《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必.wps（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 23.43.4 平面向量共线的坐标表示 预习课本 P98100，思考并完成以下问题 如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？ 新知初探 平面向量共线的坐标表示 前提条件 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0 结论 当且仅当 x1y2 x2y1 0 时，向量 a、b(b0)共线 x1 y1 点睛 (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成 (x20，y20)，即两个不平行于 x2 y2 坐标轴的共线向量的对应坐标成比例； (2)当 a0，b0 时，ab，此时 x1y2x2y10 也成立，即对任意向量 a，b都 有：x1y2 x2y10ab. 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打
2、”“，错误的打 ”) (1)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 ab，则必有 x1y2x2y1.( ) (2)向量(2,3)与向量(4，6)反向( ) 答案：(1) (2) 2若向量 a(1,2)，b(2,3)，则与 ab共线的向量可以是( ) A(2,1) B(1,2) C(6,10) D(6,10) 答案：C 3已知 a(1,2)，b(x,4)，若 ab，则 x等于( ) 1 1 A B. C2 D2 2 2 答案：D 4已知向量 a(2,3)，ba，向量 b的起点为 A(1,2)，终点 B在 x轴上，则点 B的坐 标为_ 7 答案：( ，0 ) 3 1 向量共线的判定 典例 (
3、1)已知向量 a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则 的值等于( ) 1 1 A. B. C1 D2 2 3 (2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断 AB 与 CD 是否共线？如果共线， 它们的方向相同还是相反？ 解析 (1)法 一：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1) 1 (22，2)，由(a2b)(2a2b)可得 2(12)4(22)0，解得 . 2 法二：假设 a，b 不共线，则由(a2b)(2a2b)可得 a2b(2a2b)，从而Error!方 程组显然无解，即 a2b 与 2a2b 不共线，这与(a2b
4、)(2a2b)矛盾，从而假设不成立， 1 2 1 故应有 a，b 共线，所以 ，即 . 1 2 答案 A (2)解 AB (0,4)(2,1)(2,3)，CD (5，3)(1,3)(4，6)， (2)(6)340， AB ，CD 共线 又CD 2AB ， AB ，CD 方向相反 综上， AB 与CD 共线且方向相反 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由 ab(b0)推出 ab. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2x2y10 直接求解 活学活用 已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行，平行时它们的方向相 同还是相反？ 解：kabk(1,2)(
5、3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， 若 kab 与 a3b 平行，则4(k3)10(2k2)0， 1 1 1 解得 k ，此时 kab ab (a3b)，故 kab 与 a3b 反向 3 3 3 1 k 时，kab 与 a3b 平行且方向相反 3 三点共线问题 2 典例 (1)已知OA (3,4)，OB (7,12)，OC (9,16)，求证：A，B，C 三点共线； (2)设向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点 共线？ 解 (1)证明： AB OB OA (4,8)， AC OC OA (6,12)
6、， 3 AC AB ，即 AB 与 AC 共线 2 又 AB 与 AC 有公共点 A，A，B，C 三点共线 (2)若 A，B，C 三点共线，则 AB ， AC 共线， AB OB OA (4k，7)， AC OC OA (10k，k12)， (4k)(k12)7(10k)0. 解得 k2 或 k11. 有关三点共线问题的解题策略 (1)要判断 A，B，C 三点是否共线，一般是看 AB 与 BC ，或 AB 与 AC ，或 AC 与 BC 是否共线，若共线，则 A，B，C 三点共线； (2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用 AC BC ，或 AB BC ， 或 AB AC 都
