浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案新人教A版必修4201.wps

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1、2.52.5 平面向量应用举例 预习课本 P109112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ 新知初探 1“”用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)“”把运算结果 翻译 成几何关系 2向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等 (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中 (3)动量 mv 是向量的数乘

2、运算 (4)功是力 F 与位移 s 的数量积 小试身手 1若向量 OF (2,2)，OF (2,3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1F2|为( ) 1 2 A(0,5) B(4，1) C2 2 D5 答案：D 2在四边形 ABCD 中， AB BC 0， BC AD ，则四边形 ABCD 是( ) A直角梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案：C 1 3力 F(1，2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s(3,4)，则力 F 对质点 P 做的 功是_ 答案：11 向量在几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求

3、证：AFDE. 证明：法一：设 AD a， AB b， 则|a|b|，ab0， 1 又 DE DA AE a b， 2 1 AF AB BF b a， 2 1 1 1 3 1 1 1 所以 AF DE ( a)( b) a 2 ab b2 |a|2 |b|20.故 AF b a 2 2 2 4 2 2 2 DE ，即 AFDE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)， AF (2,1)， DE (1，2) 因为 AF DE (2,1)(1，2)220， 所以 AF DE ，即 AFDE. 题点二：平面几何中的平行(或

4、共线)问题 CE AF 1 2. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且 . ED FB 2 求证：点 E，O，F 在同一直线上 证明：设 AB m， AD n， CE AF 1 由 ，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点， ED FB 2 1 1 FO FA AO BA AC 3 2 1 1 1 1 m (mn) m n， 3 2 6 2 1 1 OE OC CE AC CD 2 3 2 1 1 1 1 (mn) m m n. 2 3 6 2 FO OE . 又 O为 FO 和OE 的公共点，故点 E，O，F在同一直线上 题点三：平面几何中的

5、长度问题 3.如图，平行四边形 ABCD中，已知 AD1，AB2，对角线 BD2，求对角线 AC 的长 解：设 AD a， AB b，则 BD ab， AC ab， 而|BD |ab| a22abb2 142ab 52ab2， 1 52ab4，ab ，又|AC |2|ab|2a22abb2142ab6， 2 |AC | 6，即 AC 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 典例 (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力 F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一

6、质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2分别对质点所做的功 解 (1) 如图，设 AB 表示水流的速度， AD 表示渡船的速度， AC 表示渡船实际垂直 过江的速度 因为 AB AD AC ，所以四边形 ABCD为平行四边形 在 RtACD中，ACD90，|DC |AB |12.5，|AD | 25， 所以CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30. (2)设物体在力 F作用下的位移为 s，则所做的功为 WFs. AB (7,0)(20,15)(13，15) 3 W1F1AB (3,4)(13，15) 3(13)4(15)99(焦)， W2F2AB

7、 (6，5)(13，15) 6(13)(5)(15)3(焦) 一题多变 1变设问本例(2)条件不变，求 F1，F2的合力 F 为质点所做的功 解：WFAB (F1F2)AB (3,4)(6，5)(13，15)(9，1)( 13，15)9(13)(1)(15)11715102(焦) 2变条件本例(2)条件变为：两个力 F1ij，F24i5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量) 求：F1， F2分别对该质点做的功 解： AB (7,0)(20,15)(13，15)， F1做的功 W1F1sF1AB (1,

8、1)(13，15)28(焦) F2做的功 W2F2sF2AB (4，5)(13，15)23(焦) “”用向量方法解决物理问题的 三步曲 层级一 学业水平达标 1已知三个力 f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点， 为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4( ) A(1，2) B(1，2) C(1,2) D(1,2) 解析：选 D 由物理知识知 f1f2f3f40，故 f4(f1f2f3)(1,2) 2人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( ) Av1v2 Bv1v2 v1 C|v1|v2| D.|v2 | 解析：选 B 由向量的加法法则

9、可得逆风行驶的速度为 v1v2.注意速度是有方向和大小 的，是一个向量 4 7 1 1 7 3已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A( 3)，B( ，C ，D ，则四 1， ，2) 1， ，2) ( 3 ) ( 2 2 边形 ABCD 是( ) A梯形 B平行四边形 C矩形 D菱形 8 解析：选 A AB ( 3 )， DC (3,4)， 2， 2 AB DC ， AB DC ，即 ABDC. 3 64 10 又|AB | 4 ，|DC | 5， 916 9 3 |AB | DC |，四边形 ABCD 是梯形 4在ABC 中，AB3，AC 边上的中线 BD 5， AC AB 5，则 AC 的长

