解：(1)向量 AD ， DC ，CB ， AB 如图所示 (2)由题意知 AD BC . 所以 AD 綊 BC， 则四边形 ABCD 为平行四边形 所以 AB DC ，则 B 地相对于 A “地的位移为 在北偏东 60的方向距 A 地 6 千米” 层级二 应试能力达标 1.如图所示，
16、梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E，F 分别在 两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EFAB，则下列等式成立的是( ) A AD BC B AC BD C PE PF D EP PF 7 解析：选 D 根据相等向量的定义，分析可得： A 中， AD 与 BC 方向不同，故 AD BC 错误； B 中， AC 与 BD 方向不同，故 AC BD 错误； C 中， PE 与 PF 方向相反，故 PE PF 错误； D 中， EP 与 PF 方向相同，且长度都等于线段 EF 长度的一半，故 EP PF 正确 2下列说法正确的是( ) A若 ab，bc，则 ac B终
17、点相同的两个向量不共线 C若 ab，则 a 一定不与 b 共线 D单位向量的长度为 1 解析：选 D A 中，因为零向量与任意向量平行，若 b0，则 a 与 c 不一定平行B 中， 两向量终点相同，若夹角是 0或 180，则共线C 中，对于两个向量不相等，可能是长度 不相等，但方向相同或相反，所以 a 与 b 可能共线 3若 a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： |a|b|；ab；|a|0；|b|1. 其中正确的是( ) A B C D 解析：选 B a 为任一非零向量，所以|a|0，故正确；由向量、单位向量、平行向量 的概念易判断其他式子均错误故选 B. 4在ABC 中，点 D，E
18、 分别为边 AB，AC 的中点，则如图所示的向量 中 相等向量有( ) A一组 B二组 C三组 D四组 解析：选 A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE EA. 5四边形 ABCD 满足 AD BC ，且|AC |BD |，则四边形 ABCD 是_(填四边 形 ABCD 的形状) 解 析： AD BC ，ADBC 且|AD |BC |，四边形 ABCD 是平行四边形又|AC |BD |知该平行四边形对角线相等，故四边形 ABCD 是矩形 答案：矩形 6.如图，O 是正三角形 ABC 的中心，四边形 AOCD 和 AOBE 均为平行四 8 边形，则与向量 AD 相等的向量为_；与向量
19、OA 共线的向量为_；与向量OA 的模相等的向量为_(填图中所画出的向量) 解析：O 是正三角形 ABC 的中心，OAOBOC，易知四边形 AOCD 和四边形 AOBE 均为 菱形，与 AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为 DC ， EB ；与OA 的模相等的向量 为OB ，OC ， DC ， EB ， AD . 答案：OC DC ， EB OB ，OC ， DC ， EB ， AD 7如图，D，E，F 分别是正三角形 ABC 各边的中点 (1)写出图中所示向量与向量 DE 长度相等的向量 (2)写出图中所示向量与向量 FD 相等的向量 (3)分别写出图中所示向量与向量 DE ， F
20、D 共线的向量 解：(1)与 DE 长度相等的向量是 EF ， FD ， AF ， FC ， BD ， DA ，CE ， EB . (2)与 FD 相等的向量是CE ， EB . (3)与 DE 共线的向量是 AC ， AF ， FC ； 与 FD 共线的向量是CE ， EB ，CB . 2 8如图，已知函数 yx 的图象 l 与直线 m 平行，A(0， ， 2) y)是 m 上的点求 B(x， (1)x，y 为何值时， AB 0； (2)x，y 为何值时， AB 为单位向量 解：(1)要使 AB 0，当且仅当点 A 与点 B 重合，于是Error! (2)如图，要使得 AB 是单位向量，必须且只需|AB |1. 2 由 已知，lm 且点 A 的坐标是(0， ， 2) 2 所以 B1点的坐标是( ，0).在 RtAOB1中，有 2 | 2 2 AB |2|OA |2| OB |2(2 )2(2 )21， 1 1 9 即|AB |1. 1 上式表示，向量AB 是单位向量 1 2 同理可得，当 B2的坐标是( 时，向量 AB2也是单位向量 ， 2) 2 综上有，当Error!或Error!时，向量 AB 是单位向量 10