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1、量子力学复习题 (2013)一、填空题1. 在空间发现粒子的概率密度为 _；概率流密度为 _ 。2.波尔的量子化条件为。3. 坐标和动量的测不准关系是 _ 。4.德布罗意关系为。5.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_ ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_ ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为_ 。6.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。7.22, z，x , y。为泡利算符，8.波函数的统计解释为。9. 隧道效应是指 _ 。10.波函数的标准化条件为。11.nlm Rnl ( r )Ylm ( , ) 为氢原子波函数，n, l , m 的取值范围为。
2、12.表示力学量的算符应满足的两个性质是。13.乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是_ 。14.厄米算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。15.x, px， Ly , Lx， Lx , y。16.在z 表象中，x 的矩阵表示为， x 的本征值为，对应的本征矢为。17.若两力学量 A, B 有共同本征函数完全集，则A, B。18.自旋角动量与自旋磁矩的关系为。19.在定态的条件下，守恒的力学量是。20.原子电偶极跃迁的选择定则为。21.设体系处在 |态，在该态下测量 F 有确定值，则表示该力学量的算符?F 与态矢量|的关系为。1 / 422.轨道磁矩与轨道角动量的关系
3、为，自旋磁矩与自旋角动量的关系为。23.费米子所组成的全同离子体系的波函数具有，玻色子所组成的全同离子体系的波函数具有。24.在 z 表象中， z 的矩阵表示为， z 的本征值为，对应的本征矢为。25.自旋 Sz 的本征值为，在 Sz 表象中， Sx 的矩阵表示为，对应的本征矢为。二、计算题1 （ 10 分）设粒子处在一维无限深方势阱V (x)0(0xa)中 , 粒子的波函数为(x0, xa)(x)Ax( xa) , A 为归一化常数.(1) 求 A ; (2)粒子在何处出现的概率最大。2100 (r )t0时，氢原子的波函数为( r , sz ,t0)22， 其 中 已 知221 1 (r
4、)2nlm ( r )Rnl (r )Ylm ( , ) 满足归一化条件| nlm (r ) |2d 3r1 。试完成：（ 1）写出任意t 时刻的波函数?2?的可能取值和(r , sz, t) ；（ 2）求能量 E 、轨道角动量 L和 Lz、自旋 Sz相应的几率以及平均值；（ 3）计算 t 时刻自旋分量?Sx 的平均值 Sx 。E1(0)ab，其中 a，b 都是实数，用微扰论求能量至3 设在 H0表象中 HE2(0)ba二级修正。4 （ 10 分）设粒子处于态11cY20 ， 为归一化波函数，Ylm 为球谐函Y10Y2123数，求：（ 1）系数 c 的值；（ 2） Lz 的可能测值；（ 3）测
5、 L2 得到 62 的概率。10时处于本征值为/ 2 的 Sx 的 本 征 态 ， 将 其 置 于5 自旋为的 体 系 ， 在 t2B0, 0,B 的磁场中，求 t 时刻，测量 Sx 取 /2 的几率。2 / 4E100a6 （ 10分 ） 设 在 H 0 表 象 中 ， H 的 矩 阵 表 示 为 H0E20b， 其 中a*b*E30a, bE10E20E30 ，试用微扰论求系统的能量（精确到二级能量修正）。7 设氢原子处在能量本征态nlm r , ,Rnlr Ylm ( , ) ，求氢原子角动量各分量平均值 Lx 、 Ly 和 Lz 。8 （10分）电子的归一化自旋-轨道波函数为1( x,
6、 y, z)，与自旋相关的力学量2 ( x, y, z)ab2） G 对坐标和自旋同时G。在态 下求：（ 1） G 对自旋求平均值的结果；（cd求平均值的结果。9 在正交基矢1 , 2 和3 展开的态空间中，某力学量111123 中测量 A 的可能值、几率和平均值。222200A a 001，求在态01010 粒子的波函数为1 eikr ，求其几率流密度。r11 利用氢原子的能级公式，求电子偶素（e+-e- 束缚体系）的能谱。10是实数。（ 1）求体系能量的12 设量子体系的 Hamilton 量为 H，频率01本征值和本征函数； （ 2）如果 t0 时体系处于状态， 求 t0 时体系所处状态
7、； （ 3）若 t 0时体系处于基态， 当一个小的与t 有关的微扰 He t 0在 t0时加上后， 求 t0时体系跃迁到激发态的几率。13 教材中布置了的习题。三、问答题1. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？2. 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3 / 43. 简述力学量与力学量算符的关系是什么？4. 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？5. 简述波尔的原子理论，为什么说波尔的原子理论是半经典半量子的？6. 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？7. 能量本征态的叠加态还是能量本征态吗？为什么？8. 量子力学不同表象间的变换是什么
8、变换？在不同表象中不变的量是哪些？9. 什么是定态？定态有什么性质？四、证明题1.若算符 A、B 有共同的本征函数完备集，则A、 B 对易。2. 对于力学量 A 与 B，写出二者在任何量子态下涨落所满足的关系，并推导之。3. 写出力学量 A 的平均值随时间的演化方程，并作简略推导。4. 在定态下，证明任意不显含时间t 的力学量 A 取值几率分布不随时间改变。5. Pauli 算符各个分量的反对易关系。6. 在 ( L2 , Lz ) 共同表象下，在角动量量子数l1的子空间中，Lx 、 Ly 和 Lz 的矩阵表示0100i0110分别为 Lx101、 Lyi0i和 Lx000 ，证明角2102i000100100动量平方 L2L2xL2yL2z2 2 010。0017. 由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符p? |，试证明（ 1） p? 是厄米算符；（ 2） p?2p?；（ 3） p? 的本征值为0和1。4 / 4