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1、可编辑专 题一兀一次方程的解法1.理解一元一次方程及具有美概念教学目标2.会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解1. 一元二次方程的判定，求根公式重点、难点2. 一元二次方程的解法与应用1 . 一元二次方程的定义，一般形式，配方式2 .熟练一元二次方程的解法能灵活运用：直接开平法，配方法.，因式分解，公式法考点及考试要求去3.一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程(2)一般表达式：ax2 bx c 0(a 0)注：当b=0时可化为ax2c 0这是一元二次方程的配方式四个特点：(1)只含有一
2、个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2 ; (3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2 bx c 0(a 0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax2 bx c 0 时，应满足(aw0)(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）211222A 3 x 12 x 1 B 22 0 C axbxcOD x 2x x 1x x
3、变式：当k时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程。例2、方程m 2xm 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的.概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为例2、关于x的一元二次方程a 2 x2x a2 4 0的一个根为0,则a的值为说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制 例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b,则此方程必有一根说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1”
4、巧解代数式的值。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根，则 m的值为。例 5、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b 变式：若a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,则ab的值为。b a6、方程a b x2 b c x c a 0的一个根为（）A 1B 1C b cD a7、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y 。考点三、方程解法(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。(2)方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方
5、程的方法。用直接开平方法解形如x2 mm 0,其解为：x ，-rir n-rz 4 上12.22 一2 一方程形式：ax ax m bx n , x a x b x a x c , x 2ax a 0分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法针对练习：例1、2x x 35x3的根为(A 5_Ax B x 3222 、，例 2. (1) 4a 169b (平万差)C xi,x232(2)8x4y 6x3y条件： a 0,且b2 4ac 0 公式： x -丝c , a 0,且b2 4ac 02a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：22 31 x 6.(2) x 3 x 68. x
6、 4x 1 0 3x2 4x 1 03x 1 3x 1 x 1 2x 5说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式： 2x3y (提公因式)2(4) a 6a 9 (完全平万式)(5) 12xy x2 36y2 (完全平方式)(6) (a b)2 5(a b) 4 (十字相乘法)22(7) p 7 pq 12q (十子相乘法)23(8) 5n(2m n) 2(n 2m)(提公因式)例 3、若 4x y 2 3 4x y 4 0 ,则 4x+y 的值为。例4、方程x2 x 6 0的解为()A. Xi3, X22B.X
7、i3,X22C.x13, X23D.x12,X22例5、解方程：x2 2 3 1 x 2在4 0例6、已知2x2 3xy 2y2 0,则3y的值为。x y变式：已知2x2 3xy 2y1 20,且x 0,y 0,则_x_y的值为x y例7、解下列方程(1) (2x - 3)2 = (3x - 2)2(4) 5m2 - 17m + 14=04x+14x-52一 x+23(5) (x2 +x+1)(x 2 +x + 12)=42(6) 2x2 + (3a-b)x-2a一、选择题+3ab- b 2 =0类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算 判别式的值，当判别式大于等于零时, 把各项系
8、数a, b, c的值代入求根公式，就可得到方程的根。主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组典型例题：例1、已知X2,，一，X 1 33x 2 0,求代数式X2 1-一1的值。1例2、如果x2 x 1 0,那么代数式X3 2x2 7的值例3、已知a是一元二次方程x2 3x 13 9a20的一根，求-2 的值a2 1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形;能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次幕，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6, x2 5xy 6y2 0.说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再
9、降次；先降次，再消元 但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题考点四、根与系数的关系0时，才能用韦达定理前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、,、一,一b c王要内谷：X1 X2一,XX2a a应用桢体代入求值。典型例题：之间的运算关系例2、解方程组:x y 10, xy 24;(2)22x y 10,x y 2.说明：一些含有x y、x .解方程：3x2+27=0 得() (A)x= 3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个 y2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元
10、二次方程的问题.有时，后者显得更为简便例3、已知关于x的方程k2x22k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由例 4、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b 变式：若a2 2a 1 0, b2 2b 1 0,则a b的值为b a例5、已知，是方程x2 x 1 0的两个根，那么 4 3.测试题目：2.方程(2-3x ) + (3x-2 ) 2=0 的解是(221M = Al = =(A)- ,X2=-1(B) 二，322-/=一(C)X1=X
11、2=(D) 二,X2=13.方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-21 x +1 = 04 .用配方法解方程：3 正确的是().(C)l%原方程无实数解I 3J 9原方程无实数解5 .一元二次方程-工+ 2/%-2 = 0用求根公式求解，先求2口5的值,正确的是().(A)a=1,b= - - (B)a=1,b=- ，-，c=2(C)a=-1,b=- 1 , : ,c=-2(D)a=-1,b= c=26 .用公式法解方程：3x2-5x+1=0 ,正确的结果是().5 + 7135-7135713*= Y = (A)6(B)3(C)6(D)都不对、
12、填空十y7 .方程9x2=25的根是. 3.8 .已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=另一个根是.9 .关于x的方程6x2-5(m-1)x+m 2-2m-3=0 有一个根是0,则m的值为10 .关于x的方程(m2-m-2)x 2+mx+n=0 是一元二次方程的条件为 .11 .方程(x+2)(x-a)=0 和方程x2+x-2=0有两个相同的解，则a=.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12 . (x+2) (x-2) =1.14.3x 2-4x-4=0.16.x2+2x-1=0.18.2x2- -1 r20.a2x2+2abx+b 2-4=0(a 半 0).(a* c
13、)13.(3x-4) 2=(4x-3) 215.x2+x-1=0.17.(2y+1) 2+3(2y+1)+2=0.19.x2-bx-2b 2=0.21 . (b-c) x2- (c-a) x+ (a-b ) =022 .用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法23 .解方程：(1)(次-)1=工，如曲-，)k=O0hO)24 .已知 |2m-3|=1 ,试解关于 x 的方程 3mx (x+1 ) -5 (x+1 ) (x-1 ) =x225、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每千克 50元销售，一个月能售出5
14、00千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？26、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由(3)两个正方形的面积之和最小为多少？22 、 、,(3) (m n) 4(m n)(平万差)(1) x2 2V2x 3;(2) 4x2 8x 1.2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0 ,求出两根，再写成ax2 bx c= a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A. 3B.3C.6D. 6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a b、a b、ab、a2 b2