《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人.wps（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 24.24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 预习课本 P106107，思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么？ (2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ 新知初探 1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与 b的夹角为 . 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 abx1x2y1y2 向量垂直 abx1x2y1y20 点睛 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和” 2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1)向量的模：设 a(x，y)，则|a| x2y2. (2)两 点 间
2、 的 距 离 公 式 ： 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 |AB | x1x22y1y22. (3)向量的夹角公式：设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与 b的夹角为 ， ab x1x2y1y2 则 cos . |a|b| 2y x21y21 x 2 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”，错误的打“”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和( ) (2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.( ) (3)若两个非零向量的夹角 满足 cos 0，则两向量的夹角 一定是钝角( ) 答案：(1) (2) (3) 2已知 a(3
3、,4)，b(5,2)，则 ab的值是( ) A23 B7 C23 D7 答案：D 3已知向量 a(x5,3)，b(2，x)，且 ab，则由 x的值构成的集合是( ) 1 A2,3 B1,6 C2 D6 答案：C 4已知 a(1， 3)，b(2,0)，则|ab|_. 答案：2 平面向量数量积的坐标运算 典例 (1)(全国卷 )向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a( ) A1 B0 C1 D2 (2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB (1， 2)， AD (2,1)，则 AD AC ( ) A5 B4 C3 D2 解析 (1)a(1，
4、1)，b(1,2)， (2ab)a(1,0)(1，1)1. (2)由 AC AB AD (1，2)(2,1)(3，1)，得 AD AC (2,1)(3， 1)5. 答案 (1)C (2)A 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开， 再依据已知计算 活学活用 已知向量 a 与 b 同向，b(1,2)，ab10. (1)求向量 a 的坐标； (2)若 c(2，1)，求(bc)a. 解：(1)因为 a 与 b 同向，又 b(1,2)， 所以 ab(，2)
5、 又 ab10，所以 12210，解得 20. 因为 2 符合 a 与 b 同向的条件，所以 a(2,4) 2 (2)因为 bc122(1)0， 所以(bc)a0a0. 向量的模的问题 典例 (1)设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则 |ab|( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 (2)已知点 A(1，2)，若向量 AB 与 a(2,3)同向，|AB |2 13，则点 B 的坐标是 _ 解析 (1)由Error!Error!Error! a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1) |ab| 10. (2)由题意可设 AB a(0)， AB
6、(2，3)又|AB |2 13， (2)2(3)2(2 13)2，解得 2 或2(舍去) AB (4,6)又 A(1，2)，B(5,4) 答案 (1)B (2)(5,4) 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算： 利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题 (2)坐标表示下的运算： 若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a| x2y2. 活学活用 1已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( 3，0)，则|2ab|的最大值为_ 解析：2ab(2cos 3，2sin )， |2ab| 2cos 322sin 2 4cos24 3cos 34s
7、in2 74 3cos ， 当且仅当 cos 1 时，|2ab|取最大值 2 3. 答案：2 3 3 2已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(ab)b，则|c|_. 解析：a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4) 6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)， |c| 82 828 2. 答案：8 2 向量的夹角和垂直问题 典例 (1)已知 a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数 _. (2)已知 a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c 与 d 的夹角为 ，则实数 k 4 的值为_ 解析 (1)a(3,2)，b(1,2)， ab(