10、为( ) A1 B2 C3 D4 1 解析：选 B BD AD AB AC AB ， 2 1 1 BD2( 2 AC 2 AC AB AB 2 ， ) 2 4 1 即 AC 2 1.|AC |2，即 AC2. 4 5已知ABC 满足 AB 2 AB AC BABC CACB ，则ABC 是( ) A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 解析：选 C 由题意得， AB 2 AB AC AB CB CACB AB (AC CB )CACB AB 2CACB ， CACB 0，CACB ， ABC 是直角三角形 6已知力 F(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(2

11、,3)，则力 F 对物体所 做的功是_ 解析： AB (4,3)， WFsFAB (2,3)(4,3)891. 答案：1 7用两条成 120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的拉 5 力大小为_ N. 解析： 如图，由题意，得AOCCOB60，|OC |10， 则|OA |OB |10，即每根绳子的拉力大小为 10 N. 答案：10 8已知A，B是圆心为C，半径为 5的圆上的两点，且|AB| 5，则 AC CB _. 解析：由弦长|AB| 5，可知ACB60， 5 AC CB CACB |CA|CB |cosACB . 2 5 答案： 2 9已知ABC 是直角三角形

12、，CACB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE2EB.求 证：ADCE. 证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 设 ACa，则 A(a,0)，B(0，a)， a 1 2 D( 2 )，C(0,0)，E( . 0， a) a， 3 3 a 所以 AD ( 2)， a， 1 2 CE ( a). a， 3 3 1 a 2 所以 AD CE a a a0， 3 2 3 所以 AD CE ，即 ADCE. 10已知点 A(2，1)求过点 A 与向量 a(5,1)平行的直线方程 解：设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则 AP (x2，y1) 由

13、题意知 AP a，故 5(y1)(x2)0， 即 x5y70. 故过点 A 与向量 a(5,1)平行的直线方程为 x5y70. 层级二 应试能力达标 1已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的 6 速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A10 m/s B2 26 m/s C4 6 m/s D12 m/s 解 析：选 B 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| 2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10， |v2| v22vv1v212 26(m/s) 1 2在ABC 中，AB3，AC2， B

14、D BC ，则 AD BD 的值为( ) 2 5 5 A B. 2 2 5 5 C D. 4 4 1 1 解 析：选 C 因为 BD BC ，所以点 D 是 BC 的中点，则 AD (AB AC )， BD 2 2 1 2 1 1 1 1 BC (AC AB )， 所 以 AD BD (AB AC ) (AC AB ) (AC 2 2 2 2 4 1 5 AB ) (2232) ，选 C. 2 4 4 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2B，C2点，E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上， 若 AB AF 2，则 AE BF 的值是( ) A. 2 B2 C0 D1 解析：选 A A

15、F AD DF ， AB AF AB (AD DF ) AB AD AB DF AB DF 2|DF | 2，|DF |1，|CF | 21， AE BF (AB BE )(BC CF ) AB CF BE BC 2( 21)122 22 2，故选 A. 4.如图，设 P 为ABC 内一点，且 2PA2PB PC 0，则 SABPSABC( ) 1 2 A. B. 5 5 1 1 C. D. 4 3 解析：选 A 设 AB 的中点是 D. 1 PA PB 2PD PC ， 2 7 1 PD PC ， 4 P 为 CD 的五等分点， 1 ABP 的面积为ABC 的面积的 . 5 5若 O 为AB

16、C 所在平面内一点，且满足(OB OC )(OB OC 2OA )0，则 ABC 的形状为_ 解析：(OB OC )(OB OC 2OA ) (AB AC )(OB OA OC OA ) (AB AC )(AB AC ) |AB |2|AC |20， |AB |AC |. 答案：等腰三角形 6.如图所示，在倾斜角为 37(sin 370.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg的物体 m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5倍，则 斜面 对 物 体 m 的 支 持 力 所 做 的 功 为 _J， 重 力 所 做 的 功 为 _J(g9.8 m/s2) 2 10 解析