7、是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式 活学活用 设点 A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当 x 为何值时， AB 与CD 共线且方向相同， 此时，A，B，C，D 能否在同一条直线上？ 解： AB (2x,2)(x,1)(x,1)， BC (1,2x)(2x,2)(12x,2x2)， CD (5,3x)(1,2x)(4，x) 由 AB 与CD 共线，所以 x214，所以 x2. 又 AB 与CD 方向相同，所以 x2. 此时， AB (2,1)， BC (3,2)， 而 2231，所以 AB 与 BC 不共线， 所以 A，B，C 三点不在同一条直线上 所以 A，B
8、，C，D 不在同一条直线上 向量共线在几何中的应用 3 题点一：两直线平行判断 1. 如图所示，已知直角梯形 ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点 C 作 CE AB 于 E，用向量的方法证明：DEBC； 证明：如图，以 E 为原点，AB 所在直线为 x 轴，EC 所在直线为 y 轴建立 直角坐标系， 设|AD |1，则|DC |1，|AB |2. CEAB，而 ADDC， 四边形 AECD 为正方形， 可求得各点坐标分别为 E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1) ED (1,1)(0,0)(1,1)， BC (0,1)(1,0)(1,1)， ED BC ， ED BC
9、，即 DEBC. 题点二：几何形状的判断 2已知直角坐标平面上四点 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形 ABCD 是 等腰梯形 证明：由已知得， AB (4,3)(1,0)(3,3)， CD (0,2)(2,4)(2，2) 3(2)3(2)0， AB 与CD 共线 AD (1,2)， BC (2,4)(4,3)(2,1)， (1)12(2)0， AD 与 BC 不共线 四边形 ABCD 是梯形 BC (2,1)， AD (1,2)， |BC | 5|AD |，即 BCAD. 故四边形 ABCD 是等腰梯形 题点三：求交点坐标 3. 如图所示，已知点 A(4,0
10、)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标 解：法一：设OP tOB t(4,4) (4t,4t)， 则 AP OP OA (4t,4t)(4,0)(4t4,4t)， AC OC OA (2,6)(4,0)(2,6) 由 AP ， AC 共线的条件知(4t4)64t(2)0， 4 3 解得 t .OP (3,3) 4 P 点坐标为(3,3) 法二：设 P(x，y)， 则OP (x，y)，OB (4,4) OP ，OB 共线， 4x4y0. 又CP (x2，y6)，CA(2，6)， 且向量CP ，CA共线， 6(x2)2(6y)0. 解组成的方程组，得 x3，y3， 点
11、 P 的坐标为(3,3) 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 层级一 学业水平达标 1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) Ae1(0,0)，e2(1，2) Be1(1,2)，e2(5,7) Ce1(3,5)，e2(6,10) 1 3 De1(2，3)，e2( ，4) 2 1 解 析：选 B A 中向量 e1为零向量，e1e2；C 中 e1 e2，e1e2；D 中 e14e2，e1 2 e2，故选 B. 2已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a(2，)，若 a AB ，则实数 的值为( ) 2 3 A B. 3 2 5 2 3 C. D 3 2 解析：选
12、C 根据 A，B 两点的坐标，可得 AB (3,1)， 2 a AB ，2130，解得 ，故选 C. 3 3已知 A(2，1)，B(3,1)，则与 AB 平行且方向相反的向量 a 是( ) A(2,1) B(6，3) C(1,2) D(4，8) 解析：选 D AB (1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)与(1,2)不平行；(4， 8)与(1,2)平行且方向相反 4已知向量 a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，则实数 x 的值为( ) A3 B2 C4 D6 解 析： 选 D 因为(ab)(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，所以 4(x3) (x6)0，解
13、得 x6. 3 1 5设 a( ，b 3)，且 ab，则锐角 为( ) ，tan ) (cos ， 2 A30 B60 C45 D75 解析：选 A ab， 3 1 tan cos 0， 2 3 1 即 sin ，30. 2 6已知向量 a(3x1,4)与 b(1,2)共线，则实数 x 的值为_ 解析：向量 a(3x1,4)与 b(1,2)共线， 2(3x1)410，解得 x1. 答案：1 7已知 A(1,4)，B(x，2)，若 C(3,3)在直线 AB 上，则 x_. 解析： AB (x1，6)， AC (4，1)， AB AC ，(x1)240，x23. 答案：23 8已知向量a(1,2)