8、3，22) 又(ab)b， (ab)b0， 即(3)(1)2(22)0， 1 解得 . 5 (2)cakb(2k,1k)，dab(1,0)， 2 2k 11k 0 2 由 cos 得 ， 4 2 2k21k2 1202 2 3 (2k)2(k1)2，k . 2 1 3 答案 (1) (2) 5 2 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 ab 以及|a|b|，再 由 cos ab x1x2y1y2 求出 cos ，也可由坐标表示 cos 直接求出 cos .由三角函数值 |a|b| x21y21 x2y 2 cos 求角 时，应注意角 的取值范围
9、是 0. ab (2)由于 0，利用 cos 来判断角 时，要注意 cos 0也有两种情况：一是 为锐角，二是 0. 活学活用 4 已知平面向量 a(3,4)，b(9，x)，c (4，y)，且 ab，ac. (1)求 b 与 c； (2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小 解：(1)ab，3x49，x12. ac，344y0，y3， b(9,12)，c(4，3) (2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)， nac(3,4)(4，3)(7,1) 设 m，n 的夹角为 ， mn 则 cos |m|n| 3 7 4 1 32 42 7212 25 2 . 25 2 2 3 0，
10、 ， 4 3 即 m，n 的夹角为 . 4 求解平面向量的数量积 典例 已知点 A，B，C 满足|AB |3，|BC |4，|CA|5，求 AB BC BC CACAAB 的值 解 法一 定义法 3 4 如图，根据题意可得ABC 为直角三角形，且 B ，cos A ，cos C ， 2 5 5 AB BC BC CACAAB BC CACAAB 45cos(C)53cos(A) 20cos C15cos A 4 3 20 15 5 5 25. 法二 坐标法 如图，建立平面直角坐标系， 则 A(3,0)，B(0,0)，C(0,4) AB (3,0)， BC (0,4)，CA(3，4) 5 AB
11、BC 30040， BC CA034(4)16， CAAB 3(3)(4)09. AB BC BC CACAAB 016925. 法三 转化法 |AB |3，|BC |4，|AC |5， ABBC， AB BC 0， AB BC BC CACAAB CA(AB BC ) CAAC |AC |225. 求平面向量数量积常用的三个方法 (1)定义法：利用定义式 ab|a|b|cos 求解； (2)坐标法：利用坐标式 abx1x2y1y2解题； (3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式 进行化简，然后进行计算 活学活用 如果正方形 OABC 的边长为 1，点
12、D，E 分别为 AB，BC 的中点，那么 cosDOE 的值为_ 解析：法一： 以 O 为坐标原点，OA，OC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角 1 1 坐标系，如图所示，则由已知条件，可得 OD ( 2 )， OE ( ，1 ). 1， 2 1 1 1 1 2 2 4 故 cosDOE . | 5 5 5 2 2 1 法二：OD OA AD OA OC ， 2 1 OE OC CE OC OA ， 2 5 5 |OD | ，|OE | ， 2 2 1 1 OD OE OA 2 OC 21， 2 2 6 4 cosDOE . | 5 4 答案： 5 层级一 学业水平达标 1已知向量
13、 a(0，2 3)，b(1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B3 C 3 D3 ab 6 解析：选 D 向量 a 在 b 方向上的投影为 3.选 D. |b| 2 2设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 解析：选 B 由 ab 得 ab0， x11(2)0，即 x2， ab(3，1)， |ab| 32 12 10. 3已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k( ) A12 B6 C6 D12 解 析： 选 D 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由 a(2ab)0，得(
14、2,1)(5,2k) 0，102k0，解得 k12. 4a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于( ) 8 8 A B 65 65 16 16 C D 65 65 解 析： 选 C 设 b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以Error!解得Error!故 b ab 16 (5,12)，所以 cosa，b . |a|b| 65 5已知 A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC 的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 解 析：选 A 由题设知 AB (8，4)， AC (2,4)， BC (
15、6,8)， AB AC 28(4)40，即 AB AC . 7 BAC90， 故ABC 是直角三角形 6设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_. 解 析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即 3(m1)3m0，解得 m 1 ，则 a(1，1)，故|a| 2. 2 答案： 2 7已知向量 a(1， 3)，2ab(1， 3)，a 与 2ab 的夹角为 ，则 _. 解析：a(1， 3)，2ab(1， 3) ， |a|2，|2ab|2，a(2ab)2， a2ab 1 cos ， . |a|2ab| 2 3 答案： 3 8已知向量 a( 3，1)，b