17、：物体 m 的位移大小为|s| (m)， sin 37 3 则支持力对物体 m 所做的功为 W1Fs|F|s|cos 900(J)； 重力对物体 m 所做的功为 10 W2Gs|G|s|cos 5359.8 0.698(J) 3 答案：0 98 7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力 F1，F2，F3的作用，沿北偏东 45的方向 移动了 8m，其中|F1|2N，方向为北偏东 30；|F2|4N，方向为北偏东 60；|F3|6N， 方向为北偏西 30，求合力 F 所做的功 解：以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则 F1(1， 3)，F2(2 3，2)，F

18、3(3,3 3)，所以 FF1F2F3(2 3 2,2 4 3)又位移 s(4 2，4 2)，故合力 F 所做的功为 WFs (2 32)4 2(24 3)4 2 4 26 3 24 6(J) 8 即合力 F 所做的功为 24 6 J. 8.如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G 为 BE 与 DF 的交点若 AB a， AD b. (1)试以 a，b 为基底表示 BE ， DF ； (2)求证：A，G，C 三点共线 1 解：(1)BE AE AB ba， 2 1 DF AF AD ab. 2 (2)证明：因为 D，G，F 三点共线，则 DG DF ， 1 即

19、AG AD DF a(1)b. 2 因为 B，G，E 三点共线，则 BG BE ， 1 即 AG AB BE (1)a b， 2 由平面向量基本定理知Error! 2 解得 ， 3 1 1 AG (ab) AC ， 3 3 所以 A，G，C 三点共线 (时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.在五边形 ABCDE 中(如图)， AB BC DC ( ) A AC B AD C BD D BE 解析：选 B AB BC DC AC CD AD . 2已知平面向量 a(2，1)

20、，b(1,3)，那么|ab|等于( ) A5 B. 13 9 C. 17 D13 解析：选B 因为ab(3,2)，所以|ab| 3222 13，故选 B. 3设向量 a，b 均为单位向量，且|ab|1，则 a 与 b 的夹角为( ) A. B. 3 2 2 3 C. D. 3 4 解析：选 C |ab|1，|a|22ab|b|21， 1 2 cosa，b .又a，b0，a，b . 2 3 4已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 解 析：选 B 因为 mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(m n)(mn)(23,3)(

21、1，1)260，解得 3. 5如图，M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，且 MN (AC AB )成立，则 ( ) 1 1 A. B. 2 3 2 1 C. D 3 3 1 1 解析：选 B 由 MN BC ，且 BC AC AB ，得 . 3 3 6设点 A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且 AD 2AB 3BC ，则点 D 的坐标为( ) A(2,16) B(2，16) C(4,16) D(2,0) 解析：选 A 设 D(x，y)，由题意可知 AD (x1，y2)， AB (3,1)， BC (1，4)， 2AB 3BC 2(3,1)3(1，4)(3,14) Error!E

22、rror!故选 A. 7某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向 前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( ) A90 B30 C45 D60 解 析：选 D 如图，用OA 表示水速，OB 表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向 与河岸的夹角为AOC. | | |v 静| 于是 tanAOC 3， | | | | |v 水| AOC60，故选 D. 8设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC 2BD ，CE 2EA， AF 2 FB ，则 AD BE CF 与 BC ( ) A反向平行 B同向平行 C互

23、相垂直 D既不平行也不垂直 解析：选 A AD BE CF (AB BD )(BA AE )(CB BF ) 1 1 1 BC AC 3 ) 3 ( 3 1 1 1 1 BA BC AC CB BC ， 3 3 3 3 (AD BE CF )与 BC 平行且方向相反 9设 a，b 是两个非零向量( ) A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则 ab|a|b| C若|ab|a|b|，则存在实数 ，使得 ba D若存在实数 ，使得 ba，则|ab|a|b| 解析：选 C 若|ab|a|b|，则 a，b 共线，即存在实数 ，使得 ab，故 C 正 确；选 项 A：当|ab|a|b|时，a，b