14、，b(2,3)，若ab与ab共线，则与的关系是_ 解析：a(1,2)，b(2,3)， 6 ab(1,2)(2,3)(1,5)， ab(1,2)(2,3)(2，23)， 又(ab)(ab)， 1(23)5(2)0， . 答案： 1 1 9已知 A，B，C 三点的坐标为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且 AE AC ， BF 3 3 BC ，求证： EF AB . 证明：设 E，F 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 依题意有 AC (2,2)， BC (2,3)， AB (4，1) 1 1 AE AC ，(x11，y1) (2,2) 3 3 1 2 点 E 的坐标为( 3). ，
15、 3 7 8 2 同理点 F 的坐标为( ，0 )， EF ( 3). ， 3 3 8 2 又3(1)4( 3 )0， EF AB . 10已知向量 a(2,1)，b(1,1)，c(5,2)，mbc( 为常数) (1)求 ab； (2)若 a 与 m 平行，求实数 的值 解：(1)因为 a(2,1)，b(1,1)， 所以 ab(2,1)(1,1)(3,2) (2)因为 b(1,1)，c(5,2)， 所以 mbc(1,1)(5,2)(5，2) 又因为 a(2,1)，且 a 与 m 平行， 所以 2(2)5，解得 1. 层级二 应试能力达标 1已知平面向量 a(x,1)，b(x，x2)，则向量 a
16、b( ) A平行于 x 轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于 y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线 解析：选 C 因为 ab(0,1x2)，所以 ab 平行于 y 轴 2若 A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则 y( ) A13 B13 7 C9 D9 解析：选 D A，B，C 三点共线， AB AC ，而 AB (8,8)， AC (3，y6)， 8(y6)830，即 y9. 3已知向量 a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么( ) Ak1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 c 与 d 反向 Ck1 且 c 与 d 同向 Dk1 且
17、c 与 d 反向 解 析： 选 D a(1,0)，b(0,1)，若 k1，则 cab(1,1)，dab(1，1)， 显然，c 与 d 不平行，排除 A、B.若 k1，则 cab(1,1)，dab(1,1)， 即 cd 且 c 与 d 反向 4已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，则第四个顶点的 坐标是( ) A(1,5)或(5,5) B(1,5)或(3，5) C(5，5)或(3，5) D(1,5)或(5，5)或(3，5) 解析：选 D 设 A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，第四个顶点为 D， 若这个平行四边形为ABCD， 则 AB DC ，D(3，5)；
18、 若这个平行四边形为ACDB， 则 AC BD ，D(5，5)； 若这个平行四边形为ACBD， 则 AC DB ，D(1,5) 综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，5)或(3，5) 5已知 AB (6,1)， BC (x，y)，CD (2，3)， BC DA ，则 x2y 的值为 _ 解析： AD AB BC CD (6,1)(x，y)(2，3) (x4，y2)， DA AD (x4，y2)(x4，y2) BC DA ， x(y2)(x4)y0，即 x2y0. 答案：0 6已知向量OA (3，4)，OB (6，3)，OC (5m，3m)若点 A，B，C 8 能构成三角形，则实数 m 应满足
19、的条件为_ 解析：若点 A，B，C 能构成三角形，则这三点不共线，即 AB 与 AC 不共线 AB OB OA (3,1)， AC OC OA (2m,1m)， 1 3(1m)2m，即 m . 2 1 答案：m 2 7已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b) (1)若 A，B，C 三点共线，求 a 与 b 之间的数量关系； (2)若 AC 2AB ，求点 C 的坐标 解：(1)若 A，B，C 三点共线，则 AB 与 AC 共线 AB (3，1)(1,1)(2，2)， AC (a1，b1)， 2(b1)(2)(a1)0，ab2. (2)若 AC 2AB ，则(a1，b1)(4，4)， Error!Error! 点 C 的坐标为(5，3) 8.如 图 所 示 ，在 四 边 形 ABCD 中 ，已 知 A(2,6)，B(6,4)， C(5,0)， D(1,0)，求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标 解：设 P(x，y)，则 DP (x1，y)， DB (5,4)，CA(3,6)， DC (4,0) 由 B，P，D 三点共线可得 DP DB (5，4) 又CP DP DC (54,4)， 由于CP 与CA共线得，(54)6120. 4 解得 ， 7 4 20 16 DP DB ， 7 ( ， 7 ) 7 27 16 P 的坐标为( . ， 7 ) 7 9