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1、课时跟踪检测（二十一） 几类不同增长的函数模型 层级一 学业水平达标 1在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x 2.0 1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b为待定系数)( ) Ayabx Byabx b Cyax2b Dya x 解析：选 B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为 yabx. 2下列函数中，随着 x的增大，增长速度最快的是( ) Ay50 By1 000x 1 Cy0.42x1 Dy ex 1 000 解 析：选 D 指数函数 yax，在 a1 时呈爆炸式增长
2、，而且 a越大，增长速度越快，选 D. 3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来 增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y与时间 x的关系，可选用 ( ) A一次函数 B二次函数 C指数型函数 D对数型函数 解析：选 D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对 数函数的增长符合 4有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ) Aylogax(a1) Byaxb(a1) Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1) 解析：选
3、 C 通过所给数据可知 y随 x增大，其增长速度越来越快，而 A、D 中的函数增 长速度越来越慢，而 B 中的函数增长速度保持不变，故选 C. 5y12x，y2x2，y3log2x，当 2x4 时，有( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy2y3y1 解析：选 B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内， 从上到下图象依次对应的函数为 y2x2，y12x，y3log2x，故 y2y1y3. 1 6小明 2015年用 7 200 元买一台笔记本电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低， 每过一年笔记本的价格降低三分之一三年后小明这台笔记本还值_元
4、 2 2 2 6 400 解析：三年后的价格为 7 200 元 3 3 3 3 6 400 答案： 3 7函数 yx2与函数 yxln x 在区间(1， )上增长较快的一个是_ 解析：当 x 变大时，x 比 ln x 增长要快， x2要比 xln x 增长的要快 答案：yx2 8已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 ya(0.5)xb，现已知该厂 今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件则此厂 3 月份该产品的产量为_ 万件 解析：ya(0.5)xb，且当 x1 时，y1，当 x2 时，y1.5，则有Error!解得Error! y2(0.5)x2. 当
5、 x3 时，y20.12521.75(万件) 答案：1.75 1 9画出函数 f(x) x与函数 g(x) x22 的图象，并比较两者在0， )上的大小关 4 系 解：函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示 根据图象易得： 当 0x4 时，f(x)g(x)； 当 x4 时，f(x)g(x)； 当 x4 时，f(x)g(x) 10燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速 Q 度可以表示为函数 v5log2 ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量 10 (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80个单位时，它的飞行速度是多少？
6、 解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v0， Q 代入题中所给 公式可得：05log2 ，解得 Q10. 10 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位 (2)将耗氧量 Q80 代入题给公式得： 80 v5log2 5log2815(m/s) 10 2 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s. 层级二 应试能力达标 1某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x倍，需经过 y 年，则函数 yf(x)的图象大致为( ) 解析：选 D 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意可得 axa(10.104)y，故 y log1.104x(x1)，
7、函数为对数函数，所以函数 yf(x)的图象大致为 D 中图象，故选 D. 2三个变量 y1，y2，y3，随着变量 x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于 x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( ) Ay1，y2，y3 By2，y1，y3 Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2 解析：选 C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对 数函数的增长速度越来
8、越慢，变量 y3随 x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长， y2随 x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随 x的变化符 合此规律，故选 C. 3四人赛跑，假设他们跑过的路程 fi(x)(其中 i1,2,3,4)和时间 x(x1)的函数关系 分别是 f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最 前面的人具有的函数关系是( ) Af1(x)x2 Bf2(x)4x Cf3(x)log2x Df4(x)2x 解析：选 D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函 数关系是 f4(
9、x)2x，故选 D. 4以下四种说法中，正确的是( ) A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B对任意的 x0，xnlogax 3 C对任意的 x0，axlogax D不一定存在 x0，当 xx0时，总有 axxnlogax 解析：选 D 对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指 数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B、C，当 0a1 时，显然不成立当 a 1，n0 时，一定存在 x0，使得当 xx0时，总有 axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n 0”，则结论不成立 5以下是三个变量 y1，y2，y3随变量 x变化的函数值表： x 1 2 3
10、 4 5 6 7 8 y1 2 4 8 16 32 64 128 256 y2 1 4 9 16 25 36 49 64 y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 其中，关于 x呈指数函数变化的函数是_ 解析：从表格可以看出，三个变量 y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变 量 y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y1呈指数函数变化，故填 y1. 答案：y1 6生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间 的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应_；B 对应_；C 对应_； D 对应_
11、 解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变 化为快慢快，应与(1)对 应；C，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但 C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应 答案：(4) (1) (3) (2) 1 7函数 f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x 2 的图象如 图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增 长差异(以 1，a，b，c，d，e为分界点) 解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 1 C1对应的函数是 f(x)1.1x，曲线 C2对应的函数
12、是 h(x)x 2 ，曲 4 线 C3对应的函数是 g(x)ln x1. 由题图知，当 xh(x)g(x)； 当 1g(x)h(x)； 当 ef(x)h(x)； 当 ah(x)f(x)； 当 bg(x)f(x)； 当 cf(x)g(x)； 当 xd 时，f(x)h(x)g(x) 8某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58.为了预测以后各月 的患病人数，甲选择了模型 yax2bxc，乙选择了模型 ypqxr，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a，b，c，p，q，r 都是常数结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66,82,115，你认为谁选择的模型较好？ 解：依题意，得Error! 即Error!解得Error! 所以甲：y1x2x52， 又Error! ，得 pq2pq12， ，得 pq3pq24， ，得 q2. 将 q2 代入式，得 p1. 将 q2，p1 代入式，得 r50， 所以乙：y22x50. 计算当 x4 时，y164，y266； 当 x5 时，y172，y282； 当 x6 时，y182，y2114. 可见，乙选择的模型较好 5