24、可为异向的共线向量；选项 B：若 ab，由矩形得|a b|a|b|不成立；选项 D：若存在实数 ，使得 ba，a，b 可为同向的共线向量，此时 显然 |ab|a|b|不成立 10已知点 O，N，P 在ABC 所在的平面内，且|OA |OB |OC |， NA NB NC 0， PAPB PB PC PC PA，则点 O，N，P 依次是ABC 的( ) A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 解析：选 C 因为|OA |OB |OC |，所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等， 所以 O 为ABC 的外心；由 NA NB NC 0，得 NA NB NC

25、CN ，由中线的 11 性质可知点 N 在 AB 边的中线上，同理可得点 N 在其他边的中线上，所以点 N 为ABC 的重心； 由 PAPB PB PC PC PA得 PAPB PB PC PB CA0，则点 P 在 AC 边的垂线上，同理可得点 P 在其他边的垂线上，所以点 P 为ABC 的垂心 4 3 11已知平面上直线 l 与 e 所在直线平行且 e( 5)，点 O(0,0)和 A(1，2)在 l 上 ， 5 的射影分别是 O和 A，则OAe，其中 等于( ) 11 11 A. B 5 5 C2 D2 解析：选 D 由题意可知|OA|OA |cos()( 为OA 与 e 的夹角) O(0

26、,0)，A(1，2)，OA (1，2) 4 3 4 3 e( ，5)，OA e1(5 )(2) 2|OA |e|cos ，|OA 5 5 |cos 2. 又|OA|e|，2. 又由已知可得 0，则ABC 为锐角三角形 其中正确的命题有( ) A B C D 解析：选 C AB AC CB BC BC ，错误 AB BC CA AC CA AC AC 0，正确由(AB AC )(AB AC ) AB 2 AC 2 0， 得|AB |AC |，ABC 为等腰三角形，正确 AC AB 0cos AC ， AB 0， 即 cos A0，A 为锐角，但不能确定 B，C 的大小，不能判定ABC 是否为锐角

27、三角形， 错误，故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分把答案填在题中的横线上) 13平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量 a，b 的夹角 为_ 12 解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21ab87，ab0，ab.故 a，b 的夹角为 . 2 答案： 2 14已知向量 a，b 的夹角为 120，|a|1，|b|3，则|5ab|_. 解析：|5ab| |5ab|2 5ab2 25a2b210ab 1 25910 1 3 ( 2 ) 7. 答案：7 15已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ，且|AB |3，|AC

28、 |2.若 AP AB AC ，且 AP BC ，则实数 的值为_ 解 析 ： BC AC AB ， 由 于 AP BC ， 所 以 AP BC 0， 即 ( AB AC )(AC AB ) AB 2 AC 2 ( 1)AB AC 9 4 ( 1 7 1)32( 2 )0，解得 . 12 7 答案： 12 16.如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，ADDC1，P 是线段 BC 上一动点，Q 是 线段DC上一动点， DQ DC ，CP (1)CB ，则 AP AQ 的取值范围是_ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0,1)，C(1,1)设 Q(m，n)，由 DQ DC 得

29、，(m，n1)(1,0)，即 m，n1.又 B(2,0)，设 P(s，t)， 由CP (1)CB 得，(s1t，1)(1)(1，1)即，s2t，所， 以 AP AQ (2 )23，0,1故 AP AQ 0,2 答案：0,2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 13 17(本小题满分 10分)不共线向量 a，b 的夹角为小于 120的角，且|a|1，|b|2， 已知向量 ca2b，求|c|的取值范围 解：|c|2|a2b|2|a|24ab4|b|2178cos (其中 为 a 与 b 的夹角) 1 04，且 tsin 取最大值 4 时，求OA OC . 解：(1)因为 AB (n8，t)，且 AB a， 所以 8n2t0，即 n82t. 又|AB | 5|OA |， 所以 564(n8)2t25t2，解得 t8. 所以OB (24,8)或(8，8) (2)因为 AC (ksin 8，t)， AC 与 a 共线， 所以 t2ksin 16. 又 tsin (2ksin 16)sin 4 32 2k(sin k) 2 ， k 4 当 k4 时，1 0， k 4 32 所以当 sin 时，tsin 取得最大值 ； k k 32 由 4，得 k8，此时 ，故OC (4,8)， k 6 所以OA OC 848032. 16