16、 是不平行于 x 轴的单位向量，且 ab 3，则向量 b 的坐标 为_ 1 3 解析：设 b(x，y)(y0)，则依题意有Error!解得Error!故 b( 2). ， 2 1 答案：( ， 2 3 2) 9已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)，xR. (1)若 ab，求 x 的值； (2)若 ab，求|ab|. 解：(1)若 ab， 则 ab(1，x)(2x3，x) 1(2x3)x(x)0， 即 x22x30，解得 x1 或 x3. (2)若 ab，则 1(x)x(2x3)0， 即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)， ab(2,0)，
17、|ab|2. 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)， ab(2，4)，|ab| 4162 5. 综上，|ab|2 或 2 5. 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,4)，B(2,3)，C(2，1) (1)求 AB AC 及|AB AC |； (2)设实数 t 满足(AB tOC )OC ，求 t 的值 8 解：(1) AB (3，1)， AC (1，5)， AB AC 31(1)(5)2. AB AC (2，6)， |AB AC | 4362 10. (2) AB tOC (32t，1t)，OC (2，1)，且(AB tOC )OC ， (AB tOC )OC 0， (32t
18、)2(1t)(1)0， t1. 层级二 应试能力达标 1 1 1设向量 a(1,0)，b( ， ，则下列结论中正确的是( ) 2 ) 2 A|a|b| Bab 2 2 Cab 与 b 垂直 Dab 1 1 2 1 解 析：选 C 由题意知|a| 12021，|b| (2 )2(2 )2 ，ab1 0 2 2 1 1 1 1 ，(ab)bab|b|2 0，故 ab 与 b 垂直 2 2 2 2 2已知向量OA (2,2)，OB (4,1)，在 x 轴上有一点 P，使 AP BP 有最小值，则 点 P 的坐标是( ) A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0) 解析：选 C 设 P(x
19、,0)，则 AP (x2，2)， BP (x4，1)， AP BP (x2)(x4)2x26x10(x3)21， 故当 x3 时， AP BP 最小，此时点 P 的坐标为(3,0) 3若 a(x,2)，b(3,5)，且 a 与 b 的夹角是钝角，则实数 x 的取值范围是( ) 10 10 A.( 3) B.( 3 ， ， 10 10 C.( ，) D. ，) 3 3 10 6 解 析： 选 C x 应满足(x,2)(3,5)0 且 a，b 不共线，解得 x ，且 x ，x 3 5 10 . 3 4已知OA (3,1)，OB (0,5)，且 AC OB ， BC AB (O 为坐标原点)，则 点
20、 C 的坐标是( ) 9 29 29 A.( 4) B.( 4 ) 3， 3， 29 29 C.(3， 4) D.( 4 ) 3， 解析：选 B 设 C(x，y)，则OC (x，y) 又OA (3,1)， AC OC OA (x3，y1) AC OB ， 5(x3)0(y1)0，x3. OB (0,5)， BC OC OB (x，y5)， AB OB OA (3,4) 29 BC AB ，3x4(y5)0，y ， 4 29 C 点的坐标是( . 3， 4 ) 5平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角， 则 m_. 解析：因为向量
21、a(1,2)，b(4,2)，所以 cmab(m4,2m2)，所以 acm4 2(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20. ca cb ac bc 5m8 因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，所以 ，即 ，所 以 |c|a| |c|b| |a| |b| 5 8m20 ， 2 5 解得 m2. 答案：2 6已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为_； DE DC 的最大值为_ 解析： 以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所 示 则 D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)， 设 E(1，a)(0a1) 所
22、以 DE CB (1，a)(1,0)1， DE DC (1，a)(0,1)a1， 故 DE DC 的最大值为 1. 答案：1 1 10 7已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2) (1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标； 5 (2)若|b| ，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a 与 b 的夹角 . 2 解：(1)设 c(x，y)，|c|2 5， x2y22 5， x2y220. 由 ca 和|c|2 5， 可得Error!解得Error!或Error! 故 c(2,4)或 c(2，4) (2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0， 即 2a23ab2b20
23、， 5 5 253ab2 0，整理得 ab ， 4 2 ab cos 1. |a|b| 又 0，. 8已知OA (4,0)，OB (2,2 3)，OC (1)OA OB (2) (1)求OA OB 及OA 在OB 上的投影； (2)证明 A，B，C 三点共线，且当 AB BC 时，求 的值； (3)求|OC |的最小值 8 1 解：(1)OA OB 8，设OA 与OB 的夹角为 ，则 cos ， | | 4 4 2 1 OA 在OB 上的投影为|OA |cos 4 2. 2 (2)AB OB OA (2,2 3)， BC OC OB (1)OA (1)OB (1)AB ，所以 A，B，C 三点共线 当 AB BC 时，11，所以 2. (3)|OC |2(1)2OA2 2(1)OA OB 2OB2 1 162161616( 212， 2) 1 当 时，|OC |取到最小值，为 2 3. 2 11